初中数学
七年级
上册
北师大版
3.「2025 山东济宁梁山期末」已知 OC 是过点 O 的一条射线，OD，OE 分别平分∠AOC，∠BOC.
（1）如图①，如果射线 OC 在∠AOB 的内部，∠AOB=80°，那么∠DOE=°.
（2）如图②，如果射线 OC 在∠AOB 的内部绕点 O 旋转，∠AOB=x°，那么∠DOE=°.
（3）如果射线 OC 在∠AOB 的外部绕点 O 旋转，∠AOB=x°，请借助图③探究∠DOE 的度数.

(1)因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC,∠ BOC$,
所以 $∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ AOC,∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ BOC$,
因为 $∠ AOB=80°$,
所以 $∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ AOC+\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\dfrac{1}{2}∠ AOB=40°$.故答案为 40.
(2)因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC,∠ BOC$,
所以 $∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ AOC,∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ BOC$,
所以 $∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ AOC+\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\dfrac{1}{2}∠ AOB$,
因为 $∠ AOB=x°$,所以 $∠ DOE=(\dfrac{x}{2})°$.故答案为$(\dfrac{x}{2})$.
(3)分三种情况:
①
因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC,∠ BOC$,
所以 $∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ AOC,∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ BOC$,
所以 $∠ DOE=∠ COD-∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ AOC-\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)=\dfrac{1}{2}∠ AOB$,
因为 $∠ AOB=x°$,所以 $∠ DOE=(\dfrac{x}{2})°$.
②
因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC,∠ BOC$,
所以 $∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ AOC,∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ BOC$,
所以 $∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ AOC+\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}(360°-∠ AOB)$,因为 $∠ AOB=x°$,
所以 $∠ DOE=\dfrac{1}{2}(360°-x°)=(\dfrac{360-x}{2})°$.
③
因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC,∠ BOC$,
所以 $∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ AOC,∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ BOC$,
所以 $∠ DOE=∠ COE-∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ BOC-\dfrac{1}{2}∠ AOC=\dfrac{1}{2}(∠ BOC-∠ AOC)=\dfrac{1}{2}∠ AOB$,
因为 $∠ AOB=x°$,所以 $∠ DOE=(\dfrac{x}{2})°$.
综上所述,$∠ DOE$ 的度数为$(\dfrac{x}{2})°$或$(\dfrac{360-x}{2})°$.

4.「2026 河北唐山期中」【问题情境】
点 O 为直线 AB 上一点,过点 O 在直线 AB 上方作射线 OC,将一块三角尺 DOE 的直角顶点与点 O 重合,射线 OC 和三角尺 DOE 均可以围绕点 O 旋转(旋转时始终在直线 AB 上方).
【操作探究】
(1)如图 1,若$∠ BOC = 68°$,当三角尺的直角边 OE 在直线 AB 上时,$∠ COD =$ $°$, $∠ AOC =$ $°$.
(2)在(1)的条件下,将三角尺 DOE 绕点 O 逆时针旋转一定角度得到图 2,若此时 OE 恰好是$∠ BOC$的平分线,试说明 OD 也是$∠ AOC$的平分线.
(3)如图 3,旋转射线 OC 和三角尺 DOE,始终满足 OC 平分$∠ BOD$,当$∠ AOD = 78°$时,求$∠ COE$的度数,并根据结果猜想旋转过程中$∠ AOD$与$∠ COE$之间的数量关系.

(1)22;112.
详解:$∠ COD=∠ DOB-∠ BOC=90°-68°=22°$,
$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-68°=112°$.
(2)因为 $OE$ 是 $∠ BOC$ 的平分线,所以 $∠ COE=∠ BOE$.
因为 $∠ DOE=90°,∠ AOB=180°$,
所以 $∠ AOD+∠ BOE=∠ COD+∠ COE=90°$,
所以 $∠ AOD=∠ COD$,
所以 $OD$ 也是 $∠ AOC$ 的平分线.
(3)因为 $∠ DOE=90°,∠ AOD=78°$,
所以 $∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-78°=102°$,
$∠ BOE=180°-∠ DOE-∠ AOD=180°-90°-78°=12°$,
因为 $OC$ 平分 $∠ BOD$,所以 $∠ BOC=\dfrac{1}{2}∠ BOD=51°$,
所以 $∠ COE=∠ BOC-∠ BOE=51°-12°=39°$.
猜想:$∠ AOD=2∠ COE$,
理由:由题意得 $∠ BOD=180°-∠ AOD$,
$∠ BOE=180°-∠ DOE-∠ AOD=180°-90°-∠ AOD=90°-∠ AOD$,因为 $OC$ 平分 $∠ BOD$,
所以 $∠ BOC=\dfrac{1}{2}∠ BOD=\dfrac{1}{2}(180°-∠ AOD)$,
所以 $∠ COE=∠ BOC-∠ BOE$
$=\dfrac{1}{2}(180°-∠ AOD)-(90°-∠ AOD)=\dfrac{1}{2}∠ AOD$.
所以 $∠ AOD=2∠ COE$.