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9.「2026浙江台州期末」如图，在等边$△ ABC$中，若$BC$边上的中线$AD$与$AC$边上的中线$BE$交于点$F$，则$∠ AFB$的度数为（
A.$110°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$
B
）A.$110°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$
答案
9.B $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ BAC=∠ ABC=60°$,
$\because AD,BE$ 均是等边 $△ ABC$ 的中线,
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°, ∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$,
$\therefore ∠ AFB = 180° - ∠ BAD - ∠ ABE = 180° - 30° - 30° = 120°$.故选 B.
$\because AD,BE$ 均是等边 $△ ABC$ 的中线,
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°, ∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$,
$\therefore ∠ AFB = 180° - ∠ BAD - ∠ ABE = 180° - 30° - 30° = 120°$.故选 B.
10.「2024重庆中考B卷」如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$.若$BC=2$,则$AD$的长度为
2
.答案
10.答案 2
解析 $\because AB=AC, \therefore ∠ ABC=∠ C$,
$\because ∠ A+∠ ABC+∠ C=180°, ∠ A=36°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ C=72°$,
$\because BD$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ CBD=∠ ABD=36°$,
$\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72°=∠ C, \therefore BD=BC=2$,
$\because ∠ A=∠ ABD=36°, \therefore AD=BD=2$.
故答案为 2.
解析 $\because AB=AC, \therefore ∠ ABC=∠ C$,
$\because ∠ A+∠ ABC+∠ C=180°, ∠ A=36°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ C=72°$,
$\because BD$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ CBD=∠ ABD=36°$,
$\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72°=∠ C, \therefore BD=BC=2$,
$\because ∠ A=∠ ABD=36°, \therefore AD=BD=2$.
故答案为 2.
11.如图,在$△ ABC$中,BD是高,点D是AC边的中点,点E在BC边的延长线上,ED的延长线交AB于点F,且$EF ⊥ AB$,$∠ E=30°$.
(1)求证:$△ ABC$是等边三角形.
(2)请判断线段AD与CE的大小关系,并说明理由.
(1)求证:$△ ABC$是等边三角形.
(2)请判断线段AD与CE的大小关系,并说明理由.
答案
11.解析 (1)证明:$\because BD ⊥ AC$,点 $D$ 是 $AC$ 边的中点,
$\therefore BD$ 垂直平分 $AC, \therefore AB=CB$,
$\because EF ⊥ AB, \therefore ∠ ABC+∠ E=90°$,
$\because ∠ E=30°, \therefore ∠ ABC=60°, \therefore △ ABC$ 是等边三角形.
(2)$AD=CE$.理由如下:
由(1)知,$△ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ACB=60°$,
$\because ∠ ACB=∠ E+∠ CDE, ∠ E=30°$,
$\therefore ∠ CDE=30°=∠ E, \therefore CD=CE$,
$\because$ 点 $D$ 是 $AC$ 边的中点, $\therefore AD=CD, \therefore AD=CE$.
$\therefore BD$ 垂直平分 $AC, \therefore AB=CB$,
$\because EF ⊥ AB, \therefore ∠ ABC+∠ E=90°$,
$\because ∠ E=30°, \therefore ∠ ABC=60°, \therefore △ ABC$ 是等边三角形.
(2)$AD=CE$.理由如下:
由(1)知,$△ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ ACB=60°$,
$\because ∠ ACB=∠ E+∠ CDE, ∠ E=30°$,
$\therefore ∠ CDE=30°=∠ E, \therefore CD=CE$,
$\because$ 点 $D$ 是 $AC$ 边的中点, $\therefore AD=CD, \therefore AD=CE$.
12.「2025广东东莞期末」如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC边的中点,连接AD,BE平分$∠ ABC$交AC于点E.
(1)若$∠ C=40°$,求$∠ BAD$的度数.
(2)过点E作$EF// BC$交AB于点F.
①求证:$△ BEF$是等腰三角形.
②若BE平分$△ ABC$的周长,$△ AEF$的周长为15,求$△ ABC$的周长.
(1)若$∠ C=40°$,求$∠ BAD$的度数.
