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1. 下列等式从左到右的变形属于因式分解的是 （
A.$ a(x - y) = ax - ay $
B.$ x^2 + 2x + 1 = x(x + 2) + 1 $
C.$ (x + 1)(x + 3) = x^2 + 4x + 3 $
D.$ m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) $
D
）A.$ a(x - y) = ax - ay $
B.$ x^2 + 2x + 1 = x(x + 2) + 1 $
C.$ (x + 1)(x + 3) = x^2 + 4x + 3 $
D.$ m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) $
答案
1. D
解析
【分析】
解决本题首先要明确因式分解的核心定义：因式分解是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，它和整式乘法是互逆的变形过程。解题时我们只需要抓住两个判断标准逐一排查选项即可：①变形的起始对象是多项式；②变形的最终结果必须是几个整式相乘的形式，不能含有加减项。
【解析】
我们先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
选项A：左边是整式乘积的形式，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
选项B：右边为$x(x+2)+1$，是整式乘积与常数的和，属于和的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解；
选项C：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，不属于因式分解；
选项D：左边是多项式$m^2-n^2$，右边是$(m+n)$和$(m-n)$两个整式的乘积，完全符合因式分解的定义，属于因式分解。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法运算、平方差公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分因式分解和整式乘法的互逆关系，只要牢牢抓住“变形结果为几个整式的积”这一关键特征，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确因式分解的核心定义：因式分解是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，它和整式乘法是互逆的变形过程。解题时我们只需要抓住两个判断标准逐一排查选项即可：①变形的起始对象是多项式；②变形的最终结果必须是几个整式相乘的形式，不能含有加减项。
【解析】
我们先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
选项A：左边是整式乘积的形式，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
选项B：右边为$x(x+2)+1$，是整式乘积与常数的和，属于和的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解；
选项C：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，不属于因式分解；
选项D：左边是多项式$m^2-n^2$，右边是$(m+n)$和$(m-n)$两个整式的乘积，完全符合因式分解的定义，属于因式分解。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法运算、平方差公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分因式分解和整式乘法的互逆关系，只要牢牢抓住“变形结果为几个整式的积”这一关键特征，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 分解因式 $4y^2 + 4y + 1$ 的结果正确的是 （
A.$(2y+1)^2$
B.$(2y-1)^2$
C.$(4y+1)^2$
D.$(4y-1)^2$
A
）A.$(2y+1)^2$
B.$(2y-1)^2$
C.$(4y+1)^2$
D.$(4y-1)^2$
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查利用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征：两数的平方和加上这两数乘积的2倍，等于这两数和的平方，即$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。接下来先识别多项式中的两个平方项，再验证中间项是否为两数乘积的2倍，匹配成功后即可代入公式得到分解结果，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据完全平方和公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$，
观察多项式$4y^2 + 4y + 1$：
1. 平方项：$4y^2=(2y)^2$，$1=1^2$，两个平方项均为正；
2. 中间项：$4y=2×2y×1$，恰好是两个平方项底数乘积的2倍，符合完全平方和的结构。
令$a=2y$，$b=1$，代入公式可得：
