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4. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(2，1)，B(6，1)，C(6，5)，D(2，5)。
（1）画出这个正方形；
（2）若以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立新的平面直角坐标系，写出A，B，C，D四个点在新平面直角坐标系中的坐标；
（3）已知点E在原平面直角坐标系中的坐标是(a，b)，则它在新平面直角坐标系中的坐标是。
（1）画出这个正方形；
（2）若以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立新的平面直角坐标系，写出A，B，C，D四个点在新平面直角坐标系中的坐标；
（3）已知点E在原平面直角坐标系中的坐标是(a，b)，则它在新平面直角坐标系中的坐标是。
答案
解：
(1) 在给定的平面直角坐标系中，描出点A(2,1)、B(6,1)、C(6,5)、D(2,5)，顺次连接AB、BC、CD、DA，得到的四边形即为所求正方形。
(2) 新平面直角坐标系中四个点的坐标分别为：
A(0, 0)，B(4, 0)，C(4, 4)，D(0, 4)。
(3) $(a-2, b-1)$
(1) 在给定的平面直角坐标系中，描出点A(2,1)、B(6,1)、C(6,5)、D(2,5)，顺次连接AB、BC、CD、DA，得到的四边形即为所求正方形。
(2) 新平面直角坐标系中四个点的坐标分别为：
A(0, 0)，B(4, 0)，C(4, 4)，D(0, 4)。
(3) $(a-2, b-1)$
解析
【分析】
（1）第一问画正方形，思路是先根据四个点的坐标在原平面直角坐标系中定位到对应格点，再顺次连接四个点即可得到所求正方形。
（2）第二问建立新坐标系后，求点的新坐标本质是计算各点相对于新原点（即原A点）的位置：x轴正方向向右，y轴正方向向上，点在A右侧的距离就是新横坐标，点在A上方的距离就是新纵坐标。
（3）第三问是坐标变换的一般规律，新坐标系原点对应原坐标(2,1)，因此任意点的新横坐标等于原横坐标减去2，新纵坐标等于原纵坐标减去1，即可得到对应新坐标。
【解析】
(1) 操作步骤：在给定的平面直角坐标系中，先描出点A(2,1)、B(6,1)、C(6,5)、D(2,5)，再顺次连接AB、BC、CD、DA，得到的四边形就是所求正方形。
(2) 新坐标系以A为原点：
A是新坐标系原点，坐标为$(0,0)$；
B在A右侧4个单位，与A纵坐标相同，新坐标为$(4,0)$；
C在A右侧4个单位、上方4个单位，新坐标为$(4,4)$；
D在A上方4个单位，与A横坐标相同，新坐标为$(0,4)$。
(3) 点E原坐标为$(a,b)$，新坐标系原点对应原坐标$(2,1)$，因此新横坐标为$a-2$，新纵坐标为$b-1$，即新坐标为$(a-2,b-1)$。
【答案】
(1) 按解析步骤描点连线即可；
(2) A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)；
(3) $(a-2,b-1)$
【知识点】
1. 坐标系描点作图
2. 点的坐标表示
3. 坐标平移规律
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用，核心是理解坐标的相对性，掌握坐标系平移时点的坐标变化规律即可顺利解题，是坐标系相关知识的基础巩固类习题。
【难度系数】
0.8
（1）第一问画正方形，思路是先根据四个点的坐标在原平面直角坐标系中定位到对应格点，再顺次连接四个点即可得到所求正方形。
（2）第二问建立新坐标系后，求点的新坐标本质是计算各点相对于新原点（即原A点）的位置：x轴正方向向右，y轴正方向向上，点在A右侧的距离就是新横坐标，点在A上方的距离就是新纵坐标。
（3）第三问是坐标变换的一般规律，新坐标系原点对应原坐标(2,1)，因此任意点的新横坐标等于原横坐标减去2，新纵坐标等于原纵坐标减去1，即可得到对应新坐标。
【解析】
(1) 操作步骤：在给定的平面直角坐标系中，先描出点A(2,1)、B(6,1)、C(6,5)、D(2,5)，再顺次连接AB、BC、CD、DA，得到的四边形就是所求正方形。
(2) 新坐标系以A为原点：
A是新坐标系原点，坐标为$(0,0)$；
B在A右侧4个单位，与A纵坐标相同，新坐标为$(4,0)$；
C在A右侧4个单位、上方4个单位，新坐标为$(4,4)$；
D在A上方4个单位，与A横坐标相同，新坐标为$(0,4)$。
(3) 点E原坐标为$(a,b)$，新坐标系原点对应原坐标$(2,1)$，因此新横坐标为$a-2$，新纵坐标为$b-1$，即新坐标为$(a-2,b-1)$。
【答案】
(1) 按解析步骤描点连线即可；
(2) A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)；
(3) $(a-2,b-1)$
【知识点】
1. 坐标系描点作图
2. 点的坐标表示
3. 坐标平移规律
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用，核心是理解坐标的相对性，掌握坐标系平移时点的坐标变化规律即可顺利解题，是坐标系相关知识的基础巩固类习题。
【难度系数】
0.8
5. 在平面直角坐标系中，$△ ABC$的位置如图所示，$△ DEF$的顶点坐标分别是$D(0, -1)$，$E(-4, -3)$，$F(-1, -3)$。
(1) $△ ABC$的顶点坐标分别是，，；
(2) 画出$△ DEF$；
