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4. 某水果店以 10 元/kg 的价格购进某种葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于 18 元/kg. 试销期间发现，该种葡萄每周的销售量 y（单位：kg）与销售单价 x（单位：元/kg）满足一次函数关系，部分数据如表所示.
（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
（2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售该种葡萄获得的利润为 510 元？
（3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售该种葡萄获得的利润 w（单位：元）最大？最大利润是多少？
（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
（2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售该种葡萄获得的利润为 510 元？
（3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售该种葡萄获得的利润 w（单位：元）最大？最大利润是多少？
答案
4. 解（1）设 y 关于 x 的函数解析式为 y = kx + b（k≠0）.
所以 $\begin{cases}12k+b=180,\\14k+b=160.\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}k=-10,\\b=300.\end{cases}$
所以 y = -10x + 300.
因为规定销售单价不低于成本价，且不高于 18 元/kg. 所以 10≤x≤18.
所以 y = -10x + 300（10≤x≤18）.
（2）由题意，得 (x-10)(-10x+300)=510.
所以 x₁=13，x₂=27＞18（舍去）.
所以当销售单价定为 13 元/kg 时，水果店每周销售该种葡萄可获得的利润为 510 元.
（3）根据题意得 w = (x-10)(-10x+300) = -10x²+400x-3 000 = -10(x-20)²+1 000.
因为-10＜0，且 10≤x≤18，
所以当销售单价为 18 元/kg 时，水果店每周销售该种葡萄获得的利润最大，最大利润是 960 元.
所以 $\begin{cases}12k+b=180,\\14k+b=160.\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}k=-10,\\b=300.\end{cases}$
所以 y = -10x + 300.
因为规定销售单价不低于成本价，且不高于 18 元/kg. 所以 10≤x≤18.
所以 y = -10x + 300（10≤x≤18）.
（2）由题意，得 (x-10)(-10x+300)=510.
所以 x₁=13，x₂=27＞18（舍去）.
所以当销售单价定为 13 元/kg 时，水果店每周销售该种葡萄可获得的利润为 510 元.
（3）根据题意得 w = (x-10)(-10x+300) = -10x²+400x-3 000 = -10(x-20)²+1 000.
因为-10＜0，且 10≤x≤18，
所以当销售单价为 18 元/kg 时，水果店每周销售该种葡萄获得的利润最大，最大利润是 960 元.
解析
【分析】
（1）已知y与x满足一次函数关系，采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b（k≠0）$，代入表格中两组x、y的对应值，解方程组得到k和b的值，再结合题目给出的销售单价限制（不低于成本10元/kg，不高于18元/kg）确定x的取值范围。
（2）销售总利润=每千克利润×销售量，每千克利润为$(x-10)$元，销售量为y，据此列出关于x的一元二次方程，解方程后根据x的取值范围舍去不符合要求的解，得到正确结果。
（3）先根据利润公式写出w关于x的函数解析式，整理为二次函数的顶点式，结合二次函数的开口方向和x的取值范围，判断出利润最大时对应的x值，再代入计算最大利润。
【解析】
（1）设y关于x的函数解析式为$y = kx + b$（$k≠0$），将$\begin{cases}x=12,y=180\\x=14,y=160\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}12k+b=180\\14k+b=160\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10\\b=300\end{cases}$
又因为销售单价不低于成本价10元/kg，且不高于18元/kg，所以$10≤x≤18$。
因此y关于x的函数解析式为$y = -10x + 300（10≤x≤18）$。
（2）由题意得：
$(x-10)(-10x+300)=510$
整理得$x^2-40x+351=0$，解得$x_1=13$，$x_2=27$。
因为$27＞18$，不符合x的取值范围，故舍去。
（3）根据题意，总利润w的表达式为：
$w = (x-10)(-10x+300)$
整理得$w=-10x^2+400x-3000$，配方得$w=-10(x-20)^2+1000$。
因为$-10＜0$，二次函数开口向下，在对称轴$x=20$左侧，w随x的增大而增大，又因为$10≤x≤18＜20$，所以当$x=18$时，w取得最大值，代入得：