$4y^2 + 4y +1=(2y+1)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查完全平方公式的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确匹配公式对应的项即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查利用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征：两数的平方和加上这两数乘积的2倍，等于这两数和的平方，即$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。接下来先识别多项式中的两个平方项，再验证中间项是否为两数乘积的2倍，匹配成功后即可代入公式得到分解结果，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据完全平方和公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$，
观察多项式$4y^2 + 4y + 1$：
1. 平方项：$4y^2=(2y)^2$，$1=1^2$，两个平方项均为正；
2. 中间项：$4y=2×2y×1$，恰好是两个平方项底数乘积的2倍，符合完全平方和的结构。
令$a=2y$，$b=1$，代入公式可得：
$4y^2 + 4y +1=(2y+1)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查完全平方公式的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确匹配公式对应的项即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. 下列多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是 （
A.$a^2b^2 -1$
B.$4 - 0.25a^2$
C.$-a^2 +1$
D.$-a^2 -b^2$
D
）A.$a^2b^2 -1$
B.$4 - 0.25a^2$
C.$-a^2 +1$
D.$-a^2 -b^2$
答案
3. D
解析
【分析】
要判断多项式能否用平方差公式因式分解，首先要明确平方差公式因式分解的结构特征：多项式为二项式，两项都可以写成平方的形式，且两项符号相反。我们只需逐一验证每个选项是否符合上述特征，即可选出正确答案。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，适用条件为：①多项式是二项式；②两项都可表示为平方的形式；③两项符号相反。
选项A：$a^2b^2-1=(ab)^2-1^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(ab+1)(ab-1)$，不符合题意；
选项B：$4-0.25a^2=2^2-(0.5a)^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(2+0.5a)(2-0.5a)$，不符合题意；
选项C：$-a^2+1=1^2-a^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(1+a)(1-a)$，不符合题意；
选项D：$-a^2-b^2=-(a^2+b^2)$，两项符号相同，不满足平方差公式的符号要求，无法用平方差公式分解，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题核心考查平方差公式因式分解的适用条件，解题的关键是准确把握平方差公式的结构特点，逐一排查选项即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.85
要判断多项式能否用平方差公式因式分解，首先要明确平方差公式因式分解的结构特征：多项式为二项式，两项都可以写成平方的形式，且两项符号相反。我们只需逐一验证每个选项是否符合上述特征，即可选出正确答案。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，适用条件为：①多项式是二项式；②两项都可表示为平方的形式；③两项符号相反。
选项A：$a^2b^2-1=(ab)^2-1^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(ab+1)(ab-1)$，不符合题意；
选项B：$4-0.25a^2=2^2-(0.5a)^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(2+0.5a)(2-0.5a)$，不符合题意；
选项C：$-a^2+1=1^2-a^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(1+a)(1-a)$，不符合题意；
选项D：$-a^2-b^2=-(a^2+b^2)$，两项符号相同，不满足平方差公式的符号要求，无法用平方差公式分解，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题核心考查平方差公式因式分解的适用条件，解题的关键是准确把握平方差公式的结构特点，逐一排查选项即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.85
4. 如果$x^2 -4x +a^2$是一个完全平方式，那么$a$的值是 （
A.4
B.2
C.$\pm4$
D.$\pm2$
D
）A.4
B.2
C.$\pm4$
D.$\pm2$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方式的结构：完全平方式形如$(m\pm n)^2=m^2\pm 2mn +n^2$，特征是“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”。我们先将给定的多项式$x^2 -4x +a^2$和完全平方式的结构对应：首项是$x^2$，对应公式里的$m^2$，即$m=x$；中间项是$-4x$，对应公式里的$\pm2mn$，据此可以算出尾项的底数，进而得到尾项的平方值，再令其等于$a^2$求解$a$即可，注意平方等于同一个正数的数有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：完全平方式的一般形式为$(x\pm k)^2=x^2\pm2kx +k^2$
已知$x^2 -4x +a^2$是完全平方式，对比中间项可得：
$2k=4$，解得$k=2$
