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例3 阅读并回答问题：
如图1-27①，在$△ ABC$中，$AD$为中线，延长$AD$到点$E$，使$DE=AD$。在$△ ABD$和$△ ECD$中，$AD=ED$，$∠ ADB=∠ EDC$，$BD=CD$，所以$△ ABD ≌ △ ECD$（SAS），进一步可得$AB=EC$，$AB // CE$等结论。
已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关的计算或证明。
解决问题：如图1-27②，在$△ ABC$中，$AD$是$△ ABC$的中线，点$F$在中线$AD$上，连接并延长$BF$，交$AC$于点$E$，且$BF=AC$。求证：$∠ AFE=∠ CAF$。
图1-27
如图1-27①，在$△ ABC$中，$AD$为中线，延长$AD$到点$E$，使$DE=AD$。在$△ ABD$和$△ ECD$中，$AD=ED$，$∠ ADB=∠ EDC$，$BD=CD$，所以$△ ABD ≌ △ ECD$（SAS），进一步可得$AB=EC$，$AB // CE$等结论。
已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关的计算或证明。
解决问题：如图1-27②，在$△ ABC$中，$AD$是$△ ABC$的中线，点$F$在中线$AD$上，连接并延长$BF$，交$AC$于点$E$，且$BF=AC$。求证：$∠ AFE=∠ CAF$。
图1-27
答案
证明：
延长AD到点G，使DG=AD，连接BG。
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=CD。
在△BDG和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD \\∠BDG=∠CDA \\DG=DA\end{array} $
∴ △BDG ≌ △CDA（SAS）。
∴ BG=AC，∠G=∠CAF。
又∵ BF=AC，
∴ BG=BF。
∴ ∠G=∠BFG。
∵ ∠BFG=∠AFE，
∴ ∠AFE=∠CAF。
延长AD到点G，使DG=AD，连接BG。
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=CD。
在△BDG和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD \\∠BDG=∠CDA \\DG=DA\end{array} $
∴ △BDG ≌ △CDA（SAS）。
∴ BG=AC，∠G=∠CAF。
又∵ BF=AC，
∴ BG=BF。
∴ ∠G=∠BFG。
∵ ∠BFG=∠AFE，
∴ ∠AFE=∠CAF。
解析
【分析】
要证明∠AFE=∠CAF，直接推导两个角相等的条件不足，结合题干给出的“倍长中线”构造全等的方法，可按以下思路推导：首先AD是△ABC的中线，符合倍长中线的使用条件，我们延长AD到G，使DG=AD，连接BG，先构造△BDG和△CDA全等，通过全等将AC转化为等长的BG，同时将∠CAF转化为等角∠G；再结合已知BF=AC，可推出BG=BF，利用等腰三角形等边对等角得到∠G=∠BFG；最后利用对顶角相等，∠BFG和∠AFE是对顶角，通过几次等量代换即可得到要证的结论。
【解析】
延长AD到点G，使DG=AD，连接BG。
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=CD。
在△BDG和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD \\∠BDG=∠CDA \\DG=DA\end{array} $
∴ △BDG ≌ △CDA（SAS）。
∴ BG=AC，∠G=∠CAF。
又
∵ BF=AC，
∴ BG=BF。
∴ ∠G=∠BFG。
∵ ∠BFG=∠AFE（对顶角相等），
∴ ∠AFE=∠CAF。
【答案】
∠AFE=∠CAF，得证。
【知识点】
倍长中线法、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形和等腰三角形的综合应用，核心是利用倍长中线的辅助线构造全等，实现线段和角的等量转化，是三角形全等部分的常考题型，掌握倍长中线的适用场景和构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明∠AFE=∠CAF，直接推导两个角相等的条件不足，结合题干给出的“倍长中线”构造全等的方法，可按以下思路推导：首先AD是△ABC的中线，符合倍长中线的使用条件，我们延长AD到G，使DG=AD，连接BG，先构造△BDG和△CDA全等，通过全等将AC转化为等长的BG，同时将∠CAF转化为等角∠G；再结合已知BF=AC，可推出BG=BF，利用等腰三角形等边对等角得到∠G=∠BFG；最后利用对顶角相等，∠BFG和∠AFE是对顶角，通过几次等量代换即可得到要证的结论。
【解析】
延长AD到点G，使DG=AD，连接BG。
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=CD。
在△BDG和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD \\∠BDG=∠CDA \\DG=DA\end{array} $
∴ △BDG ≌ △CDA（SAS）。
∴ BG=AC，∠G=∠CAF。
又
∵ BF=AC，
∴ BG=BF。
∴ ∠G=∠BFG。
∵ ∠BFG=∠AFE（对顶角相等），
∴ ∠AFE=∠CAF。
【答案】
∠AFE=∠CAF，得证。
【知识点】
倍长中线法、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形和等腰三角形的综合应用，核心是利用倍长中线的辅助线构造全等，实现线段和角的等量转化，是三角形全等部分的常考题型，掌握倍长中线的适用场景和构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）已知三角形的两边长分别是2,4,则第三边的边长可以是().
