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一、选择题
1.如果一个数$x$的平方等于9，则$x$的值是 （
A.$-3$
B.$3$
C.$3$或$-3$
D.$\sqrt{3}$
1.如果一个数$x$的平方等于9，则$x$的值是 （
C
）A.$-3$
B.$3$
C.$3$或$-3$
D.$\sqrt{3}$
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查平方根的相关知识，解题时首先根据题意列出等式$x^2=9$，接下来思考哪些数的平方等于9，要注意正数的平方是正数，负数的平方也是正数，所以符合条件的数有两个，是一对互为相反数，不要漏掉负数的情况，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：由题意可得$x^2=9$。
因为$3^2=9$，$(-3)^2=9$，
所以满足平方等于9的数$x$为3或-3，
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对平方根概念的掌握，解题时容易忽略负数的平方也为正数，从而漏选-3，需牢记正数有两个互为相反数的平方根。
【难度系数】
0.9
这道题考查平方根的相关知识，解题时首先根据题意列出等式$x^2=9$，接下来思考哪些数的平方等于9，要注意正数的平方是正数，负数的平方也是正数，所以符合条件的数有两个，是一对互为相反数，不要漏掉负数的情况，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：由题意可得$x^2=9$。
因为$3^2=9$，$(-3)^2=9$，
所以满足平方等于9的数$x$为3或-3，
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对平方根概念的掌握，解题时容易忽略负数的平方也为正数，从而漏选-3，需牢记正数有两个互为相反数的平方根。
【难度系数】
0.9
2.如图，直线a、b被直线c所截，∠2=36°，下列条件中可以判定a//b的是（
A.∠1=36°
B.∠1=54°
C.∠1=72°
D.∠1=144°
A
）A.∠1=36°
B.∠1=54°
C.∠1=72°
D.∠1=144°
答案
2.A
解析
【分析】
要判定直线a//b，可结合平行线的判定定理分析角的关系。首先观察图形，∠2的对顶角与∠1是直线a、b被直线c所截形成的同位角，根据对顶角相等的性质，∠2与其对顶角大小相等，因此只要∠1和∠2相等，就能得到同位角相等，进而判定a//b。
【解析】
1. 根据对顶角的性质：对顶角相等，可得∠2的对顶角与∠2大小相等，即∠2的对顶角=36°。
2. 观察图形可知，∠2的对顶角与∠1是直线a、b被直线c所截形成的同位角。
3. 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，当∠1=36°时，∠1与∠2的对顶角相等，此时可判定a//b。
因此符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
对顶角相等；平行线的判定
【点评】
本题是基础几何题，解题的关键是准确识别同位角，结合对顶角的性质和平行线的判定定理即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
要判定直线a//b，可结合平行线的判定定理分析角的关系。首先观察图形，∠2的对顶角与∠1是直线a、b被直线c所截形成的同位角，根据对顶角相等的性质，∠2与其对顶角大小相等，因此只要∠1和∠2相等，就能得到同位角相等，进而判定a//b。
【解析】
1. 根据对顶角的性质：对顶角相等，可得∠2的对顶角与∠2大小相等，即∠2的对顶角=36°。
2. 观察图形可知，∠2的对顶角与∠1是直线a、b被直线c所截形成的同位角。
3. 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，当∠1=36°时，∠1与∠2的对顶角相等，此时可判定a//b。
因此符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
对顶角相等；平行线的判定
【点评】
本题是基础几何题，解题的关键是准确识别同位角，结合对顶角的性质和平行线的判定定理即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
3.在平面直角坐标系中，将点A向上平移3个单位长度得到B(2,1)，则点A的坐标为 （
A.$(-1,1)$
B.$(5,1)$
C.$(2,-2)$
D.$(2,4)$
C
）A.$(-1,1)$
B.$(5,1)$
C.$(2,-2)$
D.$(2,4)$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先回忆平面直角坐标系中点的平移规律：上下平移时，横坐标保持不变，纵坐标遵循“上加下减”的规则（向上平移纵坐标加，向下平移纵坐标减）。本题已知平移后的点B坐标，要求原点点A，属于平移的逆运算：点A向上平移3个单位得到B，反过来把B向下平移3个单位就能得到A，操作时保持横坐标不变，用B的纵坐标减去平移的3个单位即可求出A的纵坐标。
【解析】
