三、解答题
11. 计算：$\sqrt{16}+\sqrt[3]{-64}-\sqrt{(-3)^2}+|\sqrt{3}-1|.$

11.解:原式=4+(-4)-|-3|+√3-1=√3-4.

【分析】
本题属于实数混合运算题，解题时先拆分原式的各个运算项，分别按照对应规则计算每一项的值，再合并得到最终结果。首先明确各运算的核心规则：①算术平方根的结果为非负数；②立方根的符号和被开方数的符号一致；③化简绝对值时先判断绝对值内式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。依次算出每一项后再做加减运算即可。
【解析】
解：先分别计算每一项的值：
1. $\sqrt{16}$是求16的算术平方根，结果为$4$，即$\sqrt{16}=4$；
2. $\sqrt[3]{-64}$是求$-64$的立方根，因为$(-4)^3=-64$，所以$\sqrt[3]{-64}=-4$；
3. $\sqrt{(-3)^2}$先算平方得$(-3)^2=9$，再求9的算术平方根得$3$，即$\sqrt{(-3)^2}=3$；
4. $|\sqrt{3}-1|$中，因为$\sqrt{3}\approx1.732＞1$，所以$\sqrt{3}-1＞0$，去绝对值得$\sqrt{3}-1$。
将各项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4+(-4)-3+\sqrt{3}-1\\&=4-4-3-1+\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}-4\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}-4$
【知识点】
算术平方根运算，立方根运算，绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查对算术平方根、立方根、绝对值化简规则的掌握，计算时要注意区分算术平方根的非负性和立方根的符号特点，化简绝对值时先判断正负再去符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7

12.如图,点G在AB上,点E在CD上,BE与DG交于点F,且$∠ 2=∠ C$.
(1)若$∠ GBE=∠ C$,求证:$∠ 1=∠ 2$;
(2)若$∠ GBF+∠ BFG=130°,∠ 1=55°$,求$∠ DFE$的度数.

12.(1)证明:
∵∠2=∠C,∠GBE=∠C,
∴∠2=∠GBE,
∴AB//CD,
∴∠1=∠C,
∴∠1=∠2;
(2)解:
∵∠GBF+∠BFG=130°,
∴∠BGF=180°-(∠GBF+∠BFG)=180°-130°=50°,
∵∠1=55°,
∴∠CGD=180°-∠1-∠BGF=180°-55°-50°=75°,
∵∠2=∠C,
∴CG//EB,
∴∠DFE=∠CGD=75°.

【分析】
(1) 要证明∠1=∠2，首先结合已知条件∠2=∠C、∠GBE=∠C，通过等量代换得到∠2=∠GBE，可判定AB//CD，再由平行线的性质得到∠1=∠C，最后结合∠2=∠C等量代换即可得证。
(2) 求∠DFE的度数时，先在△GBF中利用三角形内角和为180°，结合∠GBF+∠BFG=130°算出∠BGF的度数；再根据平角为180°，结合∠1=55°算出∠CGD的度数；之后由∠2=∠C判定CG//EB，根据平行线的同位角相等即可得到∠DFE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵∠2=∠C，∠GBE=∠C，
∴∠2=∠GBE，
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴∠1=∠2。
(2) 解：
在△GBF中，三角形内角和为180°，
∵∠GBF+∠BFG=130°，
∴∠BGF=180°-(∠GBF+∠BFG)=180°-130°=50°，
∵∠1=55°，且∠1+∠CGD+∠BGF=180°（平角的定义），
∴∠CGD=180°-∠1-∠BGF=180°-55°-50°=75°，
∵∠2=∠C，
∴CG//EB（同位角相等，两直线平行），
∴∠DFE=∠CGD=75°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
(1) 已证∠1=∠2；
(2) ∠DFE的度数为75°。
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题属于几何基础运算题，主要考查角的等量代换、平行线的判定和性质的综合运用，解题时需结合已知条件逐步推导角之间的数量关系，理清逻辑顺序即可完成解答。
【难度系数】
0.8

