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如图4-6，$△ ABC$的各顶点都在格点上，并且点A、C的坐标分别是$(-2,3),(-1,1)$。
(1) 请在网格内画出平面直角坐标系并写出点B的坐标。
(2) 请在(1)中的平面直角坐标系中，将$△ ABC$各顶点的横坐标都增加2，纵坐标保持不变，该三角形的位置会发生怎样的变化？
(3) 仍在(1)中的平面直角坐标系中，将$△ ABC$各顶点的横坐标保持不变，纵坐标都减少1，该三角形的位置又会发生怎样的变化？
(1) 请在网格内画出平面直角坐标系并写出点B的坐标。
(2) 请在(1)中的平面直角坐标系中，将$△ ABC$各顶点的横坐标都增加2，纵坐标保持不变，该三角形的位置会发生怎样的变化？
(3) 仍在(1)中的平面直角坐标系中，将$△ ABC$各顶点的横坐标保持不变，纵坐标都减少1，该三角形的位置又会发生怎样的变化？
答案
解：
(1) 根据点$A(-2,3)$、$C(-1,1)$的坐标确定坐标原点，画出平面直角坐标系，点B的坐标为$\boldsymbol{(-3,2)}$。
(2) 该三角形沿x轴正方向向右平移2个单位长度，三角形的形状、大小均不发生改变。
(3) 该三角形沿y轴负方向向下平移1个单位长度，三角形的形状、大小均不发生改变。
(1) 根据点$A(-2,3)$、$C(-1,1)$的坐标确定坐标原点，画出平面直角坐标系，点B的坐标为$\boldsymbol{(-3,2)}$。
(2) 该三角形沿x轴正方向向右平移2个单位长度，三角形的形状、大小均不发生改变。
(3) 该三角形沿y轴负方向向下平移1个单位长度，三角形的形状、大小均不发生改变。
解析
【分析】
(1) 要建立平面直角坐标系，需先根据已知点A、C的坐标确定原点位置：点A坐标为(-2,3)，说明原点在A点右侧2个单位、下方3个单位的格点处，确定原点后画出x轴、y轴即可，再根据B点在坐标系中的位置，数出横、纵坐标得到B的坐标。
(2) 回忆点的平移规律：当纵坐标不变，横坐标增加正数时，点会沿x轴正方向平移对应单位长度，整个三角形所有顶点都做相同平移，所以整体平移，平移不改变图形的形状和大小。
(3) 同理，横坐标不变，纵坐标减少正数时，点会沿y轴负方向平移对应单位长度，三角形整体平移，形状大小不变。
【解析】
(1) 第一步确定原点：从点A(-2,3)向右数2个单位，向下数3个单位，得到的格点即为坐标原点O，过原点画水平向右为正方向的x轴，竖直向上为正方向的y轴，标注单位长度，完成平面直角坐标系的绘制。
第二步读B点坐标：观察B点，在x轴负方向距离原点3个单位，y轴正方向距离原点2个单位，因此B的坐标为(-3,2)。
(2) 三角形所有顶点横坐标都增加2、纵坐标不变时，每个顶点都沿x轴正方向移动2个单位，因此△ABC整体沿x轴正方向向右平移2个单位长度，平移属于全等变换，三角形的形状、大小均不发生改变。
(3) 三角形所有顶点横坐标不变、纵坐标都减少1时，每个顶点都沿y轴负方向移动1个单位，因此△ABC整体沿y轴负方向向下平移1个单位长度，形状、大小均不发生改变。
【答案】
(1) 平面直角坐标系见解析，点B的坐标为$\boldsymbol{(-3,2)}$；
(2) 该三角形沿x轴正方向向右平移2个单位长度，三角形的形状、大小均不发生改变；
(3) 该三角形沿y轴负方向向下平移1个单位长度，三角形的形状、大小均不发生改变。
【知识点】
平面直角坐标系；点的坐标；坐标与平移变换
【点评】
本题结合网格考查坐标系的建立、坐标读取以及图形平移与坐标变化的对应规律，基础性较强，解题的关键是熟练掌握平移时“横坐标右加左减、纵坐标上加下减”的变化规律。
【难度系数】
0.8
(1) 要建立平面直角坐标系，需先根据已知点A、C的坐标确定原点位置：点A坐标为(-2,3)，说明原点在A点右侧2个单位、下方3个单位的格点处，确定原点后画出x轴、y轴即可，再根据B点在坐标系中的位置，数出横、纵坐标得到B的坐标。
(2) 回忆点的平移规律：当纵坐标不变，横坐标增加正数时，点会沿x轴正方向平移对应单位长度，整个三角形所有顶点都做相同平移，所以整体平移，平移不改变图形的形状和大小。
(3) 同理，横坐标不变，纵坐标减少正数时，点会沿y轴负方向平移对应单位长度，三角形整体平移，形状大小不变。
【解析】
(1) 第一步确定原点：从点A(-2,3)向右数2个单位，向下数3个单位，得到的格点即为坐标原点O，过原点画水平向右为正方向的x轴，竖直向上为正方向的y轴，标注单位长度，完成平面直角坐标系的绘制。
第二步读B点坐标：观察B点，在x轴负方向距离原点3个单位，y轴正方向距离原点2个单位，因此B的坐标为(-3,2)。
(2) 三角形所有顶点横坐标都增加2、纵坐标不变时，每个顶点都沿x轴正方向移动2个单位，因此△ABC整体沿x轴正方向向右平移2个单位长度，平移属于全等变换，三角形的形状、大小均不发生改变。