$w=-10×(18-20)^2+1000=960$
【答案】
（1）$y = -10x + 300（10≤x≤18）$
（2）13元/kg
（3）销售单价定为18元/kg时利润最大，最大利润为960元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用；二次函数的最值应用
【点评】
本题结合销售利润的实际场景，综合考查了一次函数、一元二次方程和二次函数的相关知识，解题时需特别注意自变量的实际取值范围，避免忽略限制条件得到不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
（1）已知y与x满足一次函数关系，采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b（k≠0）$，代入表格中两组x、y的对应值，解方程组得到k和b的值，再结合题目给出的销售单价限制（不低于成本10元/kg，不高于18元/kg）确定x的取值范围。
（2）销售总利润=每千克利润×销售量，每千克利润为$(x-10)$元，销售量为y，据此列出关于x的一元二次方程，解方程后根据x的取值范围舍去不符合要求的解，得到正确结果。
（3）先根据利润公式写出w关于x的函数解析式，整理为二次函数的顶点式，结合二次函数的开口方向和x的取值范围，判断出利润最大时对应的x值，再代入计算最大利润。
【解析】
（1）设y关于x的函数解析式为$y = kx + b$（$k≠0$），将$\begin{cases}x=12,y=180\\x=14,y=160\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}12k+b=180\\14k+b=160\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10\\b=300\end{cases}$
又因为销售单价不低于成本价10元/kg，且不高于18元/kg，所以$10≤x≤18$。
因此y关于x的函数解析式为$y = -10x + 300（10≤x≤18）$。
（2）由题意得：
$(x-10)(-10x+300)=510$
整理得$x^2-40x+351=0$，解得$x_1=13$，$x_2=27$。
因为$27＞18$，不符合x的取值范围，故舍去。
（3）根据题意，总利润w的表达式为：
$w = (x-10)(-10x+300)$
整理得$w=-10x^2+400x-3000$，配方得$w=-10(x-20)^2+1000$。
因为$-10＜0$，二次函数开口向下，在对称轴$x=20$左侧，w随x的增大而增大，又因为$10≤x≤18＜20$，所以当$x=18$时，w取得最大值，代入得：
$w=-10×(18-20)^2+1000=960$
【答案】
（1）$y = -10x + 300（10≤x≤18）$
（2）13元/kg
（3）销售单价定为18元/kg时利润最大，最大利润为960元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用；二次函数的最值应用
【点评】
本题结合销售利润的实际场景，综合考查了一次函数、一元二次方程和二次函数的相关知识，解题时需特别注意自变量的实际取值范围，避免忽略限制条件得到不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
5. 某超市购进一批绿色食品，进价为20元/kg. 如果以30元/kg销售，那么每天可售出400 kg. 由销售经验知，每天销售量y（单位：kg）与销售单价x（单位：元/kg）（x≥30）存在一次函数关系，如图所示.
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）设超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）设超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
答案
5. 解（1）设一次函数的解析式为 y = kx + b（k≠0）. 由图象可知一次函数的图象过点（30，400）和（40，200）. 代入解析式可得 $\begin{cases}30k+b=400,\\40k+b=200.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-20,\\b=1\ 000.\end{cases}$
所以 y 关于 x 的函数解析式为 y = -20x + 1 000（30≤x≤50）.
（2）由（1）可知每天的销售量为 y kg.
所以 p = y(x-20) = (-20x+1 000)(x-20) = -20x²+1 400x-20 000 = -20(x-35)²+4 500. 因为-20＜0，所以当 x=35 时，p 有最大值，最大值为 4 500 元.
即当销售单价为 35 元/kg 时，每天可获得最大利润，最大利润为 4 500 元.
所以 y 关于 x 的函数解析式为 y = -20x + 1 000（30≤x≤50）.
（2）由（1）可知每天的销售量为 y kg.
所以 p = y(x-20) = (-20x+1 000)(x-20) = -20x²+1 400x-20 000 = -20(x-35)²+4 500. 因为-20＜0，所以当 x=35 时，p 有最大值，最大值为 4 500 元.
即当销售单价为 35 元/kg 时，每天可获得最大利润，最大利润为 4 500 元.
