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三、解答题
11.解不等式组$\begin{cases}2x -7 ＜ 3(x -1),&① \\5 - \dfrac{1}{2}(x +4) ≥ x.&②\end{cases}$并把解集表示在数轴上.
11.解不等式组$\begin{cases}2x -7 ＜ 3(x -1),&① \\5 - \dfrac{1}{2}(x +4) ≥ x.&②\end{cases}$并把解集表示在数轴上.
答案
11.解:解不等式①得:x＞-4，
解不等式②得:x≤2，
∴原不等式组的解集为:-4＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
解析
【分析】
要解一元一次不等式组，首先需要分别求解两个不等式的解集，求解时遵循一元一次不等式的解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意系数为负时不等号方向要改变；接下来根据“大小小大中间找”的口诀确定两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；最后按照规则在数轴上表示解集，大于用空心圈向右画，小于等于用实心点向左画即可。
【解析】
解：解不等式①：
$2x -7 ＜ 3(x -1)$
去括号，得：$2x - 7 ＜ 3x - 3$
移项，得：$2x - 3x ＜ -3 + 7$
合并同类项，得：$-x ＜ 4$
系数化为1，不等号方向改变，得：$x ＞ -4$
解不等式②：
$5 - \dfrac{1}{2}(x +4) ≥ x$
两边同乘2消去分母，得：$10 - (x +4) ≥ 2x$
去括号，得：$10 - x - 4 ≥ 2x$
合并同类项，得：$6 - x ≥ 2x$
移项合并，得：$3x ≤ 6$
系数化为1，得：$x ≤ 2$
取两个解集的公共部分，可得原不等式组的解集为$-4 ＜ x ≤ 2$，按照数轴表示解集的规则，在-4处画空心圆圈向右延伸，2处画实心圆点向左延伸即可表示该解集。
【答案】
解:解不等式①得:$x＞-4$，
解不等式②得:$x≤2$，
∴原不等式组的解集为:$-4＜x≤2$，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次不等式组，解集数轴表示
【点评】
本题是不等式组的基础考察题，解题关键是熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，同时注意区分数轴上空心圈和实心点的使用场景，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.8
要解一元一次不等式组，首先需要分别求解两个不等式的解集，求解时遵循一元一次不等式的解题步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意系数为负时不等号方向要改变；接下来根据“大小小大中间找”的口诀确定两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；最后按照规则在数轴上表示解集，大于用空心圈向右画，小于等于用实心点向左画即可。
【解析】
解：解不等式①：
$2x -7 ＜ 3(x -1)$
去括号，得：$2x - 7 ＜ 3x - 3$
移项，得：$2x - 3x ＜ -3 + 7$
合并同类项，得：$-x ＜ 4$
系数化为1，不等号方向改变，得：$x ＞ -4$
解不等式②：
$5 - \dfrac{1}{2}(x +4) ≥ x$
两边同乘2消去分母，得：$10 - (x +4) ≥ 2x$
去括号，得：$10 - x - 4 ≥ 2x$
合并同类项，得：$6 - x ≥ 2x$
移项合并，得：$3x ≤ 6$
系数化为1，得：$x ≤ 2$
取两个解集的公共部分，可得原不等式组的解集为$-4 ＜ x ≤ 2$，按照数轴表示解集的规则，在-4处画空心圆圈向右延伸，2处画实心圆点向左延伸即可表示该解集。
【答案】
解:解不等式①得:$x＞-4$，
解不等式②得:$x≤2$，
∴原不等式组的解集为:$-4＜x≤2$，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次不等式组，解集数轴表示
【点评】
本题是不等式组的基础考察题，解题关键是熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，同时注意区分数轴上空心圈和实心点的使用场景，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.8
12.已知点$P(2a - 2,a + 5)$，解答下列各题：
(1)若点$P$在$x$轴上，求出点$P$的坐标；
(2)若点$Q$的坐标为$(4,5)$，直线$PQ// x$轴，求出点$P$的坐标。
(1)若点$P$在$x$轴上，求出点$P$的坐标；
(2)若点$Q$的坐标为$(4,5)$，直线$PQ// x$轴，求出点$P$的坐标。
答案
12.解:(1)
∵点P在x轴上，
∴a+5=0，
∴a=-5，
∴2a-2=2×(-5)-2=-12，
∴点P的坐标为(-12,0)；
(2)点Q的坐标为(4,5),直线PQ//x轴，
∴a+5=5，
∴a=0，
∴2a-2=-2，
∴点P的坐标为(-2,5).