(3) 三角形所有顶点横坐标不变、纵坐标都减少1时，每个顶点都沿y轴负方向移动1个单位，因此△ABC整体沿y轴负方向向下平移1个单位长度，形状、大小均不发生改变。
【答案】
(1) 平面直角坐标系见解析，点B的坐标为$\boldsymbol{(-3,2)}$；
(2) 该三角形沿x轴正方向向右平移2个单位长度，三角形的形状、大小均不发生改变；
(3) 该三角形沿y轴负方向向下平移1个单位长度，三角形的形状、大小均不发生改变。
【知识点】
平面直角坐标系；点的坐标；坐标与平移变换
【点评】
本题结合网格考查坐标系的建立、坐标读取以及图形平移与坐标变化的对应规律，基础性较强，解题的关键是熟练掌握平移时“横坐标右加左减、纵坐标上加下减”的变化规律。
【难度系数】
0.8
例 如图4-7,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在网格点上,其中点C坐标为(1,2).
(1) 点A的坐标是,点B的坐标是;
(2) 将△ABC先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到△A'B'C',在图中作出平移后的图形,并写出△A'B'C'三个顶点的坐标;
(3) 求△ABC的面积.
图4-7
(1) 点A的坐标是,点B的坐标是;
(2) 将△ABC先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到△A'B'C',在图中作出平移后的图形,并写出△A'B'C'三个顶点的坐标;
(3) 求△ABC的面积.
图4-7
答案
解：
(1) $(2,-1)$；$(4,3)$
(2) 分别将点$A$、$B$、$C$按要求平移得到对应点$A'$、$B'$、$C'$，顺次连接三点即可得到$△ A'B'C'$。
根据平移的坐标变化规律：向左平移2个单位横坐标减2，向上平移1个单位纵坐标加1，可得：
$A'(0,0)$，$B'(2,4)$，$C'(-1,3)$。
(3) 用割补法计算面积：
$S_{△ ABC}=3×4-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×1×3$
$=12-1.5-4-1.5$
$=5$
(1) $(2,-1)$；$(4,3)$
(2) 分别将点$A$、$B$、$C$按要求平移得到对应点$A'$、$B'$、$C'$，顺次连接三点即可得到$△ A'B'C'$。
根据平移的坐标变化规律：向左平移2个单位横坐标减2，向上平移1个单位纵坐标加1，可得：
$A'(0,0)$，$B'(2,4)$，$C'(-1,3)$。
(3) 用割补法计算面积：
$S_{△ ABC}=3×4-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×1×3$
$=12-1.5-4-1.5$
$=5$
解析
【分析】
(1) 要确定平面直角坐标系中点的坐标，横坐标为点对应x轴的数值（右为正、左为负），纵坐标为点对应y轴的数值（上为正、下为负），结合已知C点坐标可知每个网格边长为1，据此即可读出A、B的坐标。
(2) 平移的坐标变化规律为：横坐标“左减右加”，纵坐标“上加下减”。将A、B、C三点的横坐标都减2、纵坐标都加1，即可得到平移后对应点的坐标，顺次连接三点就能得到平移后的三角形。
(3) 网格中不规则三角形的面积适合用割补法求解：先将△ABC框在一个矩形内，用矩形面积减去△ABC周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 观察坐标系，点A的横坐标为2，纵坐标为-1，故A(2,-1)；点B的横坐标为4，纵坐标为3，故B(4,3)。
(2) 根据平移坐标规律计算平移后各点坐标：
$A'$的横坐标：$2-2=0$，纵坐标：$-1+1=0$，即$A'(0,0)$；
$B'$的横坐标：$4-2=2$，纵坐标：$3+1=4$，即$B'(2,4)$；
$C'$的横坐标：$1-2=-1$，纵坐标：$2+1=3$，即$C'(-1,3)$。
在坐标系中找到上述三点，顺次连接即可得到平移后的$△ A'B'C'$。
(3) 用割补法计算面积：
$\begin{split}S_{△ ABC}&=3×4-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×1×3\\&=12-1.5-4-1.5\\&=5\end{split}$
【答案】
(1) $(2,-1)$；$(4,3)$
(2) 作图略，$A'(0,0)$，$B'(2,4)$，$C'(-1,3)$
(3) $5$
【知识点】
点的坐标特征，坐标与平移变换，割补法求面积
【点评】
本题是坐标与图形变换的基础题型，综合考查了坐标识别、平移的坐标变化规律以及网格图形面积计算，侧重对基础方法的考查，掌握相关规律和方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定平面直角坐标系中点的坐标，横坐标为点对应x轴的数值（右为正、左为负），纵坐标为点对应y轴的数值（上为正、下为负），结合已知C点坐标可知每个网格边长为1，据此即可读出A、B的坐标。
