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例1 如图1-25，在$△ ABC$中，边AB的垂直平分线分别与边AB，BC交于点D，E，边AC的垂直平分线分别与边AC，BC交于点F，G。要求出$△ AEG$的周长，还需要添加什么条件？要求出$∠ EAG$的度数，还需要添加什么条件？
图1-25
图1-25
答案
解：
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ EA = EB。
∵ FG是AC的垂直平分线，
∴ GA = GC。
∴ $C_{△ AEG} = AE + EG + AG = BE + EG + GC = BC$。
因此要求出$△ AEG$的周长，还需要添加的条件是：边$BC$的长度已知。
∵ $EA=EB$，∴ $∠ B = ∠ BAE$。
∵ $GA=GC$，∴ $∠ C = ∠ CAG$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
∴ $∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
∴ $∠ BAE + ∠ CAG = ∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
∴ $∠ EAG = ∠ BAC - (∠ BAE + ∠ CAG) = ∠ BAC - (180° - ∠ BAC) = 2∠ BAC - 180°$。
因此要求出$∠ EAG$的度数，还需要添加的条件是：$∠ BAC$的度数已知（或$△ ABC$中$∠ B$与$∠ C$的度数和已知）。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ EA = EB。
∵ FG是AC的垂直平分线，
∴ GA = GC。
∴ $C_{△ AEG} = AE + EG + AG = BE + EG + GC = BC$。
因此要求出$△ AEG$的周长，还需要添加的条件是：边$BC$的长度已知。
∵ $EA=EB$，∴ $∠ B = ∠ BAE$。
∵ $GA=GC$，∴ $∠ C = ∠ CAG$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
∴ $∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
∴ $∠ BAE + ∠ CAG = ∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
∴ $∠ EAG = ∠ BAC - (∠ BAE + ∠ CAG) = ∠ BAC - (180° - ∠ BAC) = 2∠ BAC - 180°$。
因此要求出$∠ EAG$的度数，还需要添加的条件是：$∠ BAC$的度数已知（或$△ ABC$中$∠ B$与$∠ C$的度数和已知）。
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，看到线段垂直平分线优先回忆其性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
1. 求△AEG周长的思路：先写出周长表达式为$AE+EG+AG$，利用垂直平分线性质把$AE$替换成$EB$，$AG$替换成$GC$，即可将周长转化为$BC$的长度，因此只需知道$BC$的长度就能求出周长。
2. 求$∠ EAG$度数的思路：由$AE=EB$、$AG=GC$可推出等腰三角形中等边对等角，即$∠ B=∠ BAE$，$∠ C=∠ CAG$，再结合三角形内角和定理，可推导出$∠ EAG$和$∠ BAC$的数量关系，因此只需知道$∠ BAC$的度数（或$∠ B$与$∠ C$的度数和）即可求出$∠ EAG$的度数。
【解析】
1. 求△AEG周长的推导：
∵ $DE$是$AB$的垂直平分线，
∴ 点$E$到$A$、$B$的距离相等，即$EA = EB$。
∵ $FG$是$AC$的垂直平分线，
∴ 点$G$到$A$、$C$的距离相等，即$GA = GC$。
∴ $△ AEG$的周长$C_{△ AEG} = AE + EG + AG = BE + EG + GC = BC$。
因此要求出$△ AEG$的周长，需要知道$BC$的长度。
2. 求$∠ EAG$度数的推导：
∵ $EA=EB$，
∴ $∠ B = ∠ BAE$（等边对等角）。
∵ $GA=GC$，
∴ $∠ C = ∠ CAG$（等边对等角）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
∴ $∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