∵点P在x轴上，
∴a+5=0，
∴a=-5，
∴2a-2=2×(-5)-2=-12，
∴点P的坐标为(-12,0)；
(2)点Q的坐标为(4,5),直线PQ//x轴，
∴a+5=5，
∴a=0，
∴2a-2=-2，
∴点P的坐标为(-2,5).
解析
【分析】
(1) 求解在x轴上的点P坐标，首先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标为0。因此先令点P的纵坐标a+5=0，解出a的取值，再将a代入横坐标表达式2a-2计算出横坐标，就能得到点P的坐标。
(2) 已知直线PQ平行于x轴，回忆平行于x轴的直线的坐标性质：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等。因此点P的纵坐标与点Q的纵坐标相同，均为5，令a+5=5解出a的值，再代入横坐标表达式计算，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)
∵点P在x轴上，
∴a+5=0，
解得a=-5，
∴2a-2=2×(-5)-2=-12，
∴点P的坐标为(-12,0)；
(2)
∵点Q的坐标为(4,5)，直线PQ//x轴，
∴a+5=5，
解得a=0，
∴2a-2=2×0-2=-2，
∴点P的坐标为(-2,5)。
【答案】
(1) $(-12,0)$；(2) $(-2,5)$
【知识点】
x轴上点的坐标特征；平行于x轴的直线点坐标性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，重点考查特殊位置点的坐标规律，熟练掌握相关性质即可快速解题，是后续学习函数图像的重要基础。
【难度系数】
0.85
(1) 求解在x轴上的点P坐标，首先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标为0。因此先令点P的纵坐标a+5=0，解出a的取值，再将a代入横坐标表达式2a-2计算出横坐标，就能得到点P的坐标。
(2) 已知直线PQ平行于x轴，回忆平行于x轴的直线的坐标性质：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等。因此点P的纵坐标与点Q的纵坐标相同，均为5，令a+5=5解出a的值，再代入横坐标表达式计算，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)
∵点P在x轴上，
∴a+5=0，
解得a=-5，
∴2a-2=2×(-5)-2=-12，
∴点P的坐标为(-12,0)；
(2)
∵点Q的坐标为(4,5)，直线PQ//x轴，
∴a+5=5，
解得a=0，
∴2a-2=2×0-2=-2，
∴点P的坐标为(-2,5)。
【答案】
(1) $(-12,0)$；(2) $(-2,5)$
【知识点】
x轴上点的坐标特征；平行于x轴的直线点坐标性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，重点考查特殊位置点的坐标规律，熟练掌握相关性质即可快速解题，是后续学习函数图像的重要基础。
【难度系数】
0.85
13. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课开讲.神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组(满分100分)，其中A组:75≤x＜80，B组:80≤x＜85，C组:85≤x＜90，D组:90≤x＜95，E组:95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图.
(1)求本次调查一共随机抽取了多少名学生的成绩；
(2)补全学生成绩条形统计图(写出计算过程)；
(3)若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，求优秀学生所在扇形对应圆心角的度数；
(4)该校要对成绩为95≤x≤100的学生进行奖励，请你估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数.
(1)求本次调查一共随机抽取了多少名学生的成绩；
(2)补全学生成绩条形统计图(写出计算过程)；
(3)若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，求优秀学生所在扇形对应圆心角的度数；
(4)该校要对成绩为95≤x≤100的学生进行奖励，请你估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数.