解：根据点的平移规则，上下平移时横坐标不变，纵坐标“上加下减”。
已知点A向上平移3个单位得到B(2,1)，因此点A的横坐标与B的横坐标一致，为2；
点A的纵坐标 = B的纵坐标 - 向上平移的单位长度 = 1 - 3 = -2。
综上，点A的坐标为(2,-2)，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 点的平移规律
2. 平移逆运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查点平移过程中的坐标变化规则，解题关键是分清平移方向与坐标加减的对应关系，逆推原点点坐标时注意反向操作即可，属于平移知识点的常规考查题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平面直角坐标系中点的平移规律：上下平移时，横坐标保持不变，纵坐标遵循“上加下减”的规则（向上平移纵坐标加，向下平移纵坐标减）。本题已知平移后的点B坐标，要求原点点A，属于平移的逆运算：点A向上平移3个单位得到B，反过来把B向下平移3个单位就能得到A，操作时保持横坐标不变，用B的纵坐标减去平移的3个单位即可求出A的纵坐标。
【解析】
解：根据点的平移规则，上下平移时横坐标不变，纵坐标“上加下减”。
已知点A向上平移3个单位得到B(2,1)，因此点A的横坐标与B的横坐标一致，为2；
点A的纵坐标 = B的纵坐标 - 向上平移的单位长度 = 1 - 3 = -2。
综上，点A的坐标为(2,-2)，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 点的平移规律
2. 平移逆运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查点平移过程中的坐标变化规则，解题关键是分清平移方向与坐标加减的对应关系，逆推原点点坐标时注意反向操作即可，属于平移知识点的常规考查题。
【难度系数】
0.8
4.若点$P(a+1,2-2a)$在第一象限,则$a$的取值范围在数轴上表示为 (
C
)答案
4.C
解析
【分析】
解题首先要明确第一象限内点的坐标特征：横坐标为正，纵坐标也为正。据此先列出关于a的一元一次不等式组，再分别求解两个不等式得到a的取值范围，最后对照数轴表示规则（大于向右画、小于向左画，含等号用实心点、不含等号用空心圈）匹配正确选项即可。
【解析】
已知点$P(a+1,2-2a)$在第一象限，第一象限内的点横、纵坐标均大于0，因此可列不等式组：
$\begin{cases}a+1＞0 \quad ①\\2-2a＞0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$a＞-1$；
解不等式②：移项得$-2a＞-2$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$a＜1$；
综上，$a$的取值范围是$-1＜a＜1$。
在数轴上表示该范围时，$-1$和$1$处均不含等号，用空心圈标注，大于$-1$向右延伸、小于$1$向左延伸，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
第一象限点的坐标特征、解一元一次不等式组、解集的数轴表示
【点评】
本题是基础综合题，将平面直角坐标系坐标特征和不等式组知识结合考查，解题关键是准确根据坐标特征列不等式组，同时要注意解系数为负的不等式时不等号方向要改变，数轴表示时正确区分实心点和空心圈的用法。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确第一象限内点的坐标特征：横坐标为正，纵坐标也为正。据此先列出关于a的一元一次不等式组，再分别求解两个不等式得到a的取值范围，最后对照数轴表示规则（大于向右画、小于向左画，含等号用实心点、不含等号用空心圈）匹配正确选项即可。
【解析】
已知点$P(a+1,2-2a)$在第一象限，第一象限内的点横、纵坐标均大于0，因此可列不等式组：
$\begin{cases}a+1＞0 \quad ①\\2-2a＞0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$a＞-1$；
解不等式②：移项得$-2a＞-2$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$a＜1$；
综上，$a$的取值范围是$-1＜a＜1$。
在数轴上表示该范围时，$-1$和$1$处均不含等号，用空心圈标注，大于$-1$向右延伸、小于$1$向左延伸，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
第一象限点的坐标特征、解一元一次不等式组、解集的数轴表示
【点评】
本题是基础综合题，将平面直角坐标系坐标特征和不等式组知识结合考查，解题关键是准确根据坐标特征列不等式组，同时要注意解系数为负的不等式时不等号方向要改变，数轴表示时正确区分实心点和空心圈的用法。
【难度系数】
0.7
5.为了解公园用地面积$x$（单位:公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照$0＜x≤4$，$4＜x≤8$，$8＜x≤12$，$12＜x≤16$，$16＜x≤20$的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是 （