A.1
B.2
C.5
D.6
A.1
B.2
C.5
D.6
答案
C
解析
【分析】
拿到这道题首先明确考点是三角形三边关系的应用，解题思路分为两步：第一步先根据三角形三边关系定理求出第三边的取值范围，第二步将选项逐一代入范围筛选出符合要求的答案。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合已知的两边长2和4，就能列出不等式求出第三边的取值区间，再判断选项即可。
【解析】
设第三边的边长为$x$，根据三角形三边关系可得：
$4-2 ＜ x ＜ 4+2$
化简得：$2 ＜ x ＜ 6$
逐一验证选项：
A. $1＜2$，不符合取值范围，排除；
B. $2=2$，不符合取值范围，排除；
C. $2＜5＜6$，符合取值范围；
D. $6=6$，不符合取值范围，排除。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础考查题，主要考察对三角形三边关系的理解与应用，解题时只需熟记三边关系定理求出第三边的取值范围，再对应选项筛选即可，掌握知识点后不易出错。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确考点是三角形三边关系的应用，解题思路分为两步：第一步先根据三角形三边关系定理求出第三边的取值范围，第二步将选项逐一代入范围筛选出符合要求的答案。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合已知的两边长2和4，就能列出不等式求出第三边的取值区间，再判断选项即可。
【解析】
设第三边的边长为$x$，根据三角形三边关系可得：
$4-2 ＜ x ＜ 4+2$
化简得：$2 ＜ x ＜ 6$
逐一验证选项：
A. $1＜2$，不符合取值范围，排除；
B. $2=2$，不符合取值范围，排除；
C. $2＜5＜6$，符合取值范围；
D. $6=6$，不符合取值范围，排除。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础考查题，主要考察对三角形三边关系的理解与应用，解题时只需熟记三边关系定理求出第三边的取值范围，再对应选项筛选即可，掌握知识点后不易出错。
【难度系数】
0.9
（2）下列说法中，正确的是（）.
A.周长相等的两个锐角三角形全等
B.周长相等的两个直角三角形全等
C.周长相等的两个等腰三角形全等
D.周长相等的两个等边三角形全等
A.周长相等的两个锐角三角形全等
B.周长相等的两个直角三角形全等
C.周长相等的两个等腰三角形全等
D.周长相等的两个等边三角形全等
答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆全等三角形的判定定理，明确全等三角形需要对应边、对应角都相等，再结合各类三角形的性质逐个分析选项：普通三角形仅周长相等时，边长可以有多种不同组合，无法保证三边对应相等；而等边三角形三边长度相等，周长相等时边长必然全部相等，可通过SSS判定全等。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 周长相等的两个锐角三角形，边长可存在多种组合，例如周长为11的两个锐角三角形，三边长分别为3、4、4和2、4、5，两组边长不对应相等，因此不全等，A错误。
B. 周长相等的两个直角三角形，仅周长相同无法保证三条边对应相等，例如一个锐角为30°的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以调整边长使二者周长相等，但边长明显不对应相等，因此不全等，B错误。
C. 周长相等的两个等腰三角形，边长可存在多种组合，例如周长为10的两个等腰三角形，三边长分别为2、4、4和3、3、4，两组边长不对应相等，因此不全等，C错误。
D. 等边三角形的三条边长度相等，若两个等边三角形周长相等，则它们的边长都为周长÷3，即三边对应相等，根据全等三角形的SSS判定规则，这两个三角形全等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 等边三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定和特殊三角形的性质，解题的核心是明确只有三角形的三边唯一确定时，周长相等才能保证全等，熟练掌握等边三角形三边相等的特性可快速判断正确选项。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆全等三角形的判定定理，明确全等三角形需要对应边、对应角都相等，再结合各类三角形的性质逐个分析选项：普通三角形仅周长相等时，边长可以有多种不同组合，无法保证三边对应相等；而等边三角形三边长度相等，周长相等时边长必然全部相等，可通过SSS判定全等。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 周长相等的两个锐角三角形，边长可存在多种组合，例如周长为11的两个锐角三角形，三边长分别为3、4、4和2、4、5，两组边长不对应相等，因此不全等，A错误。
