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一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1. 下列计算正确的是 (
A.$(x - y)^2 = x^2 + 2xy - y^2$
B.$(x + y)^2 = x^2 + y^2$
C.$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$
D.$(-x + y)(x - y) = x^2 - y^2$
1. 下列计算正确的是 (
C
)A.$(x - y)^2 = x^2 + 2xy - y^2$
B.$(x + y)^2 = x^2 + y^2$
C.$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$
D.$(-x + y)(x - y) = x^2 - y^2$
答案
1.C
2. 已知$(m + n)^2 = 7$，$(m - n)^2 = 3$，则$m^2 + n^2$的值为 (
A.2
B.4
C.5
D.10
C
)A.2
B.4
C.5
D.10
答案
2.C
解析
$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 7$，$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 = 3$，两式相加得$2(m^2 + n^2) = 10$，则$m^2 + n^2 = 5$。
C
C
3. (2025·泉山区月考)在运用乘法公式计算$(2x - y + 3)(2x + y - 3)$时，下列变形正确的是 (
A.$[(2x - y) + 3][(2x + y) - 3]$
B.$[(2x - y) + 3][(2x - y) - 3]$
C.$[2x - (y + 3)][2x + (y - 3)]$
D.$[2x - (y - 3)][2x + (y - 3)]$
D
)A.$[(2x - y) + 3][(2x + y) - 3]$
B.$[(2x - y) + 3][(2x - y) - 3]$
C.$[2x - (y + 3)][2x + (y - 3)]$
D.$[2x - (y - 3)][2x + (y - 3)]$
答案
3.D
4. 若$A = x^2 + 2x - 6y$，$B = -y^2 + 4x - 11$，则$A$，$B$的大小关系为 (
A.$A ＞ B$
B.$A ＜ B$
C.$A ≥ B$
D.$A = B$
A
)A.$A ＞ B$
B.$A ＜ B$
C.$A ≥ B$
D.$A = B$
答案
4.A
解析
解：$A - B = (x^2 + 2x - 6y) - (-y^2 + 4x - 11)$
$= x^2 + 2x - 6y + y^2 - 4x + 11$
$= x^2 - 2x + y^2 - 6y + 11$
$= (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) + 1$
$= (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + 1$
因为$(x - 1)^2 ≥ 0$，$(y - 3)^2 ≥ 0$，所以$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，即$A - B ＞ 0$，所以$A ＞ B$。
A
$= x^2 + 2x - 6y + y^2 - 4x + 11$
$= x^2 - 2x + y^2 - 6y + 11$
$= (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) + 1$
$= (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + 1$
因为$(x - 1)^2 ≥ 0$，$(y - 3)^2 ≥ 0$，所以$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，即$A - B ＞ 0$，所以$A ＞ B$。
A
5. (2025·玄武区期中)两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的 (
A.和
B.差
C.积
D.商
A
)A.和
B.差
C.积
D.商
答案
5.A
解析
设两个连续自然数为$n$和$n+1$（$n$为自然数）。
$\begin{aligned}|(n+1)^2 - n^2|&=|n^2 + 2n + 1 - n^2|\\&=|2n + 1|\\&=2n + 1\end{aligned}$
两个数的和为$n + (n + 1) = 2n + 1$。
A
$\begin{aligned}|(n+1)^2 - n^2|&=|n^2 + 2n + 1 - n^2|\\&=|2n + 1|\\&=2n + 1\end{aligned}$
两个数的和为$n + (n + 1) = 2n + 1$。
A
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
6. 已知$x + y = 2024$，$x - y = -\frac{1}{2024}$，则$x^2 - y^2$的值为
6. 已知$x + y = 2024$，$x - y = -\frac{1}{2024}$，则$x^2 - y^2$的值为
−1
.答案
6.−1
解析
$x^2 - y^2=(x + y)(x - y)$，将$x + y = 2024$，$x - y = -\frac{1}{2024}$代入，得$2024×(-\frac{1}{2024})=-1$。