因此常数项为$k^2=2^2=4$，即$a^2=4$
根据平方根的定义，平方等于4的数为$\pm2$，即$a=\pm2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方式的特征 2.平方根的运算
【点评】
本题是对完全平方式的基础考查，解题的关键是熟练掌握完全平方式的两种结构形式，求解$a$时注意不要忽略负的情况，避免错选。
【难度系数】
0.75
解题时先回忆完全平方式的结构：完全平方式形如$(m\pm n)^2=m^2\pm 2mn +n^2$，特征是“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”。我们先将给定的多项式$x^2 -4x +a^2$和完全平方式的结构对应：首项是$x^2$，对应公式里的$m^2$，即$m=x$；中间项是$-4x$，对应公式里的$\pm2mn$，据此可以算出尾项的底数，进而得到尾项的平方值，再令其等于$a^2$求解$a$即可，注意平方等于同一个正数的数有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：完全平方式的一般形式为$(x\pm k)^2=x^2\pm2kx +k^2$
已知$x^2 -4x +a^2$是完全平方式，对比中间项可得：
$2k=4$，解得$k=2$
因此常数项为$k^2=2^2=4$，即$a^2=4$
根据平方根的定义，平方等于4的数为$\pm2$，即$a=\pm2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方式的特征 2.平方根的运算
【点评】
本题是对完全平方式的基础考查，解题的关键是熟练掌握完全平方式的两种结构形式，求解$a$时注意不要忽略负的情况，避免错选。
【难度系数】
0.75
5. 已知 $ x,y $ 满足 $ \begin{cases}x+3y=-1, \\ x-3y=5,\end{cases}$ 则 $ x^2 -9y^2 $ 的值为 （ ）
A.－5
B.4
C.5
D.25
A.－5
B.4
C.5
D.25
答案
A
解析
【分析】
观察所求代数式$x^2-9y^2$的结构，符合平方差公式的特征，可先因式分解为$(x+3y)(x-3y)$，发现分解后的两个式子正好是已知方程组中两个方程的左边，因此不需要解方程组求$x,y$的具体值，直接将已知的两个代数式的值整体代入即可快速算出结果；若没有想到因式分解，也可以先解二元一次方程组求出$x,y$的值，再代入代数式计算，两种方法都可得到答案。
【解析】
方法一（整体代入法）：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x+3y)(x-3y)$
已知$x+3y=-1$，$x-3y=5$，代入上式得：
原式$= (-1) × 5 = -5$
方法二（解方程组代入法）：
解方程组$\begin{cases}x+3y=-1 ① \\ x-3y=5 ②\end{cases}$
①+②得：$2x=4$，解得$x=2$
把$x=2$代入①得：$2+3y=-1$，解得$y=-1$
将$x=2,y=-1$代入$x^2-9y^2$得：
原式$=2^2 - 9× (-1)^2 = 4 - 9 = -5$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，整体代入求值，二元一次方程组的解法
【点评】
本题有两种解题思路，优先使用因式分解结合整体代入的方法能简化计算流程，减少计算失误，体现了代数式变形在求值类题目中的实用性。
【难度系数】
0.8
观察所求代数式$x^2-9y^2$的结构，符合平方差公式的特征，可先因式分解为$(x+3y)(x-3y)$，发现分解后的两个式子正好是已知方程组中两个方程的左边，因此不需要解方程组求$x,y$的具体值，直接将已知的两个代数式的值整体代入即可快速算出结果；若没有想到因式分解，也可以先解二元一次方程组求出$x,y$的值，再代入代数式计算，两种方法都可得到答案。
【解析】
方法一（整体代入法）：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x+3y)(x-3y)$
已知$x+3y=-1$，$x-3y=5$，代入上式得：
原式$= (-1) × 5 = -5$
方法二（解方程组代入法）：
解方程组$\begin{cases}x+3y=-1 ① \\ x-3y=5 ②\end{cases}$
①+②得：$2x=4$，解得$x=2$
把$x=2$代入①得：$2+3y=-1$，解得$y=-1$
将$x=2,y=-1$代入$x^2-9y^2$得：
原式$=2^2 - 9× (-1)^2 = 4 - 9 = -5$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，整体代入求值，二元一次方程组的解法
【点评】
本题有两种解题思路，优先使用因式分解结合整体代入的方法能简化计算流程，减少计算失误，体现了代数式变形在求值类题目中的实用性。
【难度系数】
0.8
6. 如果二次三项式$x^2+ax-1$可以因式分解为$(x-2)(x+b)$，那么$a+b$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
A
）A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
6. A
解析
【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法为互逆运算的关系解题，首先将等式右侧的因式乘积展开得到二次三项式，再根据两个多项式相等时，同类项的系数对应相等，分别建立关于a、b的方程，求解得到a、b的值后，代入计算a+b即可。
【解析】
首先将右侧的整式相乘展开：
$(x-2)(x+b) = x^2 + bx - 2x - 2b = x^2 + (b-2)x - 2b$
已知$x^2 + ax -1 = (x-2)(x+b)$，因此两个多项式对应项系数相等，可得：
1. 常数项相等：$-2b = -1$，解得$b = \frac{1}{2}$