B. 周长相等的两个直角三角形，仅周长相同无法保证三条边对应相等，例如一个锐角为30°的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以调整边长使二者周长相等，但边长明显不对应相等，因此不全等，B错误。
C. 周长相等的两个等腰三角形，边长可存在多种组合，例如周长为10的两个等腰三角形，三边长分别为2、4、4和3、3、4，两组边长不对应相等，因此不全等，C错误。
D. 等边三角形的三条边长度相等，若两个等边三角形周长相等，则它们的边长都为周长÷3，即三边对应相等，根据全等三角形的SSS判定规则，这两个三角形全等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 等边三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定和特殊三角形的性质，解题的核心是明确只有三角形的三边唯一确定时，周长相等才能保证全等，熟练掌握等边三角形三边相等的特性可快速判断正确选项。
【难度系数】
0.8
（3）如图，$BE⊥ AC$，$CF⊥ AB$，垂足分别为$E$，$F$，$BE=CF$，则图中全等三角形有（）。
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
[第1(3)题]
[第1(4)题]
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
[第1(3)题]
[第1(4)题]
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，先梳理题中给出的边、角相等条件：①BE⊥AC、CF⊥AB可得4个直角相等；②BE=CF是已知边相等；再结合图形隐含的公共角、对顶角、公共边条件，按从易到难的顺序逐对筛选全等三角形：先找直接用到已知BE=CF的三角形，再利用全等得到的新的边、角相等条件找其余全等三角形即可。
【解析】
解：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠AEB=∠AFC=∠BFD=∠CED=90°
1. 判定△ABE≌△ACF：
在△ABE和△ACF中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A（公共角）\\∠AEB=∠AFC=90°\\BE=CF（已知）\end{array} $
∴△ABE≌△ACF（AAS）
由此可得AB=AC，AE=AF，
∴AB-AF=AC-AE，即BF=CE。
2. 判定△BCF≌△CBE：
在△BCF和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}BF=CE（已证）\\∠BFC=∠CEB=90°\\CF=BE（已知）\end{array} $
∴△BCF≌△CBE（SAS）（也可利用公共边BC=CB，用HL判定）
3. 判定△BDF≌△CDE：
在△BDF和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}∠BFD=∠CED=90°\\∠BDF=∠CDE（对顶角相等）\\BF=CE（已证）\end{array} $
∴△BDF≌△CDE（AAS）
综上，全等三角形共有3对。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定；垂直的性质；对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要注意充分挖掘题中的隐含条件，如公共角、对顶角、公共边等，先利用直接已知条件找到第一组全等，再以此为基础推导新的边角相等关系，进而找到其余全等三角形，避免漏判或误判。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，先梳理题中给出的边、角相等条件：①BE⊥AC、CF⊥AB可得4个直角相等；②BE=CF是已知边相等；再结合图形隐含的公共角、对顶角、公共边条件，按从易到难的顺序逐对筛选全等三角形：先找直接用到已知BE=CF的三角形，再利用全等得到的新的边、角相等条件找其余全等三角形即可。
【解析】
解：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠AEB=∠AFC=∠BFD=∠CED=90°
1. 判定△ABE≌△ACF：
在△ABE和△ACF中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A（公共角）\\∠AEB=∠AFC=90°\\BE=CF（已知）\end{array} $
∴△ABE≌△ACF（AAS）
由此可得AB=AC，AE=AF，
∴AB-AF=AC-AE，即BF=CE。
2. 判定△BCF≌△CBE：
