7. 如图,两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O,下列结论：①∠AOB= ∠COD；②∠AOB+∠COD= 90°；③若OB平分∠AOC,则OC平分∠BOD；④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线. 其中正确的是______(填序号).

解：①
∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠COD，①正确。
②
由①知∠AOB=∠COD，若∠AOB=30°，则∠COD=30°，∠AOB+∠COD=60°≠90°，②错误。
③
若OB平分∠AOC，∠AOC=90°，则∠AOB=∠BOC=45°，
∵∠BOD=90°，∴∠COD=∠BOD - ∠BOC=45°，
∴∠BOC=∠COD=45°，OC平分∠BOD，③正确。
④
设∠AOB=∠COD=α，则∠BOC=90° - α，∠AOD=∠AOC + ∠COD=90° + α，
∠AOD的平分线将其分为两个(45° + α/2)的角，
∠BOC的平分线将其分为两个(45° - α/2)的角，
射线位置不同，④错误。
正确的是①③。
答案：①③

8. 如图,在平面内,O是直线AC上一点,∠AOB= 60°,射线OC不动,射线OA,OB同时开始绕点O顺时针转动,射线OA首次回到起始位置时两线同时停止转动,射线OA,OB的转动速度分别为每秒40°和每秒20°. 若转动t s时,射线OA,OB,OC中的一条是另外两条组成角的平分线,则t= ______s.

解：射线OA转动t秒后的位置角度为$40t^{\circ}$，射线OB转动t秒后的位置角度为$60 + 20t^{\circ}$（初始$\angle AOB = 60^{\circ}$，OB从初始位置顺时针转动）。射线OC在直线AC上，位置固定为$180^{\circ}$方向（以OA初始位置为$0^{\circ}$）。
分三种情况：
1. OA是OB与OC的平分线：$2×40t = (60 + 20t) + 180$，解得$t = 2$。
2. OB是OA与OC的平分线：$2×(60 + 20t) = 40t + 180$，方程无解。
3. OC是OA与OB的平分线：$2×180 = 40t + (60 + 20t)$，解得$t = 5$。
综上，$t = 2$或$5$。
答案：2或5

9.(2024 昭通期末)如图,OC是∠AOD的平分线,OE是∠BOD的平分线,∠AOB= 130°.
(1)求∠COE的度数；
(2)如果∠COD= 20°,求∠BOE的度数.

【解析】：本题主要考查角的平分线的性质。
(1)因为OC是$\angle AOD$的平分线，OE是$\angle BOD$的平分线，
所以$\angle COD=\frac{1}{2}\angle AOD$，$\angle DOE=\frac{1}{2}\angle BOD$，
所以$\angle COE=\angle COD+\angle DOE=\frac{1}{2}(\angle AOD+\angle BOD)=\frac{1}{2}\angle AOB=65^\circ$。
(2)由(1)可知$\angle COE=65^\circ$，
因为$\angle COD=20^\circ$，
所以$\angle DOE=\angle COE-\angle COD=45^\circ$,
因为OE是$\angle BOD$的平分线，
所以$\angle BOE=\angle DOE=45^\circ$。
【答案】：(1)$\angle COE=65^\circ$
(2)$\angle BOE=45^\circ$

10.(几何直观、推理能力)(1)如图(1),点C在线段AB上,AC= 9,CB= 5,M,N分别是线段AC,BC的中点. 求线段MN的长.
(2)点C在线段AB上,若AC+CB= a,M,N分别是线段AC,BC的中点. 你能得出MN的长度吗？请说明理由.
(3)类似地,如图(2),∠AOB是直角,射线OC在∠AOB外部,且∠AOC是锐角,ON是∠AOC的平分线,OM是∠BOC的平分线. 当∠AOC的大小发生改变时,∠MON的大小也会发生改变吗？为什么？

【解析】：
(1)本题主要考查线段中点的性质以及线段的和差关系，通过中点性质求出$MC$与$NC$的长度，再根据$MN=MC + NC$求出$MN$的长度。
(2)本题同样利用线段中点的性质，先分别表示出$MC$与$NC$关于$AC$、$BC$和$a$的表达式，再根据$MN=MC + NC$得出$MN$与$a$的关系。
(3)本题考查角平分线的性质以及角的和差关系，先根据角平分线性质分别表示出$\angle MOC$与$\angle NOC$，再通过$\angle MON=\angle MOC-\angle NOC$判断$\angle MON$的大小是否随$\angle AOC$的改变而改变。
【答案】：
(1)
解：因为$M$是$AC$的中点，$AC = 9$，根据线段中点的性质，即中点将线段分为相等的两部分，所以$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9 = 4.5$。
同理，$N$是$BC$的中点，$CB = 5$，则$NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5 = 2.5$。
根据线段的和差关系，$MN=MC + NC$，所以$MN=4.5 + 2.5 = 7$。
(2)
能，$MN=\frac{1}{2}a$。
理由：因为$M$是$AC$的中点，根据线段中点的性质，所以$MC=\frac{1}{2}AC$。
又因为$N$是$BC$的中点，所以$NC=\frac{1}{2}BC$。
根据线段的和差关系，$MN=MC + NC$，将$MC=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$代入可得：
$MN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC + BC)$。
已知$AC + BC=a$，所以$MN=\frac{1}{2}a$。
(3)
不会发生改变，$\angle MON=\frac{1}{2}\angle AOB = 45^{\circ}$。
理由：因为$OM$平分$\angle BOC$，根据角平分线的性质，即角平分线将角分为相等的两部分，所以$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle BOC$。
又因为$ON$平分$\angle AOC$，所以$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle AOC$。
根据角的和差关系，$\angle MON=\angle MOC-\angle NOC$，将$\angle MOC=\frac{1}{2}\angle BOC$，$\angle NOC=\frac{1}{2}\angle AOC$代入可得：
$\angle MON=\frac{1}{2}\angle BOC-\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}(\angle BOC-\angle AOC)$。
因为$\angle BOC-\angle AOC=\angle AOB$，且$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$\angle MON=\frac{1}{2}\angle AOB = 45^{\circ}$。
即当$\angle AOC$的大小发生改变时，$\angle MON$的大小不会发生改变。