答案
13.解:(1)90÷30%=300(名)；
(2)D组人数为:300×25%=75(名)，
补全学生成绩条形统计图略；
(3)$360°×\frac{75+15}{300}=108°$；
(4)$3000×\frac{15}{300}=150$(名).
(2)D组人数为:300×25%=75(名)，
补全学生成绩条形统计图略；
(3)$360°×\frac{75+15}{300}=108°$；
(4)$3000×\frac{15}{300}=150$(名).
解析
【分析】
解题时结合两个统计图的对应信息找突破口：
1. 求总抽取人数：条形统计图中C组有90人，扇形统计图中C组占总人数的30%，根据“总人数=部分人数÷对应占比”即可计算结果。
2. 补全条形图：已知总人数，扇形图中D组占25%，用总人数乘D组占比得到D组人数，即可补全条形图。
3. 求优秀对应圆心角：90分及以上为D、E两组，先计算两组总人数占抽取总人数的比例，再乘360°即可得到对应圆心角度数。
4. 估计获奖人数：先计算抽取样本中E组的占比，再乘该校总人数3000，即可估计出获奖总人数。
【解析】
(1) 由条形统计图得C组有90人，扇形统计图显示C组占总抽取人数的30%，因此总抽取人数为：
$90÷30\% = 300$（名）
(2) D组人数占总人数的25%，因此D组人数为：
$300×25\% = 75$（名）
据此补全条形统计图中D组的长条即可（补图略）。
(3) 成绩90分及以上为D、E两组，对应扇形圆心角度数为：
$360°×\frac{75+15}{300}=108°$
(4) 抽取的学生中E组占比为$\frac{15}{300}$，因此估计该校3000名学生中获奖人数为：
$3000×\frac{15}{300}=150$（名）
【答案】
(1) 本次调查一共随机抽取了300名学生的成绩；
(2) D组人数为75名，补全学生成绩条形统计图略；
(3) 优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为$108°$；
(4) 估计该校3000名学生中获得奖励的学生有150名。
【知识点】
条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题是统计图表综合应用题，需要结合条形统计图的具体人数和扇形统计图的占比信息关联分析，解题核心是先求出抽取的总人数，再根据占比依次计算各未知量，同时考查了用样本特征估计总体特征的统计思想。
【难度系数】
0.7
解题时结合两个统计图的对应信息找突破口：
1. 求总抽取人数：条形统计图中C组有90人，扇形统计图中C组占总人数的30%，根据“总人数=部分人数÷对应占比”即可计算结果。
2. 补全条形图：已知总人数，扇形图中D组占25%，用总人数乘D组占比得到D组人数，即可补全条形图。
3. 求优秀对应圆心角：90分及以上为D、E两组，先计算两组总人数占抽取总人数的比例，再乘360°即可得到对应圆心角度数。
4. 估计获奖人数：先计算抽取样本中E组的占比，再乘该校总人数3000，即可估计出获奖总人数。
【解析】
(1) 由条形统计图得C组有90人，扇形统计图显示C组占总抽取人数的30%，因此总抽取人数为：
$90÷30\% = 300$（名）
(2) D组人数占总人数的25%，因此D组人数为：
$300×25\% = 75$（名）
据此补全条形统计图中D组的长条即可（补图略）。
(3) 成绩90分及以上为D、E两组，对应扇形圆心角度数为：
$360°×\frac{75+15}{300}=108°$
(4) 抽取的学生中E组占比为$\frac{15}{300}$，因此估计该校3000名学生中获奖人数为：
$3000×\frac{15}{300}=150$（名）
【答案】
(1) 本次调查一共随机抽取了300名学生的成绩；
(2) D组人数为75名，补全学生成绩条形统计图略；
(3) 优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为$108°$；
(4) 估计该校3000名学生中获得奖励的学生有150名。
【知识点】
条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题是统计图表综合应用题，需要结合条形统计图的具体人数和扇形统计图的占比信息关联分析，解题核心是先求出抽取的总人数，再根据占比依次计算各未知量，同时考查了用样本特征估计总体特征的统计思想。
【难度系数】
0.7