在△BCF和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}BF=CE（已证）\\∠BFC=∠CEB=90°\\CF=BE（已知）\end{array} $
∴△BCF≌△CBE（SAS）（也可利用公共边BC=CB，用HL判定）
3. 判定△BDF≌△CDE：
在△BDF和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}∠BFD=∠CED=90°\\∠BDF=∠CDE（对顶角相等）\\BF=CE（已证）\end{array} $
∴△BDF≌△CDE（AAS）
综上，全等三角形共有3对。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定；垂直的性质；对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要注意充分挖掘题中的隐含条件，如公共角、对顶角、公共边等，先利用直接已知条件找到第一组全等，再以此为基础推导新的边角相等关系，进而找到其余全等三角形，避免漏判或误判。
【难度系数】
0.7
（4）如图，在三角形纸片$ABC$中，$AC=BC$，把$△ ABC$沿着$AC$向下翻折，使点$B$落在点$D$处，连接$BD$。已知$∠ BAC=40°$，那么$∠ CBD$的度数为（）。
A.$9°$
B.$10°$
C.$20°$
D.$30°$
A.$9°$
B.$10°$
C.$20°$
D.$30°$
答案
B
解析
【分析】
解题时可结合等腰三角形性质与折叠性质逐步推导：首先根据$AC=BC$判定$△ ABC$为等腰三角形，结合已知的$∠ BAC$度数求出$∠ ABC$、$∠ ACB$的度数；再利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，得到$BC=DC$、$∠ ACD=∠ ACB$，进而求出$∠ BCD$的度数；最后判定$△ BCD$为等腰三角形，结合三角形内角和定理计算$∠ CBD$的度数即可。
【解析】
解：$\because AC=BC$，$∠ BAC=40°$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC=∠ BAC=40°$
根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-40°-40°=100°$
$\because △ ABC$沿$AC$翻折得到$△ ADC$
$\therefore △ ABC≌△ ADC$，则$BC=DC$，$∠ ACD=∠ ACB=100°$
$\therefore ∠ BCD=360°-∠ ACB-∠ ACD=360°-100°-100°=160°$
又$\because BC=DC$，$△ BCD$是等腰三角形
$\therefore ∠ CBD=∠ CDB=(180°-∠ BCD)÷2=(180°-160°)÷2=10°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础综合题，核心是抓住折叠前后图形的不变量（相等的边、相等的角），结合等腰三角形等边对等角的性质即可完成计算，解题时需注意翻折后点的位置，避免计算$∠ BCD$时出错。
【难度系数】
0.7
解题时可结合等腰三角形性质与折叠性质逐步推导：首先根据$AC=BC$判定$△ ABC$为等腰三角形，结合已知的$∠ BAC$度数求出$∠ ABC$、$∠ ACB$的度数；再利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，得到$BC=DC$、$∠ ACD=∠ ACB$，进而求出$∠ BCD$的度数；最后判定$△ BCD$为等腰三角形，结合三角形内角和定理计算$∠ CBD$的度数即可。
【解析】
解：$\because AC=BC$，$∠ BAC=40°$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC=∠ BAC=40°$
根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-40°-40°=100°$
$\because △ ABC$沿$AC$翻折得到$△ ADC$
$\therefore △ ABC≌△ ADC$，则$BC=DC$，$∠ ACD=∠ ACB=100°$
$\therefore ∠ BCD=360°-∠ ACB-∠ ACD=360°-100°-100°=160°$
又$\because BC=DC$，$△ BCD$是等腰三角形
$\therefore ∠ CBD=∠ CDB=(180°-∠ BCD)÷2=(180°-160°)÷2=10°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础综合题，核心是抓住折叠前后图形的不变量（相等的边、相等的角），结合等腰三角形等边对等角的性质即可完成计算，解题时需注意翻折后点的位置，避免计算$∠ BCD$时出错。
【难度系数】
0.7