A.$a$的值为20
B.用地面积在$8＜x≤12$这一组的公园个数最多
C.用地面积在$4＜x≤8$这一组的公园个数最少
D.这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
B
）A.$a$的值为20
B.用地面积在$8＜x≤12$这一组的公园个数最多
C.用地面积在$4＜x≤8$这一组的公园个数最少
D.这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
答案
5.B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确频数分布直方图的核心性质：所有组的频数之和等于调查的总样本数。我们先根据总公园数量50计算出未知频数a的值，再结合各组的频数逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
已知调查的公园总数为50个，频数分布直方图中各组频数之和等于总数：
1. 计算a的值：
$4+a+16+12+8=50$
解得$a=50-4-16-12-8=10$
2. 逐一分析选项：
A选项：$a=10≠20$，该选项错误；
B选项：各组频数分别为4、10、16、12、8，其中16最大，对应$8＜x≤12$这一组，即该组公园个数最多，该选项正确；
C选项：频数最小的是$0＜x≤4$组的4个，不是$4＜x≤8$组，该选项错误；
D选项：用地面积超过12公顷的是$12＜x≤16$和$16＜x≤20$两组，总数为$12+8=20$个，$20＜25$（50的一半），即不足一半，该选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
频数分布直方图，频数的性质
【点评】
本题属于基础题，考查对频数分布直方图的理解，只要掌握频数总和等于样本总量的性质，结合图中信息即可快速判断。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确频数分布直方图的核心性质：所有组的频数之和等于调查的总样本数。我们先根据总公园数量50计算出未知频数a的值，再结合各组的频数逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
已知调查的公园总数为50个，频数分布直方图中各组频数之和等于总数：
1. 计算a的值：
$4+a+16+12+8=50$
解得$a=50-4-16-12-8=10$
2. 逐一分析选项：
A选项：$a=10≠20$，该选项错误；
B选项：各组频数分别为4、10、16、12、8，其中16最大，对应$8＜x≤12$这一组，即该组公园个数最多，该选项正确；
C选项：频数最小的是$0＜x≤4$组的4个，不是$4＜x≤8$组，该选项错误；
D选项：用地面积超过12公顷的是$12＜x≤16$和$16＜x≤20$两组，总数为$12+8=20$个，$20＜25$（50的一半），即不足一半，该选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
频数分布直方图，频数的性质
【点评】
本题属于基础题，考查对频数分布直方图的理解，只要掌握频数总和等于样本总量的性质，结合图中信息即可快速判断。
【难度系数】
0.8
6.《九章算术》中有这样一道题:“今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问:人与车各几何?”其大意是:若3人坐一辆车,则两辆车是空的;若2人坐一辆车,则9人需要步行,问:人与车各多少?设有$x$辆车,人数为$y$.根据题意,可列二元一次方程组为 (
A.$\begin{cases} 3(x-2)=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x-2=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x+2=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x+2=y, \\ 2x-9=y \end{cases}$
A
)A.$\begin{cases} 3(x-2)=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x-2=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x+2=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x+2=y, \\ 2x-9=y \end{cases}$
答案
6.A
解析
【分析】
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题核心是抓住两个不变量：总人数和总车数，分别结合两种乘车场景推导等量关系即可。首先明确未知量：x为车的数量，y为总人数。第一步先分析第一种乘车规则：3人坐1辆车时空2辆车，说明实际用来载人的车比总车数少2辆，总人数等于每车坐的人数乘实际载人的车数；第二步分析第二种乘车规则：2人坐1辆车时9人步行，说明总人数等于所有车坐满2人的数量加上步行的人数，两个式子都等于总人数y，联立即可得到方程组。