解析
【分析】
（1）题目明确y与x是一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设出一次函数一般式$y=kx+b$（$k≠0$），从图像中提取两个已知点坐标$(30,400)$、$(40,200)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k和b的值，再结合销售量$y≥0$以及题目给出的$x≥30$的条件，确定x的取值范围，即可得到完整的函数解析式。
（2）销售利润的计算公式为：总利润=每千克利润×销售量。每千克利润为销售单价x减去进价20元，销售量是第（1）问求出的y关于x的表达式，代入后可得到利润p关于x的二次函数解析式，将其配方为顶点式，结合二次项系数的正负判断开口方向，即可求出最大值对应的x和最大利润。
【解析】
（1）设y关于x的一次函数解析式为$y = kx + b$（$k≠0$），
由图象可知函数图象过点$(30,400)$和$(40,200)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}30k+b=400\\40k+b=200\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$10k=-200$，解得$k=-20$，
将$k=-20$代入$30k+b=400$，得$30×(-20)+b=400$，解得$b=1000$，
又因为$y≥0$，即$-20x+1000≥0$，解得$x≤50$，结合题目给出的$x≥30$，
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y = -20x + 1000（30≤ x≤50）$。
（2）由题意得，每千克食品的利润为$(x-20)$元，每天销售量为$y$kg，
因此总利润$p = (x-20)y$，将$y=-20x+1000$代入得：
$\begin{aligned}p&=(-20x+1000)(x-20)\\&=-20x^2+400x+1000x-20000\\&=-20x^2+1400x-20000\\&=-20(x-35)^2+4500\end{aligned}$
因为$-20＜0$，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，
又因为$x=35$在$30≤ x≤50$的范围内，
所以当$x=35$时，$p$取得最大值，最大值为$4500$元。
【答案】
（1）$y = -20x + 1000（30≤ x≤50）$；
（2）当销售单价为35元/kg时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题以生活中的销售利润问题为载体，综合考查一次函数和二次函数的相关知识，解题的核心是找准等量关系列出函数表达式，再结合函数的性质求解，能够有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）题目明确y与x是一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设出一次函数一般式$y=kx+b$（$k≠0$），从图像中提取两个已知点坐标$(30,400)$、$(40,200)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k和b的值，再结合销售量$y≥0$以及题目给出的$x≥30$的条件，确定x的取值范围，即可得到完整的函数解析式。
（2）销售利润的计算公式为：总利润=每千克利润×销售量。每千克利润为销售单价x减去进价20元，销售量是第（1）问求出的y关于x的表达式，代入后可得到利润p关于x的二次函数解析式，将其配方为顶点式，结合二次项系数的正负判断开口方向，即可求出最大值对应的x和最大利润。
【解析】
（1）设y关于x的一次函数解析式为$y = kx + b$（$k≠0$），
由图象可知函数图象过点$(30,400)$和$(40,200)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}30k+b=400\\40k+b=200\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$10k=-200$，解得$k=-20$，
将$k=-20$代入$30k+b=400$，得$30×(-20)+b=400$，解得$b=1000$，
又因为$y≥0$，即$-20x+1000≥0$，解得$x≤50$，结合题目给出的$x≥30$，
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y = -20x + 1000（30≤ x≤50）$。
（2）由题意得，每千克食品的利润为$(x-20)$元，每天销售量为$y$kg，
因此总利润$p = (x-20)y$，将$y=-20x+1000$代入得：
$\begin{aligned}p&=(-20x+1000)(x-20)\\&=-20x^2+400x+1000x-20000\\&=-20x^2+1400x-20000\\&=-20(x-35)^2+4500\end{aligned}$
因为$-20＜0$，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，
又因为$x=35$在$30≤ x≤50$的范围内，
所以当$x=35$时，$p$取得最大值，最大值为$4500$元。
【答案】
（1）$y = -20x + 1000（30≤ x≤50）$；
（2）当销售单价为35元/kg时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题以生活中的销售利润问题为载体，综合考查一次函数和二次函数的相关知识，解题的核心是找准等量关系列出函数表达式，再结合函数的性质求解，能够有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