∴ $∠ BAE + ∠ CAG = ∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
∴ $∠ EAG = ∠ BAC - (∠ BAE + ∠ CAG) = ∠ BAC - (180° - ∠ BAC) = 2∠ BAC - 180°$。
因此要求出$∠ EAG$的度数，需要知道$∠ BAC$的度数（或$∠ B$与$∠ C$的度数和）。
【答案】
求$△ AEG$的周长需要添加的条件：边$BC$的长度已知；
求$∠ EAG$的度数需要添加的条件：$∠ BAC$的度数已知（或$△ ABC$中$∠ B$与$∠ C$的度数和已知）。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的典型应用题型，核心是通过等量代换将未知的周长、角度与三角形的已知边长、内角建立关联，解题过程中用到了转化思想，要求熟练掌握线段垂直平分线的性质并能灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，看到线段垂直平分线优先回忆其性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
1. 求△AEG周长的思路：先写出周长表达式为$AE+EG+AG$，利用垂直平分线性质把$AE$替换成$EB$，$AG$替换成$GC$，即可将周长转化为$BC$的长度，因此只需知道$BC$的长度就能求出周长。
2. 求$∠ EAG$度数的思路：由$AE=EB$、$AG=GC$可推出等腰三角形中等边对等角，即$∠ B=∠ BAE$，$∠ C=∠ CAG$，再结合三角形内角和定理，可推导出$∠ EAG$和$∠ BAC$的数量关系，因此只需知道$∠ BAC$的度数（或$∠ B$与$∠ C$的度数和）即可求出$∠ EAG$的度数。
【解析】
1. 求△AEG周长的推导：
∵ $DE$是$AB$的垂直平分线，
∴ 点$E$到$A$、$B$的距离相等，即$EA = EB$。
∵ $FG$是$AC$的垂直平分线，
∴ 点$G$到$A$、$C$的距离相等，即$GA = GC$。
∴ $△ AEG$的周长$C_{△ AEG} = AE + EG + AG = BE + EG + GC = BC$。
因此要求出$△ AEG$的周长，需要知道$BC$的长度。
2. 求$∠ EAG$度数的推导：
∵ $EA=EB$，
∴ $∠ B = ∠ BAE$（等边对等角）。
∵ $GA=GC$，
∴ $∠ C = ∠ CAG$（等边对等角）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
∴ $∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
∴ $∠ BAE + ∠ CAG = ∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
∴ $∠ EAG = ∠ BAC - (∠ BAE + ∠ CAG) = ∠ BAC - (180° - ∠ BAC) = 2∠ BAC - 180°$。
因此要求出$∠ EAG$的度数，需要知道$∠ BAC$的度数（或$∠ B$与$∠ C$的度数和）。
【答案】
求$△ AEG$的周长需要添加的条件：边$BC$的长度已知；
求$∠ EAG$的度数需要添加的条件：$∠ BAC$的度数已知（或$△ ABC$中$∠ B$与$∠ C$的度数和已知）。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的典型应用题型，核心是通过等量代换将未知的周长、角度与三角形的已知边长、内角建立关联，解题过程中用到了转化思想，要求熟练掌握线段垂直平分线的性质并能灵活运用。
【难度系数】
0.7
例2 如图1-26，在$△ ABC$中，分别以$AB$，$AC$为边作等边三角形$ABE$和等边三角形$ACD$，$BD$，$CE$相交于点$O$。
（1）$BD$与$CE$相等吗？为什么？
（2）要使$△ ABE$与$△ ACD$全等，至少需要添加什么条件？在此条件下，整个图形是轴对称图形吗？
（1）$BD$与$CE$相等吗？为什么？
（2）要使$△ ABE$与$△ ACD$全等，至少需要添加什么条件？在此条件下，整个图形是轴对称图形吗？
答案
解：(1) $BD$与$CE$相等，理由如下：
∵ $△ ABE$和$△ ACD$都是等边三角形，
∴ $AE = AB$，$AC = AD$，$∠ EAB = ∠ CAD = 60°$，
∴ $∠ EAB + ∠ BAC = ∠ CAD + ∠ BAC$，
即 $∠ EAC = ∠ BAD$。
在$△ EAC$和$△ BAD$中，
$\begin{cases}AE = AB \\∠ EAC = ∠ BAD \\AC = AD\end{cases}$
∴ $△ EAC ≌ △ BAD$（SAS），
∴ $BD = CE$。