【解析】
1. 根据“3人坐一辆车，则两辆车是空的”列方程：
空了2辆车，实际载人的车辆数为$(x-2)$辆，每辆坐3人，总人数$y=3(x-2)$。
2. 根据“2人坐一辆车，则9人需要步行”列方程：
所有车都坐满2人时，车上总人数为$2x$，加上步行的9人就是总人数，即$y=2x+9$。
联立两个方程可得方程组$\begin{cases} 3(x-2)=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系分析
【点评】
本题以古代数学经典问题为背景，考查从实际场景中提取等量关系的能力，解题关键是准确理解两种乘车安排的含义，抓住总人数不变的核心，审题仔细即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题核心是抓住两个不变量：总人数和总车数，分别结合两种乘车场景推导等量关系即可。首先明确未知量：x为车的数量，y为总人数。第一步先分析第一种乘车规则：3人坐1辆车时空2辆车，说明实际用来载人的车比总车数少2辆，总人数等于每车坐的人数乘实际载人的车数；第二步分析第二种乘车规则：2人坐1辆车时9人步行，说明总人数等于所有车坐满2人的数量加上步行的人数，两个式子都等于总人数y，联立即可得到方程组。
【解析】
1. 根据“3人坐一辆车，则两辆车是空的”列方程：
空了2辆车，实际载人的车辆数为$(x-2)$辆，每辆坐3人，总人数$y=3(x-2)$。
2. 根据“2人坐一辆车，则9人需要步行”列方程：
所有车都坐满2人时，车上总人数为$2x$，加上步行的9人就是总人数，即$y=2x+9$。
联立两个方程可得方程组$\begin{cases} 3(x-2)=y, \\ 2x+9=y \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系分析
【点评】
本题以古代数学经典问题为背景，考查从实际场景中提取等量关系的能力，解题关键是准确理解两种乘车安排的含义，抓住总人数不变的核心，审题仔细即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
7.一个正方体,它的体积是棱长为3 cm的正方体体积的8倍,这个正方体的棱长是
6 cm
.答案
7.6 cm
解析
【分析】
解题可以按照两种思路展开：思路一，先根据正方体体积公式算出棱长3cm的小正方体体积，再结合8倍的倍数关系算出所求正方体的体积，最后对体积开立方得到棱长；思路二，利用正方体体积和棱长的规律：体积扩大的倍数是棱长扩大倍数的立方，8是2的立方，说明棱长是原来的2倍，直接计算更简便。
【解析】
方法1：
1. 计算小正方体体积：正方体体积公式为$V=a^3$（$a$为棱长），因此棱长3cm的正方体体积为$V_小=3^3=27\,\mathrm{cm}^3$。
2. 计算所求正方体体积：由题意得，所求正方体体积$V_大=27×8=216\,\mathrm{cm}^3$。
3. 求大正方体棱长：设大正方体棱长为$x\,\mathrm{cm}$，则$x^3=216$，因为$6^3=216$，所以$x=6$。
方法2：
正方体体积扩大的倍数是棱长扩大倍数的立方，已知体积为原来的8倍，因此棱长扩大的倍数为$\sqrt[3]{8}=2$，所求正方体棱长为$3×2=6\,\mathrm{cm}$。
【答案】
6 cm
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算，乘方逆运算
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查正方体体积公式和立方根的基础计算，解题时注意不要混淆体积和棱长的倍数关系，算出结果后可代入体积公式反向验证是否正确。
【难度系数】
0.8
解题可以按照两种思路展开：思路一，先根据正方体体积公式算出棱长3cm的小正方体体积，再结合8倍的倍数关系算出所求正方体的体积，最后对体积开立方得到棱长；思路二，利用正方体体积和棱长的规律：体积扩大的倍数是棱长扩大倍数的立方，8是2的立方，说明棱长是原来的2倍，直接计算更简便。
【解析】
方法1：
1. 计算小正方体体积：正方体体积公式为$V=a^3$（$a$为棱长），因此棱长3cm的正方体体积为$V_小=3^3=27\,\mathrm{cm}^3$。
2. 计算所求正方体体积：由题意得，所求正方体体积$V_大=27×8=216\,\mathrm{cm}^3$。
3. 求大正方体棱长：设大正方体棱长为$x\,\mathrm{cm}$，则$x^3=216$，因为$6^3=216$，所以$x=6$。
方法2：
正方体体积扩大的倍数是棱长扩大倍数的立方，已知体积为原来的8倍，因此棱长扩大的倍数为$\sqrt[3]{8}=2$，所求正方体棱长为$3×2=6\,\mathrm{cm}$。
【答案】
6 cm
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算，乘方逆运算
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查正方体体积公式和立方根的基础计算，解题时注意不要混淆体积和棱长的倍数关系，算出结果后可代入体积公式反向验证是否正确。
【难度系数】
0.8
