1.「2026山西晋中期中改编」综合与探究
【背景知识】如图1,若数轴上点A,B表示的数分别为$a,b(b＞a)$,则线段AB的长(点A到点B的距离)为$b-a$,记作$AB=b-a$.
请用上面材料中的知识,解答下面的问题.
【问题情境】如图2,一个点从数轴上的原点开始,沿数轴先向左移动4个单位长度到达点A,再向右移动3个单位长度到达点B,然后向右移动4个单位长度到达点C.
【问题探究】
(1)①请在图2中表示出A,B,C三点的位置.
②点A到点B的距离$AB=$,点A到点C的距离$AC=$.
(2)若点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,同时点M从点B,点N从点C出发分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.
①设运动时间为$t$秒($t＞0$),则点P表示的数为,点M表示的数为,点N表示的数为.(用含$t$的代数式表示)
②在①的条件下,试探究在运动的过程中,$4MN-PM$的值是否随着时间$t$的变化而变化.若变化,请说明理由;若不变,请求出其值.

(1)①
②3;7.
(2)①-4-3t;-1+t;3+2t.
②4MN-PM 的值不变化.
因为 $MN=3+2t-(-1+t)= t+4,PM=-1+t-(-4-3t)= 4t+3$,
所以 $4MN-PM=4(t+4)-(4t+3)=4t+16-4t-3=13$,
所以 $4MN-PM$ 的值不变化,其值为 13.

2. 聚焦 中考 直接经验学习 「2026陕西西安莲湖期中」问题提出：
(1)已知点A,B在数轴上表示的数分别是-0.5，b，且AB=2，则b=.
问题探究：
(2)如图，若点A,B表示的数分别是$x_1,x_2$，令AB=n.若把线段AB向左平移n个单位长度，则点A与表示-40的点重合；若把线段AB向右平移n个单位长度，则点B与表示50的点重合，则$x_1=$,$x_2=$.
问题解决：
(3)小贝去问爷爷的年龄.爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生呢.你若是我现在这么大，我已经是老寿星120岁了.”你能帮小贝求出爷爷今年到底多少岁吗？

(1)-2.5 或 1.5.
详解:根据题意,得$|b-(-0.5)|=2$,
即 $b+0.5=-2$ 或 $b+0.5=2$,
解得 $b=-2.5$ 或 $b=1.5$,所以 $b$ 的值为-2.5 或 1.5.
(2)-10;20.
详解:由题意得 $3n=50-(-40)$,解得 $n=30$.
所以 $x_1=-40+n=-40+30=-10$,
$x_2=50-n=50-30=20$.
(3),由题意,可得今年小贝的年龄对应的点、爷爷的年龄对应的点是从-45 对应的点到 120 对应的点之间线段的三等分点.
设爷爷与小贝的年龄之差为 $m$ 岁,
则 $3m=120-(-45)$,解得 $m=55$.
所以 $120-m=120-55=65$.
答:爷爷今年的年龄是 65 岁.