13.若不等式(组)只有$n$个正整数解($n$为自然数),则称这个不等式(组)为$n$阶不等式(组).我们规定:当$n=0$时,这个不等式(组)为0阶不等式(组).
例如:不等式$x+1＜6$有4个正整数解,因此称其为4阶不等式,不等式组$\begin{cases}x+1＞2,\\2x-3＜7\end{cases}$只有3个正整数解,因此称其为3阶不等式组.
请根据定义完成下列问题:
(1)$x≤2$是 ______ 阶不等式，$\begin{cases}x＞1,\\x-3＜0\end{cases}$是 ______ 阶不等式组；
(2)若关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x-4a＜0,\\2+3x≥\frac{x+9}{2}\end{cases}$是4阶不等式组，求$a$的取值范围；
(3)关于$x$的不等式组$\begin{cases}x≥ p,\\x＜m\end{cases}$的正整数解有$a_1,a_2,a_3,a_4,···$,其中$a_1＜a_2＜a_3＜a_4···$,如果$\begin{cases}x≥ p,\\x＜m\end{cases}$是$(m-3)$阶不等式组，且关于$x$的方程$2x - m=0$的解是$\begin{cases}x≥ p,\\x＜m\end{cases}$的正整数解$a_3$,请求出$m$的值以及$p$的取值范围.

13.解:(1)2,1;
(2)解不等式组$\begin{cases}2x-4a＜0,\\2+3x≥\frac{x+9}{2}\end{cases}$得$1≤x＜2a$,
∵该不等式组有4个正整数解.
∴x的取值分别为1,2,3,4,
∴4＜2a≤5,解得2＜a≤2.5;
(3)由题知,m是正整数,且$p≤x＜m$有$(m-3)$个正整数解,
∴2＜p≤3,$\frac{m}{2}=5$,
∴m=10.

【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“n阶不等式（组）”的含义：即不等式（组）的正整数解的个数为n。解题思路如下：(1)分别求出不等式、不等式组的解集，统计正整数解的个数即可对应阶数；(2)先解不等式组得到含参数a的解集，结合“4阶”即4个正整数解的条件，确定参数的边界范围，注意端点的取舍；(3)先求出方程的解，结合该解是不等式组的第三个正整数解，同时根据不等式组的阶数得到正整数解的总个数，联立求解m的值，再根据第一个正整数解的位置确定p的取值范围。
【解析】
(1) 对于不等式$x≤2$，正整数解为1、2，共2个，因此是2阶不等式；
解不等式组$\begin{cases}x＞1\\x-3＜0\end{cases}$，得解集为$1＜x＜3$，正整数解只有2，共1个，因此是1阶不等式组。
(2) 解不等式组$\begin{cases}2x-4a＜0①\\2+3x≥\frac{x+9}{2}②\end{cases}$
解不等式①：移项得$2x＜4a$，系数化为1得$x＜2a$；
解不等式②：两边同乘2去分母得$4+6x≥x+9$，移项合并同类项得$5x≥5$，系数化为1得$x≥1$；
因此不等式组的解集为$1≤x＜2a$。
∵该不等式组是4阶不等式组，即有4个正整数解，对应正整数解为1、2、3、4，
∴$4＜2a≤5$，解得$2＜a≤2.5$。
(3) 解方程$2x-m=0$，得$x=\frac{m}{2}$，由题知$\frac{m}{2}$是不等式组$\begin{cases}x≥p\\x＜m\end{cases}$的第三个正整数解$a_3$。
又
∵该不等式组是$(m-3)$阶不等式组，即正整数解共有$(m-3)$个，且不等式组的解集为$p≤x＜m$，其正整数解最大为$m-1$，
结合正整数解的个数为$m-3$，可知正整数解从3开始，依次为3、4、5、…、$m-1$，因此第三个正整数解$a_3=5$，即$\frac{m}{2}=5$，解得$m=10$。
要使不等式组的第一个正整数解为3，则$p$需满足$2＜p≤3$。
【答案】
(1) $2$，$1$；(2) $2＜a≤2.5$；(3) $m=10$，$2＜p≤3$
【知识点】
新定义问题，一元一次不等式（组）的整数解，一元一次方程的解
【点评】
本题依托新定义考查不等式（组）的综合应用，解题关键是准确把握新定义的内涵，将阶数转化为正整数解的个数，确定参数范围时要特别注意边界值的取舍，避免多取或漏取端点。
【难度系数】
0.6