2. 一次项系数相等：$a = b - 2$，将$b=\frac{1}{2}$代入得$a = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$
因此$a + b = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1$
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式运算、多项式相等的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是掌握整式乘法的运算法则，以及多项式相等时对应项系数相等的性质，通过建立方程求解未知参数即可解题。
【难度系数】
0.7
本题可利用因式分解与整式乘法为互逆运算的关系解题，首先将等式右侧的因式乘积展开得到二次三项式，再根据两个多项式相等时，同类项的系数对应相等，分别建立关于a、b的方程，求解得到a、b的值后，代入计算a+b即可。
【解析】
首先将右侧的整式相乘展开：
$(x-2)(x+b) = x^2 + bx - 2x - 2b = x^2 + (b-2)x - 2b$
已知$x^2 + ax -1 = (x-2)(x+b)$，因此两个多项式对应项系数相等，可得：
1. 常数项相等：$-2b = -1$，解得$b = \frac{1}{2}$
2. 一次项系数相等：$a = b - 2$，将$b=\frac{1}{2}$代入得$a = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$
因此$a + b = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1$
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式运算、多项式相等的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是掌握整式乘法的运算法则，以及多项式相等时对应项系数相等的性质，通过建立方程求解未知参数即可解题。
【难度系数】
0.7
7.已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且满足$ac+a=bc+b$，则$△ ABC$的形状是 （
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
B
）A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
答案
7. B
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需推导三角形边或角的等量关系。本题已知三边满足的代数等式，解题思路为：先对等式进行移项、因式分解变形，再结合三角形边长恒为正数的隐含条件，得到边的等量关系，即可判断三角形形状。
【解析】
对已知等式$ac + a = bc + b$作如下变形：
1. 移项，将右侧项全部移到左侧：$ac + a - bc - b = 0$
2. 分组提取公因式：$a(c+1) - b(c+1) = 0$
3. 再次提取公因式$(c+1)$，得：$(a - b)(c + 1) = 0$
因为$c$是$△ ABC$的边长，因此$c ＞ 0$，可得$c + 1 ＞ 0$，不可能为0，因此只能$a - b = 0$，即$a = b$。
有两条边相等的三角形是等腰三角形，因此$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解的应用
2. 等腰三角形的判定
3. 三角形边长的性质
【点评】
本题是三角形形状判断的基础题型，解题关键是掌握代数式因式分解的方法，同时注意挖掘三角形边长为正数的隐含条件，排除无意义的因式为0的情况，即可快速得到正确结论。
【难度系数】
0.8
要判断三角形的形状，需推导三角形边或角的等量关系。本题已知三边满足的代数等式，解题思路为：先对等式进行移项、因式分解变形，再结合三角形边长恒为正数的隐含条件，得到边的等量关系，即可判断三角形形状。
【解析】
对已知等式$ac + a = bc + b$作如下变形：
1. 移项，将右侧项全部移到左侧：$ac + a - bc - b = 0$
2. 分组提取公因式：$a(c+1) - b(c+1) = 0$
3. 再次提取公因式$(c+1)$，得：$(a - b)(c + 1) = 0$
因为$c$是$△ ABC$的边长，因此$c ＞ 0$，可得$c + 1 ＞ 0$，不可能为0，因此只能$a - b = 0$，即$a = b$。
有两条边相等的三角形是等腰三角形，因此$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解的应用
2. 等腰三角形的判定
3. 三角形边长的性质
【点评】
本题是三角形形状判断的基础题型，解题关键是掌握代数式因式分解的方法，同时注意挖掘三角形边长为正数的隐含条件，排除无意义的因式为0的情况，即可快速得到正确结论。
【难度系数】
0.8
8.小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:$x-1,a-b,3,x^2+1,a,x+1$分别对应下列六个字:学,爱,我,趣,味,数.现将$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)$因式分解,结果呈现的密码信息可能是 (
A.我爱学
B.爱数学
C.我爱数学
D.趣味数学
C
)A.我爱学
B.爱数学
C.我爱数学
D.趣味数学
答案
8. C
解析
【分析】
解题时先对给出的多项式进行因式分解，因式分解遵循“先提公因式，再用公式”的原则：首先提取多项式的公因式，再对剩余部分判断能否用平方差公式继续分解，得到所有因式后，对照题目给出的因式与汉字的对应关系，将汉字组合即可得到对应的密码信息，匹配对应选项就能选出答案。
【解析】
解：对$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)$进行因式分解：
1. 提取公因式$3(x^2-1)$，可得：
原式$=3(x^2-1)(a-b)$