7. 用简便方法计算：$10.1^2 - 2×10.1×0.1 + 0.01 =$
100
.答案
7.100
解析
$10.1^2 - 2×10.1×0.1 + 0.01=(10.1 - 0.1)^2=10^2=100$
8. 若$a^2 - 2a - 1 = 0$，则代数式$(a + 2)(a - 2) - 2a$的值为
−3
.答案
8.−3
解析
$(a + 2)(a - 2) - 2a$
$=a^2 - 4 - 2a$
$=a^2 - 2a - 4$
因为$a^2 - 2a - 1 = 0$，所以$a^2 - 2a = 1$。
将$a^2 - 2a = 1$代入$a^2 - 2a - 4$，得$1 - 4 = -3$。
$-3$
$=a^2 - 4 - 2a$
$=a^2 - 2a - 4$
因为$a^2 - 2a - 1 = 0$，所以$a^2 - 2a = 1$。
将$a^2 - 2a = 1$代入$a^2 - 2a - 4$，得$1 - 4 = -3$。
$-3$
9. 若$a^2 - 2a + 1 + |b - 2| = 0$，则$ab =$
2
.答案
9.2
解析
因为$a^2 - 2a + 1 + |b - 2| = 0$，可变形为$(a - 1)^2 + |b - 2| = 0$。
由于$(a - 1)^2 ≥ 0$，$|b - 2| ≥ 0$，要使它们的和为$0$，则$(a - 1)^2 = 0$且$|b - 2| = 0$。
所以$a - 1 = 0$，解得$a = 1$；$b - 2 = 0$，解得$b = 2$。
因此$ab = 1×2 = 2$。
2
由于$(a - 1)^2 ≥ 0$，$|b - 2| ≥ 0$，要使它们的和为$0$，则$(a - 1)^2 = 0$且$|b - 2| = 0$。
所以$a - 1 = 0$，解得$a = 1$；$b - 2 = 0$，解得$b = 2$。
因此$ab = 1×2 = 2$。
2
10. (2025·江阴期中)设$a = x - 2023$，$b = x - 2025$，$c = x - 2024$.若$a^2 + b^2 = 16$，则$c^2$的值是
7
.答案
10.7
解析
设$a = x - 2023$，$b = x - 2025$，$c = x - 2024$。
因为$a = x - 2023 = (x - 2024) + 1 = c + 1$，$b = x - 2025 = (x - 2024) - 1 = c - 1$。
已知$a^2 + b^2 = 16$，将$a = c + 1$，$b = c - 1$代入可得：
$\begin{aligned}(c + 1)^2 + (c - 1)^2 &= 16\\c^2 + 2c + 1 + c^2 - 2c + 1 &= 16\\2c^2 + 2 &= 16\\2c^2 &= 14\\c^2 &= 7\end{aligned}$
7
因为$a = x - 2023 = (x - 2024) + 1 = c + 1$，$b = x - 2025 = (x - 2024) - 1 = c - 1$。
已知$a^2 + b^2 = 16$，将$a = c + 1$，$b = c - 1$代入可得：
$\begin{aligned}(c + 1)^2 + (c - 1)^2 &= 16\\c^2 + 2c + 1 + c^2 - 2c + 1 &= 16\\2c^2 + 2 &= 16\\2c^2 &= 14\\c^2 &= 7\end{aligned}$
7
三、解答题(共 50 分)
11. (10 分)计算：
(1)$3a^3b·(-2ab) + (-3a^2b)^2$；
(2)$(a + 2b)^2 - 2(a - b)(a + b)$.
11. (10 分)计算：
(1)$3a^3b·(-2ab) + (-3a^2b)^2$；
(2)$(a + 2b)^2 - 2(a - b)(a + b)$.
答案
11.解:(1)原式=−6a⁴b²+9a⁴b²=3a⁴b².
(2)原式=a²+4ab+4b²−2a²+2b²=6b²+4ab−a².
(2)原式=a²+4ab+4b²−2a²+2b²=6b²+4ab−a².
12. (10 分)先化简，再求值：
(1)(2024·济宁)$x(y - 4x) + (2x + y)(2x - y)$，其中$x = \frac{1}{2}$，$y = 2$；
(2)$(x + 2)^2 - (x + 1)(x - 1) - (2x - 1)(x + 2)$，其中$2x^2 - x - 2 = 0$.
(1)(2024·济宁)$x(y - 4x) + (2x + y)(2x - y)$，其中$x = \frac{1}{2}$，$y = 2$；
(2)$(x + 2)^2 - (x + 1)(x - 1) - (2x - 1)(x + 2)$，其中$2x^2 - x - 2 = 0$.
答案
12.解:(1)原式=(xy−4x²)+(4x²−y²)=xy−4x²+4x²−y²=xy−y².
当x=$\frac{1}{2}$,y=2时,原式=$\frac{1}{2}$×2−2²=1−4=−3.
(2)原式=x²+4x+4−(x²−1)−(2x²+4x−x−2)=x²+4x+4−x²+1−2x²−3x+2=−2x²+x+7.
因为2x²−x−2=0,所以2x²−x=2,
所以原式=−(2x²−x)+7=−2+7=5.
当x=$\frac{1}{2}$,y=2时,原式=$\frac{1}{2}$×2−2²=1−4=−3.
(2)原式=x²+4x+4−(x²−1)−(2x²+4x−x−2)=x²+4x+4−x²+1−2x²−3x+2=−2x²+x+7.
因为2x²−x−2=0,所以2x²−x=2,
所以原式=−(2x²−x)+7=−2+7=5.