(2)过点E作$EF// BC$交AB于点F.
①求证:$△ BEF$是等腰三角形.
②若BE平分$△ ABC$的周长,$△ AEF$的周长为15,求$△ ABC$的周长.
答案
12.解析 (1)$\because AB=AC, \therefore ∠ C=∠ ABC=40°$,
$\because AB=AC,D$ 为 $BC$ 的中点, $\therefore AD ⊥ BC$,
$\therefore ∠ BDA=90°, \therefore ∠ BAD=90°-∠ ABC=90°-40°=50°$.
(2)①证明:$\because BE$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ ABE=∠ EBC$,
$\because EF // BC, \therefore ∠ EBC=∠ BEF$,
$\therefore ∠ EBF=∠ FEB, \therefore BF=EF, \therefore △ BEF$ 是等腰三角形.
②$\because △ AEF$ 的周长为 $15, \therefore AE+AF+EF=15$,
$\because BF=EF, \therefore AE+AF+BF=15$,即 $AE+AB=15$,
$\because BE$ 平分 $△ ABC$ 的周长, $\therefore AE+AB=BC+CE=15$,
$\therefore △ ABC$ 的周长 $=AE+AB+BC+CE=15+15=30$.
$\because AB=AC,D$ 为 $BC$ 的中点, $\therefore AD ⊥ BC$,
$\therefore ∠ BDA=90°, \therefore ∠ BAD=90°-∠ ABC=90°-40°=50°$.
(2)①证明:$\because BE$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ ABE=∠ EBC$,
$\because EF // BC, \therefore ∠ EBC=∠ BEF$,
$\therefore ∠ EBF=∠ FEB, \therefore BF=EF, \therefore △ BEF$ 是等腰三角形.
②$\because △ AEF$ 的周长为 $15, \therefore AE+AF+EF=15$,
$\because BF=EF, \therefore AE+AF+BF=15$,即 $AE+AB=15$,
$\because BE$ 平分 $△ ABC$ 的周长, $\therefore AE+AB=BC+CE=15$,
$\therefore △ ABC$ 的周长 $=AE+AB+BC+CE=15+15=30$.
13.「2026天津期末改编」如图,已知∠AOB=48°,点C为射线OB上一点,依据尺规作图痕迹可得∠AHC的度数为
96°
.答案
13.答案 $96°$
14.「2026山东东营期末」如图,在$△ ABC$中,通过尺规作图,得到直线$DE$和射线$AF$,仔细观察作图痕迹,若$∠ B=38°,∠ C=48°$,则$∠ EAF$为
28
度.答案
14.答案 28
解析 根据作图痕迹可知直线 $DE$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线,射线 $AF$ 是 $∠ EAC$ 的平分线, $\therefore AE=BE$,
$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ EAC$,
$\therefore ∠ BAE=∠ B=38°, \because ∠ C=48°, \therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-38°-48°=94°, \therefore ∠ EAC=∠ BAC-∠ BAE=94°-38°=56°, \therefore ∠ EAF=28°$.故答案为 28.
解析 根据作图痕迹可知直线 $DE$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线,射线 $AF$ 是 $∠ EAC$ 的平分线, $\therefore AE=BE$,
$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ EAC$,
$\therefore ∠ BAE=∠ B=38°, \because ∠ C=48°, \therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-38°-48°=94°, \therefore ∠ EAC=∠ BAC-∠ BAE=94°-38°=56°, \therefore ∠ EAF=28°$.故答案为 28.
15.「2026广东云浮期末」如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°.请用无刻度的直尺和圆规作图(要求:保留作图痕迹,不写作法).
(1)如图1,在 BC 上取一点 D,连接 AD,使得∠CAD+∠C=90°.
(2)如图2,在 AC 上取一点 F,连接 BF,使得∠FBC+∠AFB=90°.
(1)如图1,在 BC 上取一点 D,连接 AD,使得∠CAD+∠C=90°.
(2)如图2,在 AC 上取一点 F,连接 BF,使得∠FBC+∠AFB=90°.
答案
15.解析 (1)如图1,AD即为所求.
(2)如图2,BF即为所求.