(3) 过原点$O$任意画一条直线$l$分别交$BC$，$EF$于点$M$，$N$。已知点$M$的坐标是$(a, b)$，则点$N$的坐标是。
(1) $△ ABC$的顶点坐标分别是，，；
(2) 画出$△ DEF$；
(3) 过原点$O$任意画一条直线$l$分别交$BC$，$EF$于点$M$，$N$。已知点$M$的坐标是$(a, b)$，则点$N$的坐标是。
答案
解：
(1) $A(0,1)$，$B(4,2)$，$C(1,2)$；
(2) 在平面直角坐标系内分别描出点$D(0,-1)$、$E(-4,-3)$、$F(-1,-3)$，顺次连接$DE$、$EF$、$FD$，即可得到$△ DEF$；
(3) $(-\dfrac{3}{2}a, -\dfrac{3}{2}b)$。
(1) $A(0,1)$，$B(4,2)$，$C(1,2)$；
(2) 在平面直角坐标系内分别描出点$D(0,-1)$、$E(-4,-3)$、$F(-1,-3)$，顺次连接$DE$、$EF$、$FD$，即可得到$△ DEF$；
(3) $(-\dfrac{3}{2}a, -\dfrac{3}{2}b)$。
解析
【分析】
(1) 读取平面直角坐标系中点的坐标，分别确定点A、B、C对应的横坐标（x轴对应数值）和纵坐标（y轴对应数值）即可。
(2) 画△DEF只需先根据给出的D、E、F三点坐标在坐标系中描出对应点，再顺次连接三个点即可。
(3) 过原点的直线上的点符合正比例函数关系，横、纵坐标的比值恒定，结合BC上点的纵坐标恒为2、EF上点的纵坐标恒为-3，可推出两点坐标的比例关系，进而求出点N的坐标。
【解析】
(1) 观察坐标系：
点A在y轴上，横坐标为0，纵坐标为1，故A(0,1)；
点B横坐标对应4，纵坐标对应2，故B(4,2)；
点C横坐标对应1，纵坐标对应2，故C(1,2)。
(2) 绘图步骤：
① 先在坐标系中找到x=0、y=-1的位置描出点D，找到x=-4、y=-3的位置描出点E，找到x=-1、y=-3的位置描出点F；
② 顺次连接DE、EF、FD，得到的三角形即为△DEF。
(3) 设过原点的直线l的解析式为$y=kx$（$k≠0$）：
∵ 点$M(a,b)$在直线l上，
∴ $b=ka$，可得$k=\frac{b}{a}$（$a≠0$）。
又
∵ 点M在BC上，BC上所有点的纵坐标均为2，故$b=2$；点N在EF上，EF上所有点的纵坐标均为-3，设$N(x,y)$，则$y=-3$。
将$y=-3$、$k=\frac{b}{a}$代入$y=kx$，得：$-3=\frac{b}{a}· x$，解得$x=-\frac{3a}{b}$。
代入$b=2$，可得$x=-\frac{3a}{2}$，$y=-3=-\frac{3}{2}×2=-\frac{3b}{2}$，故点N坐标为$(-\frac{3}{2}a,-\frac{3}{2}b)$。
【答案】
(1) $A(0,1)$，$B(4,2)$，$C(1,2)$；
(2) 按解析步骤描点连线即可画出△DEF；
(3) $(-\dfrac{3}{2}a, -\dfrac{3}{2}b)$
【知识点】
点的坐标表示，描点画几何图形，正比例函数的性质
【点评】
本题侧重考查平面直角坐标系的基础应用，前两问属于基础考点，第三问需要结合共线点的坐标特征推导比例关系，能很好地检验对坐标系和函数性质的结合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 读取平面直角坐标系中点的坐标，分别确定点A、B、C对应的横坐标（x轴对应数值）和纵坐标（y轴对应数值）即可。
(2) 画△DEF只需先根据给出的D、E、F三点坐标在坐标系中描出对应点，再顺次连接三个点即可。
(3) 过原点的直线上的点符合正比例函数关系，横、纵坐标的比值恒定，结合BC上点的纵坐标恒为2、EF上点的纵坐标恒为-3，可推出两点坐标的比例关系，进而求出点N的坐标。
【解析】
(1) 观察坐标系：
点A在y轴上，横坐标为0，纵坐标为1，故A(0,1)；
点B横坐标对应4，纵坐标对应2，故B(4,2)；
点C横坐标对应1，纵坐标对应2，故C(1,2)。
(2) 绘图步骤：
① 先在坐标系中找到x=0、y=-1的位置描出点D，找到x=-4、y=-3的位置描出点E，找到x=-1、y=-3的位置描出点F；
② 顺次连接DE、EF、FD，得到的三角形即为△DEF。
(3) 设过原点的直线l的解析式为$y=kx$（$k≠0$）：
∵ 点$M(a,b)$在直线l上，
∴ $b=ka$，可得$k=\frac{b}{a}$（$a≠0$）。
又
∵ 点M在BC上，BC上所有点的纵坐标均为2，故$b=2$；点N在EF上，EF上所有点的纵坐标均为-3，设$N(x,y)$，则$y=-3$。
将$y=-3$、$k=\frac{b}{a}$代入$y=kx$，得：$-3=\frac{b}{a}· x$，解得$x=-\frac{3a}{b}$。
代入$b=2$，可得$x=-\frac{3a}{2}$，$y=-3=-\frac{3}{2}×2=-\frac{3b}{2}$，故点N坐标为$(-\frac{3}{2}a,-\frac{3}{2}b)$。
【答案】
(1) $A(0,1)$，$B(4,2)$，$C(1,2)$；
(2) 按解析步骤描点连线即可画出△DEF；
(3) $(-\dfrac{3}{2}a, -\dfrac{3}{2}b)$
【知识点】
点的坐标表示，描点画几何图形，正比例函数的性质
【点评】
本题侧重考查平面直角坐标系的基础应用，前两问属于基础考点，第三问需要结合共线点的坐标特征推导比例关系，能很好地检验对坐标系和函数性质的结合应用能力。
【难度系数】
0.7