(2) 平移的坐标变化规律为：横坐标“左减右加”，纵坐标“上加下减”。将A、B、C三点的横坐标都减2、纵坐标都加1，即可得到平移后对应点的坐标，顺次连接三点就能得到平移后的三角形。
(3) 网格中不规则三角形的面积适合用割补法求解：先将△ABC框在一个矩形内，用矩形面积减去△ABC周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 观察坐标系，点A的横坐标为2，纵坐标为-1，故A(2,-1)；点B的横坐标为4，纵坐标为3，故B(4,3)。
(2) 根据平移坐标规律计算平移后各点坐标：
$A'$的横坐标：$2-2=0$，纵坐标：$-1+1=0$，即$A'(0,0)$；
$B'$的横坐标：$4-2=2$，纵坐标：$3+1=4$，即$B'(2,4)$；
$C'$的横坐标：$1-2=-1$，纵坐标：$2+1=3$，即$C'(-1,3)$。
在坐标系中找到上述三点，顺次连接即可得到平移后的$△ A'B'C'$。
(3) 用割补法计算面积：
$\begin{split}S_{△ ABC}&=3×4-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×1×3\\&=12-1.5-4-1.5\\&=5\end{split}$
【答案】
(1) $(2,-1)$；$(4,3)$
(2) 作图略，$A'(0,0)$，$B'(2,4)$，$C'(-1,3)$
(3) $5$
【知识点】
点的坐标特征，坐标与平移变换，割补法求面积
【点评】
本题是坐标与图形变换的基础题型，综合考查了坐标识别、平移的坐标变化规律以及网格图形面积计算，侧重对基础方法的考查，掌握相关规律和方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 将点$(1,2)$向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到对应点的坐标是；
答案
解：
根据平移的坐标变化规律：点向左平移a个单位，横坐标减a；点向下平移b个单位，纵坐标减b。
将点$(1,2)$向左平移1个单位长度，横坐标为$1-1=0$，纵坐标保持2不变，得到点$(0,2)$；
再将点$(0,2)$向下平移2个单位长度，纵坐标为$2-2=0$，横坐标保持0不变，得到对应点的坐标是$\boldsymbol{(0,0)}$。
根据平移的坐标变化规律：点向左平移a个单位，横坐标减a；点向下平移b个单位，纵坐标减b。
将点$(1,2)$向左平移1个单位长度，横坐标为$1-1=0$，纵坐标保持2不变，得到点$(0,2)$；
再将点$(0,2)$向下平移2个单位长度，纵坐标为$2-2=0$，横坐标保持0不变，得到对应点的坐标是$\boldsymbol{(0,0)}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确平面直角坐标系中点的平移坐标变化规律：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，上加下减。本题分两步平移，先计算向左平移后的坐标，再在此基础上计算向下平移后的坐标即可得到结果。
【解析】
根据平移的坐标变化规律：点向左平移a个单位，横坐标减a；点向下平移b个单位，纵坐标减b。
第一步：将点$(1,2)$向左平移1个单位长度，横坐标为$1-1=0$，纵坐标保持2不变，得到点$(0,2)$；
第二步：将点$(0,2)$向下平移2个单位长度，纵坐标为$2-2=0$，横坐标保持0不变，最终得到对应点的坐标。
【答案】
$\boldsymbol{(0,0)}$
【知识点】
1. 平移的坐标变化规律 2. 平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是平移类坐标计算的基础题型，核心考查平移时坐标的变化规则，只要牢记“左减右加横变，上加下减纵变”的规律，即可快速准确求解，是后续复杂图形平移坐标计算的基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确平面直角坐标系中点的平移坐标变化规律：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，上加下减。本题分两步平移，先计算向左平移后的坐标，再在此基础上计算向下平移后的坐标即可得到结果。
【解析】
根据平移的坐标变化规律：点向左平移a个单位，横坐标减a；点向下平移b个单位，纵坐标减b。
第一步：将点$(1,2)$向左平移1个单位长度，横坐标为$1-1=0$，纵坐标保持2不变，得到点$(0,2)$；
第二步：将点$(0,2)$向下平移2个单位长度，纵坐标为$2-2=0$，横坐标保持0不变，最终得到对应点的坐标。
【答案】
$\boldsymbol{(0,0)}$