8.已知点$M(3,1),N(a,a+3)$,若直线$MN$与$y$轴平行,则线段$MN$的长为
5
.答案
8.5
解析
【分析】
解题时首先回忆平行于y轴的直线的坐标特征：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等。第一步先利用这个特征求出参数a的值，得到点N的完整坐标；第二步因为两点横坐标相同，线段长度就等于两点纵坐标差的绝对值，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ 直线MN与y轴平行
∴ 点M和点N的横坐标相等，即$a = 3$
将$a=3$代入N点坐标，得$N(3, 3+3)$，即$N(3,6)$
∵ M、N两点横坐标相同
∴ 线段MN的长度为两点纵坐标的差的绝对值：$|6 - 1| = 5$
【答案】
5
【知识点】
平行于y轴的直线坐标特征；两点间距离计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，解题的关键是先根据平行关系求出未知参数a的取值，再计算线段长度，熟练掌握坐标特征即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行于y轴的直线的坐标特征：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等。第一步先利用这个特征求出参数a的值，得到点N的完整坐标；第二步因为两点横坐标相同，线段长度就等于两点纵坐标差的绝对值，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ 直线MN与y轴平行
∴ 点M和点N的横坐标相等，即$a = 3$
将$a=3$代入N点坐标，得$N(3, 3+3)$，即$N(3,6)$
∵ M、N两点横坐标相同
∴ 线段MN的长度为两点纵坐标的差的绝对值：$|6 - 1| = 5$
【答案】
5
【知识点】
平行于y轴的直线坐标特征；两点间距离计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，解题的关键是先根据平行关系求出未知参数a的取值，再计算线段长度，熟练掌握坐标特征即可快速作答。
【难度系数】
0.8
9. 关于$x,y$的方程组$\begin{cases}-2x+3y-2a=-3,\\3x-5y+a=0\end{cases}$的解的和为2，则$a$的值为 ______ .
答案
9.2
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确题目给出的条件：方程组的解x、y满足x+y=2，我们可以先通过原方程组消去参数a，得到关于x、y的二元一次方程，再联立x+y=2组成新的二元一次方程组，求解得到x、y的值，最后将x、y代入原方程即可求出a的值；也可以先把a当作常数，用含a的式子表示x、y，再根据x+y=2列方程求a，两种方法均符合学段知识要求，这里采用消去a先求x、y的方法更简便。
【解析】
解：原方程组为$\begin{cases}-2x+3y-2a=-3&①\\3x-5y+a=0&②\end{cases}$
1. 消去参数a：将方程②左右两边同时乘2，得：
$6x - 10y + 2a = 0$ ③
2. ①+③抵消含a的项：
$(-2x + 6x) + (3y - 10y) + (-2a + 2a) = -3 + 0$
化简得：$4x - 7y = -3$ ④
3. 根据“方程组解的和为2”，可得：$x + y = 2$ ⑤
4. 联立④⑤求解x、y：由⑤得$x = 2 - y$，代入④得：
$4(2 - y) - 7y = -3$
展开计算：$8 - 4y - 7y = -3$
合并同类项：$8 - 11y = -3$
移项解得：$y = 1$，代入⑤得$x = 1$
5. 将$x=1,y=1$代入方程②求a：
$3×1 - 5×1 + a = 0$
计算得$a = 2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解；加减消元法；解一元一次方程
【点评】
本题是二元一次方程组的常规应用题型，解题核心是挖掘“解的和为2”的隐含条件得到x+y=2，再通过消元法逐步求解，计算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确题目给出的条件：方程组的解x、y满足x+y=2，我们可以先通过原方程组消去参数a，得到关于x、y的二元一次方程，再联立x+y=2组成新的二元一次方程组，求解得到x、y的值，最后将x、y代入原方程即可求出a的值；也可以先把a当作常数，用含a的式子表示x、y，再根据x+y=2列方程求a，两种方法均符合学段知识要求，这里采用消去a先求x、y的方法更简便。
【解析】
解：原方程组为$\begin{cases}-2x+3y-2a=-3&①\\3x-5y+a=0&②\end{cases}$
1. 消去参数a：将方程②左右两边同时乘2，得：
$6x - 10y + 2a = 0$ ③
2. ①+③抵消含a的项：
$(-2x + 6x) + (3y - 10y) + (-2a + 2a) = -3 + 0$
化简得：$4x - 7y = -3$ ④
3. 根据“方程组解的和为2”，可得：$x + y = 2$ ⑤
4. 联立④⑤求解x、y：由⑤得$x = 2 - y$，代入④得：