2. 利用平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$对$x^2-1$分解，可得：
$x^2-1=(x-1)(x+1)$
因此原式因式分解的最终结果为：$3(a-b)(x+1)(x-1)$
根据题中对应关系：$3$对应“我”，$a-b$对应“爱”，$x+1$对应“数”，$x-1$对应“学”，组合后得到密码信息为“我爱数学”。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题将因式分解与趣味密码场景结合，既考查了因式分解的基本操作步骤，也考查了信息提取匹配的能力，解题的核心是保证因式分解彻底，再准确对应每个因式代表的汉字即可。
【难度系数】
0.7
解题时先对给出的多项式进行因式分解，因式分解遵循“先提公因式，再用公式”的原则：首先提取多项式的公因式，再对剩余部分判断能否用平方差公式继续分解，得到所有因式后，对照题目给出的因式与汉字的对应关系，将汉字组合即可得到对应的密码信息，匹配对应选项就能选出答案。
【解析】
解：对$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)$进行因式分解：
1. 提取公因式$3(x^2-1)$，可得：
原式$=3(x^2-1)(a-b)$
2. 利用平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$对$x^2-1$分解，可得：
$x^2-1=(x-1)(x+1)$
因此原式因式分解的最终结果为：$3(a-b)(x+1)(x-1)$
根据题中对应关系：$3$对应“我”，$a-b$对应“爱”，$x+1$对应“数”，$x-1$对应“学”，组合后得到密码信息为“我爱数学”。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，因式分解的应用
【点评】
本题将因式分解与趣味密码场景结合，既考查了因式分解的基本操作步骤，也考查了信息提取匹配的能力，解题的核心是保证因式分解彻底，再准确对应每个因式代表的汉字即可。
【难度系数】
0.7
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
9. 多项式$3x^2y^3z + 9x^3y^3z - 6x^4yz^2$的公因式是
9. 多项式$3x^2y^3z + 9x^3y^3z - 6x^4yz^2$的公因式是
$3x^2yz$
。答案
9. $3x^2yz$
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，可按照固定的三步思路求解：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找出所有项都共同含有的字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后将这三部分组合起来就是所求的公因式，我们按这个步骤逐一分析即可。
【解析】
1. 找系数的最大公约数：多项式各项的系数分别是3、9、-6，这三个数的最大公约数为3；
2. 找共同含有的字母：观察三个项$3x^2y^3z$、$9x^3y^3z$、$-6x^4yz^2$，都含有的相同字母是x、y、z；
3. 取相同字母的最低次幂：x的次数依次为2、3、4，最低次是2次；y的次数依次为3、3、1，最低次是1次；z的次数依次为1、1、2，最低次是1次。
将上述三部分组合，得到公因式为$3x^2yz$。
【答案】
$3x^2yz$
【知识点】
公因式的确定方法
【点评】
本题是基础题型，核心考查公因式的寻找规则，熟练掌握找公因式的三个步骤，细心核对系数和字母次数即可做对，属于得分类题目。
【难度系数】
0.85
要确定多项式的公因式，可按照固定的三步思路求解：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找出所有项都共同含有的字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后将这三部分组合起来就是所求的公因式，我们按这个步骤逐一分析即可。
【解析】
1. 找系数的最大公约数：多项式各项的系数分别是3、9、-6，这三个数的最大公约数为3；
2. 找共同含有的字母：观察三个项$3x^2y^3z$、$9x^3y^3z$、$-6x^4yz^2$，都含有的相同字母是x、y、z；
3. 取相同字母的最低次幂：x的次数依次为2、3、4，最低次是2次；y的次数依次为3、3、1，最低次是1次；z的次数依次为1、1、2，最低次是1次。
将上述三部分组合，得到公因式为$3x^2yz$。
【答案】
$3x^2yz$
【知识点】
公因式的确定方法
【点评】
本题是基础题型，核心考查公因式的寻找规则，熟练掌握找公因式的三个步骤，细心核对系数和字母次数即可做对，属于得分类题目。
【难度系数】
0.85
10.分解因式：$a^3 -6a^2 +9a=$
$a(a-3)^2$
.答案
10. $a(a-3)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的解题思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中三项均含有公因式$a$，因此先提取公因式；提取后得到的二次三项式$a^2-6a+9$符合完全平方差公式的结构特征，可套用公式继续分解；最后确认分解后的因式无法再分解，保证分解彻底。
【解析】
解：$\begin{split}&a^3 -6a^2 +9a\\=&a(a^2 - 6a +9) \quad \mathrm{（提取公因式}a\mathrm{）}\\=&a(a-3)^2 \quad \mathrm{（套用完全平方差公式：}m^2-2mn+n^2=(m-n)^2\mathrm{）}\end{split}$
【答案】
$a(a-3)^2$
【知识点】
提取公因式法因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查因式分解的基本操作顺序，解题时需注意要将多项式分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.85