【知识点】
1. 平移的坐标变化规律 2. 平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是平移类坐标计算的基础题型，核心考查平移时坐标的变化规则，只要牢记“左减右加横变，上加下减纵变”的规律，即可快速准确求解，是后续复杂图形平移坐标计算的基础。
【难度系数】
0.9
(2) 若将点 P 向左平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到点 $P'(-1,3)$，则点 P 的坐标是 ；
$y$
$B_1(a,2)$
$y$
$B_1(a,2)$
答案
解：设点P的坐标为$(x,y)$，
根据平移的坐标变化规律：点向左平移2个单位长度，横坐标减2；点向上平移2个单位长度，纵坐标加2，可得：
$x - 2 = -1$，$y + 2 = 3$，
解得$x=1$，$y=1$，
即点P的坐标是$\boldsymbol{(1,1)}$。
根据平移的坐标变化规律：点向左平移2个单位长度，横坐标减2；点向上平移2个单位长度，纵坐标加2，可得：
$x - 2 = -1$，$y + 2 = 3$，
解得$x=1$，$y=1$，
即点P的坐标是$\boldsymbol{(1,1)}$。
解析
【分析】
本题已知点平移后的坐标，求平移前的原坐标，解题思路如下：首先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：向左平移时横坐标减小，向右平移时横坐标增大，向上平移时纵坐标增大，向下平移时纵坐标减小。我们可以通过两种思路解题：一是正向推导，设出原点点P的坐标，根据平移规则列出关于横、纵坐标的等式，解方程即可得到原坐标；二是逆向推导，把平移后的点P'按照相反的方向平移（即向右平移2个单位，向下平移2个单位），直接得到原点点P的坐标。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$，
根据平移的坐标变化规律：点向左平移2个单位长度，横坐标减2；点向上平移2个单位长度，纵坐标加2，可得：
$x - 2 = -1$，$y + 2 = 3$，
解得$x=1$，$y=1$，
即点P的坐标是$(1,1)$。
【答案】
$\boldsymbol{(1,1)}$
【知识点】
1. 点平移的坐标变化规律
2. 坐标运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查点平移时的坐标变化规律的应用，既可以通过设未知数列方程正向求解，也可以通过逆向平移直接计算，熟练掌握平移的坐标变化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题已知点平移后的坐标，求平移前的原坐标，解题思路如下：首先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：向左平移时横坐标减小，向右平移时横坐标增大，向上平移时纵坐标增大，向下平移时纵坐标减小。我们可以通过两种思路解题：一是正向推导，设出原点点P的坐标，根据平移规则列出关于横、纵坐标的等式，解方程即可得到原坐标；二是逆向推导，把平移后的点P'按照相反的方向平移（即向右平移2个单位，向下平移2个单位），直接得到原点点P的坐标。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$，
根据平移的坐标变化规律：点向左平移2个单位长度，横坐标减2；点向上平移2个单位长度，纵坐标加2，可得：
$x - 2 = -1$，$y + 2 = 3$，
解得$x=1$，$y=1$，
即点P的坐标是$(1,1)$。
【答案】
$\boldsymbol{(1,1)}$
【知识点】
1. 点平移的坐标变化规律
2. 坐标运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查点平移时的坐标变化规律的应用，既可以通过设未知数列方程正向求解，也可以通过逆向平移直接计算，熟练掌握平移的坐标变化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
（3）将点$P(-1,3)$向右平移$n$个单位长度到达点$Q$，若点$Q$的横坐标和纵坐标相等，则$n=$；
B(0,1)
O
A(2,0)
$A_1(3,b)$
x
B(0,1)
O
A(2,0)
$A_1(3,b)$
x
答案
解：
点$P(-1,3)$向右平移$n$个单位长度后，纵坐标保持不变，横坐标增加$n$，因此点$Q$的坐标为$(-1+n, 3)$。
根据点$Q$的横坐标和纵坐标相等，列方程得：
$-1 + n = 3$
解得$n=4$。
点$P(-1,3)$向右平移$n$个单位长度后，纵坐标保持不变，横坐标增加$n$，因此点$Q$的坐标为$(-1+n, 3)$。
根据点$Q$的横坐标和纵坐标相等，列方程得：
$-1 + n = 3$