$4(2 - y) - 7y = -3$
展开计算：$8 - 4y - 7y = -3$
合并同类项：$8 - 11y = -3$
移项解得：$y = 1$，代入⑤得$x = 1$
5. 将$x=1,y=1$代入方程②求a：
$3×1 - 5×1 + a = 0$
计算得$a = 2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程组的解；加减消元法；解一元一次方程
【点评】
本题是二元一次方程组的常规应用题型，解题核心是挖掘“解的和为2”的隐含条件得到x+y=2，再通过消元法逐步求解，计算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
10. 醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形，如图
，AB//CD，∠A=15°，∠F=122°，∠C=13°，∠AEF和∠FGC的角平分线EH、GH交于点H，则∠H=
，AB//CD，∠A=15°，∠F=122°，∠C=13°，∠AEF和∠FGC的角平分线EH、GH交于点H，则∠H=47
度。答案
10.47
解析
【分析】
这是平行线间拐角类的角度计算问题，解题思路如下：1. 遇到平行线间的多个拐点，我们可以过拐点作已知平行线的平行线，利用“两直线平行，内错角相等”转化角度关系；2. 先过点F作平行线，推导得出∠AEF与∠FGC的和；3. 结合角平分线的定义，得到两个角的一半的和；4. 再过点H作平行线，推导∠H和已知角、半角的关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：过点F作FP//AB，过点H作HQ//AB。
∵ AB//CD，
∴ FP//AB//CD，HQ//AB//CD（平行公理的推论）。
根据两直线平行，内错角相等：
∠AEF - ∠A = ∠EFP，∠FGC - ∠C = ∠GFP，
又
∵ ∠EFP + ∠GFP = ∠EFG = 122°，
∴ ∠AEF - 15° + ∠FGC - 13° = 122°，
解得∠AEF + ∠FGC = 122° +15° +13° = 150°。
∵ EH平分∠AEF，GH平分∠FGC，
∴ ∠AEH = $\frac{1}{2}$∠AEF，∠CGH = $\frac{1}{2}$∠FGC，
∴ ∠AEH + ∠CGH = $\frac{1}{2}$(∠AEF + ∠FGC) = $\frac{1}{2}$×150° = 75°。
同理，由HQ//AB//CD可得：
∠EHQ = ∠AEH - ∠A，∠GHQ = ∠CGH - ∠C，
∴ ∠H = ∠EHQ + ∠GHQ = (∠AEH + ∠CGH) - (∠A + ∠C) = 75° - (15°+13°) = 47°。
【答案】
47
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平行公理推论
【点评】
本题属于平行线性质的典型应用题型，核心解题技巧是掌握平行线间拐角问题的辅助线作法，通过过拐点作平行线转化角度关系，再结合角平分线的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.6
这是平行线间拐角类的角度计算问题，解题思路如下：1. 遇到平行线间的多个拐点，我们可以过拐点作已知平行线的平行线，利用“两直线平行，内错角相等”转化角度关系；2. 先过点F作平行线，推导得出∠AEF与∠FGC的和；3. 结合角平分线的定义，得到两个角的一半的和；4. 再过点H作平行线，推导∠H和已知角、半角的关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：过点F作FP//AB，过点H作HQ//AB。
∵ AB//CD，
∴ FP//AB//CD，HQ//AB//CD（平行公理的推论）。
根据两直线平行，内错角相等：
∠AEF - ∠A = ∠EFP，∠FGC - ∠C = ∠GFP，
又
∵ ∠EFP + ∠GFP = ∠EFG = 122°，
∴ ∠AEF - 15° + ∠FGC - 13° = 122°，
解得∠AEF + ∠FGC = 122° +15° +13° = 150°。
∵ EH平分∠AEF，GH平分∠FGC，
∴ ∠AEH = $\frac{1}{2}$∠AEF，∠CGH = $\frac{1}{2}$∠FGC，
∴ ∠AEH + ∠CGH = $\frac{1}{2}$(∠AEF + ∠FGC) = $\frac{1}{2}$×150° = 75°。
同理，由HQ//AB//CD可得：
∠EHQ = ∠AEH - ∠A，∠GHQ = ∠CGH - ∠C，
∴ ∠H = ∠EHQ + ∠GHQ = (∠AEH + ∠CGH) - (∠A + ∠C) = 75° - (15°+13°) = 47°。
【答案】
47
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平行公理推论
【点评】
本题属于平行线性质的典型应用题型，核心解题技巧是掌握平行线间拐角问题的辅助线作法，通过过拐点作平行线转化角度关系，再结合角平分线的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.6
