6. 大正方形的周长是$36\mathrm{cm}$,$a:b = 1:2$,则小正方形(阴影部分)的面积是多少平方厘米?

$45$。

1. 大正方形边长：$36÷4 = 9\,\mathrm{cm}$。
2. 设$a = x$，$b = 2x$，由$a + b = 9$得$x + 2x = 9$，解得$x = 3$，则$a = 3\,\mathrm{cm}$，$b = 6\,\mathrm{cm}$。
3. 小正方形边长的平方为$a^2 + b^2$，面积：$3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45\,\mathrm{cm}^2$。

7. 右图中的曲线都是半圆周。甲虫沿外圈爬一周,乙虫沿内圈爬一周,甲虫比乙虫多爬了多少米?($\pi$取$3.14$)

设外圈半圆直径为$D_1=2.5 \mathrm{ m}$，内圈半圆直径为$D_2=1.5 \mathrm{ m}$，直道部分长度为$L = 3.5 \mathrm{ m}$，有两段直道。
甲虫沿外圈爬一周的距离：
两个半圆弧组成一个整圆周，所以外圈圆周长度为：
$\pi × D_1= 3.14 × 2.5 = 7.85 \mathrm{ m}$，
两段直道的总长度为：
$2 × 3.5 = 7 \mathrm{ m}$，
所以甲虫沿外圈爬一周的总距离为：
$7.85 \mathrm{ m} + 7 \mathrm{ m} = 14.85 \mathrm{ m}$。
乙虫沿内圈爬一周的距离：
两个半圆弧组成一个整圆周，所以内圈圆周长度为：
$\pi × D_2 = 3.14 × 1.5 = 4.71 \mathrm{ m}$，
两段直道的总长度为：
$2 × 3.5 = 7 \mathrm{ m}$，
所以乙虫沿内圈爬一周的总距离为：
$4.71 \mathrm{ m} + 7 \mathrm{ m} = 11.71 \mathrm{ m}$。
甲虫比乙虫多爬的距离：
$14.85\mathrm{ m} - 11.71 \mathrm{ m} = 3.14 × (2.5-1.5)=3.14 \mathrm{ m}$。
甲虫比乙虫多爬了$3.14 \mathrm{ m}$。

四、选做题。
右图中,正方形$ABCD$的边长是$5\mathrm{cm}$,正方形$CEFG$的边长是$3\mathrm{cm}$,求阴影部分的面积。

(1) 小明解决这个问题的计划是:
阴影部分的面积$=$四边形$BEFD$的面积$-$三角形$BEF$的面积
四边形$BEFD$的面积$=$三角形$BCD$的面积$+$()的面积
解答:
(2) 小强解决这个问题的计划是:

如右图,因为$BD$与$CF$平行,所以三角形$BDF$(阴影部分)和三角形()同底等高。
因此,求阴影三角形的面积就是求三角形()的面积。
解答:
(3) 如果正方形$ABCD$的边长不变,将小正方形$CEFG$改为边长为$1\mathrm{cm}$的正方形,变成图$2$,请比较图$1$、图$2$中阴影部分的面积,并说明理由。

(1) 梯形CEFD
解答：三角形BCD面积：$5×5÷2=12.5\,\mathrm{cm}^2$，梯形CEFD面积：$(3+5)×3÷2=12\,\mathrm{cm}^2$，四边形BEFD面积：$12.5+12=24.5\,\mathrm{cm}^2$，三角形BEF面积：$(5+3)×3÷2=12\,\mathrm{cm}^2$，阴影面积：$24.5-12=12.5\,\mathrm{cm}^2$。
(2) BDC；BDC
解答：因为$BD// CF$，所以$S_{\triangle BDF}=S_{\triangle BDC}$，$S_{\triangle BDC}=5×5÷2=12.5\,\mathrm{cm}^2$，故阴影面积为$12.5\,\mathrm{cm}^2$。
(3) 面积相等。理由：$BD$与$CF$始终平行，$S_{\triangle BDF}=S_{\triangle BDC}$，与小正方形边长无关，均为$12.5\,\mathrm{cm}^2$。