解得$n=4$。
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：点向右平移时，纵坐标保持不变，横坐标加上平移的单位长度。首先根据平移规则写出平移后点Q的坐标，再结合“点Q的横坐标和纵坐标相等”的条件列方程，解方程即可求出n的值。
【解析】
点$P(-1,3)$向右平移$n$个单位长度，根据平移的坐标变化规律，平移后纵坐标不变，横坐标增加$n$，因此点$Q$的坐标为$(-1+n, 3)$。
已知点$Q$的横坐标和纵坐标相等，可列方程：
$-1 + n = 3$
解得：$n=4$
【答案】
$4$
【知识点】
1. 点平移的坐标规律
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础题型，核心考查点平移时的坐标变化规则，解题的关键是准确写出平移后的点坐标，结合题目给出的等量关系列方程求解，掌握平移坐标规律即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：点向右平移时，纵坐标保持不变，横坐标加上平移的单位长度。首先根据平移规则写出平移后点Q的坐标，再结合“点Q的横坐标和纵坐标相等”的条件列方程，解方程即可求出n的值。
【解析】
点$P(-1,3)$向右平移$n$个单位长度，根据平移的坐标变化规律，平移后纵坐标不变，横坐标增加$n$，因此点$Q$的坐标为$(-1+n, 3)$。
已知点$Q$的横坐标和纵坐标相等，可列方程：
$-1 + n = 3$
解得：$n=4$
【答案】
$4$
【知识点】
1. 点平移的坐标规律
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础题型，核心考查点平移时的坐标变化规则，解题的关键是准确写出平移后的点坐标，结合题目给出的等量关系列方程求解，掌握平移坐标规律即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
(4) 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(2,0),(0,1),将线段AB平移至$A_1B_1$,那么$a+b$的值为.
[第1(4)题]
[第1(4)题]
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
要解决本题，需利用平移的坐标变化规律思考：①首先明确图形平移时，所有对应点的横坐标变化量相同，纵坐标变化量也相同；②结合已知的点A、B的坐标，以及平移后A₁、B₁的部分坐标，分别求出横、纵坐标的平移变化量；③根据变化量算出a、b的取值，最后代入计算a+b即可。
【解析】
根据平移的性质，线段平移过程中，对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。
由题图可得，点A(2,0)平移后对应点为A₁(3,b)，点B(0,1)平移后对应点为B₁(a,2)。
计算横坐标的平移变化量：$3 - 2 = 1$，即线段向右平移1个单位，因此$a = 0 + 1 = 1$；
计算纵坐标的平移变化量：$2 - 1 = 1$，即线段向上平移1个单位，因此$b = 0 + 1 = 1$；
所以$a + b = 1 + 1 = 2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
平移的坐标变化规律、代数式求值
【点评】
本题是基础类题目，核心考查平移的坐标变化性质的应用，解题的关键是抓住平移前后对应点的坐标变化量一致的特点，计算难度较小。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需利用平移的坐标变化规律思考：①首先明确图形平移时，所有对应点的横坐标变化量相同，纵坐标变化量也相同；②结合已知的点A、B的坐标，以及平移后A₁、B₁的部分坐标，分别求出横、纵坐标的平移变化量；③根据变化量算出a、b的取值，最后代入计算a+b即可。
【解析】
根据平移的性质，线段平移过程中，对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。
由题图可得，点A(2,0)平移后对应点为A₁(3,b)，点B(0,1)平移后对应点为B₁(a,2)。
计算横坐标的平移变化量：$3 - 2 = 1$，即线段向右平移1个单位，因此$a = 0 + 1 = 1$；
计算纵坐标的平移变化量：$2 - 1 = 1$，即线段向上平移1个单位，因此$b = 0 + 1 = 1$；
所以$a + b = 1 + 1 = 2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
平移的坐标变化规律、代数式求值
【点评】
本题是基础类题目，核心考查平移的坐标变化性质的应用，解题的关键是抓住平移前后对应点的坐标变化量一致的特点，计算难度较小。
【难度系数】
0.8