(2) 至少需要添加的条件是$AB = AC$。
在此条件下，整个图形是轴对称图形。
∵ $△ ABE$和$△ ACD$都是等边三角形，
∴ $AE = AB$，$AC = AD$，$∠ EAB = ∠ CAD = 60°$，
∴ $∠ EAB + ∠ BAC = ∠ CAD + ∠ BAC$，
即 $∠ EAC = ∠ BAD$。
在$△ EAC$和$△ BAD$中，
$\begin{cases}AE = AB \\∠ EAC = ∠ BAD \\AC = AD\end{cases}$
∴ $△ EAC ≌ △ BAD$（SAS），
∴ $BD = CE$。
(2) 至少需要添加的条件是$AB = AC$。
在此条件下，整个图形是轴对称图形。
解析
【分析】
（1）要判断两条线段是否相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。本题已知两个等边三角形，可先得到等边三角形的边相等、内角为60°，再通过角度和差推导得到一组相等的夹角，即可用SAS判定三角形全等，进而得到对应边相等。
（2）等边三角形所有内角均为60°，因此要使两个等边三角形全等，只需满足一组对应边相等即可；添加对应边相等的条件后，可判断图形沿过A的某条直线折叠后两侧完全重合，即可确定是否为轴对称图形。
【解析】
(1) $BD$与$CE$相等，理由如下：
∵ $△ ABE$和$△ ACD$都是等边三角形，
∴ $AE = AB$，$AC = AD$，$∠ EAB = ∠ CAD = 60°$，
∴ $∠ EAB + ∠ BAC = ∠ CAD + ∠ BAC$，
即 $∠ EAC = ∠ BAD$。
在$△ EAC$和$△ BAD$中，
$\begin{cases}AE = AB \\∠ EAC = ∠ BAD \\AC = AD\end{cases}$
∴ $△ EAC ≌ △ BAD$（SAS），
∴ $BD = CE$。
(2) 等边三角形的三条边都相等、三个内角均为60°，因此要使$△ ABE$与$△ ACD$全等，至少需要添加的条件是$AB = AC$。
在此条件下，整个图形沿过点A且垂直平分BC的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，因此整个图形是轴对称图形。
【答案】
(1) $BD$与$CE$相等；
(2) 至少需要添加的条件是$AB = AC$，此条件下整个图形是轴对称图形。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；轴对称图形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是利用等边三角形的边角性质构造全等三角形，同时要求熟练掌握全等三角形的判定方法和轴对称图形的判断依据。
【难度系数】
0.7
（1）要判断两条线段是否相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。本题已知两个等边三角形，可先得到等边三角形的边相等、内角为60°，再通过角度和差推导得到一组相等的夹角，即可用SAS判定三角形全等，进而得到对应边相等。
（2）等边三角形所有内角均为60°，因此要使两个等边三角形全等，只需满足一组对应边相等即可；添加对应边相等的条件后，可判断图形沿过A的某条直线折叠后两侧完全重合，即可确定是否为轴对称图形。
【解析】
(1) $BD$与$CE$相等，理由如下：
∵ $△ ABE$和$△ ACD$都是等边三角形，
∴ $AE = AB$，$AC = AD$，$∠ EAB = ∠ CAD = 60°$，
∴ $∠ EAB + ∠ BAC = ∠ CAD + ∠ BAC$，
即 $∠ EAC = ∠ BAD$。
在$△ EAC$和$△ BAD$中，
$\begin{cases}AE = AB \\∠ EAC = ∠ BAD \\AC = AD\end{cases}$
∴ $△ EAC ≌ △ BAD$（SAS），
∴ $BD = CE$。
(2) 等边三角形的三条边都相等、三个内角均为60°，因此要使$△ ABE$与$△ ACD$全等，至少需要添加的条件是$AB = AC$。
在此条件下，整个图形沿过点A且垂直平分BC的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，因此整个图形是轴对称图形。
【答案】
(1) $BD$与$CE$相等；
(2) 至少需要添加的条件是$AB = AC$，此条件下整个图形是轴对称图形。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；轴对称图形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是利用等边三角形的边角性质构造全等三角形，同时要求熟练掌握全等三角形的判定方法和轴对称图形的判断依据。
【难度系数】
0.7