因式分解遵循“一提二套三查”的解题思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中三项均含有公因式$a$，因此先提取公因式；提取后得到的二次三项式$a^2-6a+9$符合完全平方差公式的结构特征，可套用公式继续分解；最后确认分解后的因式无法再分解，保证分解彻底。
【解析】
解：$\begin{split}&a^3 -6a^2 +9a\\=&a(a^2 - 6a +9) \quad \mathrm{（提取公因式}a\mathrm{）}\\=&a(a-3)^2 \quad \mathrm{（套用完全平方差公式：}m^2-2mn+n^2=(m-n)^2\mathrm{）}\end{split}$
【答案】
$a(a-3)^2$
【知识点】
提取公因式法因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查因式分解的基本操作顺序，解题时需注意要将多项式分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.85
11.已知长方形的长为$a$，宽为$b$，周长为28，面积为20，则$a^2b+ab^2$的值为
280
。答案
11. 280
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，可先通过提公因式法对其因式分解变形，再结合长方形周长、面积的已知条件，求出a+b与ab的数值，最后整体代入变形后的式子计算即可，无需单独求解a、b的具体值，可简化计算过程。
【解析】
1. 根据长方形周长公式，周长=2×(长+宽)，已知周长为28，可得：
$2(a+b)=28$，解得$a+b=14$；
2. 根据长方形面积公式，面积=长×宽，已知面积为20，可得：
$ab=20$；
3. 对所求代数式提取公因式$ab$因式分解：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$；
4. 将$a+b=14$、$ab=20$代入上式计算：
$ab(a+b)=20×14=280$。
【答案】
280
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；长方形周长与面积计算
【点评】
本题为基础应用类题目，核心是利用因式分解将所求代数式转化为含$a+b$和$ab$的形式，结合整体代入思想求值，规避了求解$a$、$b$具体值的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构，可先通过提公因式法对其因式分解变形，再结合长方形周长、面积的已知条件，求出a+b与ab的数值，最后整体代入变形后的式子计算即可，无需单独求解a、b的具体值，可简化计算过程。
【解析】
1. 根据长方形周长公式，周长=2×(长+宽)，已知周长为28，可得：
$2(a+b)=28$，解得$a+b=14$；
2. 根据长方形面积公式，面积=长×宽，已知面积为20，可得：
$ab=20$；
3. 对所求代数式提取公因式$ab$因式分解：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$；
4. 将$a+b=14$、$ab=20$代入上式计算：
$ab(a+b)=20×14=280$。
【答案】
280
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；长方形周长与面积计算
【点评】
本题为基础应用类题目，核心是利用因式分解将所求代数式转化为含$a+b$和$ab$的形式，结合整体代入思想求值，规避了求解$a$、$b$具体值的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
12.已知$a+b=3$，则$a^2 -a +b^2 -b +2ab +4$的值为
10
。答案
12. 10
解析
【分析】
本题已知$a+b$的取值，要求含$a$、$b$的代数式的值，无法单独求出$a$、$b$的具体数值，因此考虑整体代入的思路。首先观察代数式的结构，发现其中含有$a^2$、$2ab$、$b^2$项，可结合完全平方公式分组变形，再将含$a$、$b$的一次项合并为含$(a+b)$的形式，最后整体代入$a+b=3$计算即可。
【解析】
先对所求代数式进行变形整理：
$\begin{aligned}a^2 -a +b^2 -b +2ab +4&=(a^2+2ab+b^2)-a-b+4\\&=(a+b)^2-(a+b)+4\end{aligned}$
已知$a+b=3$，将其代入上式得：
$\begin{aligned}原式&=3^2 - 3 +4\\&=9-3+4\\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
完全平方公式、代数式整体代入求值
【点评】
本题解题关键是通过分组将代数式转化为含$(a+b)$的形式，运用整体代入思想简化计算，避免了求解单个未知数的繁琐，是整式运算求值类题的典型考法。
【难度系数】
0.8
本题已知$a+b$的取值，要求含$a$、$b$的代数式的值，无法单独求出$a$、$b$的具体数值，因此考虑整体代入的思路。首先观察代数式的结构，发现其中含有$a^2$、$2ab$、$b^2$项，可结合完全平方公式分组变形，再将含$a$、$b$的一次项合并为含$(a+b)$的形式，最后整体代入$a+b=3$计算即可。
【解析】
先对所求代数式进行变形整理：
$\begin{aligned}a^2 -a +b^2 -b +2ab +4&=(a^2+2ab+b^2)-a-b+4\\&=(a+b)^2-(a+b)+4\end{aligned}$
已知$a+b=3$，将其代入上式得：
$\begin{aligned}原式&=3^2 - 3 +4\\&=9-3+4\\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
完全平方公式、代数式整体代入求值
【点评】
本题解题关键是通过分组将代数式转化为含$(a+b)$的形式，运用整体代入思想简化计算，避免了求解单个未知数的繁琐，是整式运算求值类题的典型考法。
【难度系数】
0.8
