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11.「2026安徽合肥八中期中，★☆」某窗户示意图的上部分是半圆形，下部分是两个相同的小长方形，并且长是宽的2倍，如图所示.已知小长方形的宽为a米.
(1)求该窗户的面积.
(2)若$a=0.6$,玻璃每平方米30元,求制作这种窗户所需玻璃的总费用($π$取3.1,结果保留整数).
(1)求该窗户的面积.
(2)若$a=0.6$,玻璃每平方米30元,求制作这种窗户所需玻璃的总费用($π$取3.1,结果保留整数).
答案
(1)因为小长方形的宽为$a$米,所以窗户上部分半圆的半径为$a$米,下部分小长方形的长为$2a$米,所以窗户的面积为$\frac{1}{2}π a^2 + 2 × 2a · a =(\frac{1}{2}π a^2 +4a^2)$平方米.
(2) 当 $a = 0.6$ 时, $(\frac{1}{2}π a^2 +4a^2) × 30 \approx(\frac{1}{2}×3.1×0.6^2+4×0.6^2)×30=(0.558+1.44)×30\approx60(元).$
答:制作这种窗户所需玻璃的总费用约为60元.
(2) 当 $a = 0.6$ 时, $(\frac{1}{2}π a^2 +4a^2) × 30 \approx(\frac{1}{2}×3.1×0.6^2+4×0.6^2)×30=(0.558+1.44)×30\approx60(元).$
答:制作这种窗户所需玻璃的总费用约为60元.
解析
【分析】
(1) 求窗户面积可拆分图形计算：窗户由上半部分半圆和下半部分两个相同的小长方形组成，分别计算两部分面积后求和即可。首先根据已知条件推导各部分参数：小长方形宽为a，长是宽的2倍，因此小长方形长为2a；半圆的直径等于两个小长方形的宽之和，即2a，因此半圆半径为a。分别计算半圆面积和两个小长方形的总面积，相加即可得到窗户的面积表达式。
(2) 求总费用只需将a=0.6、π=3.1代入(1)得到的面积代数式，算出玻璃总面积后乘以每平方米30元的单价，最后按要求将结果保留整数即可。
【解析】
(1) 已知小长方形的宽为a米，长是宽的2倍，因此小长方形的长为2a米；
观察图形可得，上半部分半圆的直径等于两个小长方形的宽之和，即直径为2a米，因此半圆的半径r=a米；
上半部分半圆的面积为：$\frac{1}{2}πr^2=\frac{1}{2}πa^2$ 平方米；
下半部分两个小长方形的总面积为：$2×(长×宽)=2×2a· a=4a^2$ 平方米；
因此窗户的总面积为半圆面积与两个小长方形面积之和，即$\frac{1}{2}πa^2 +4a^2$ 平方米。
(2) 当$a=0.6$，$π=3.1$时，先计算窗户总面积：
$\frac{1}{2}×3.1×0.6^2 +4×0.6^2 = 0.558 +1.44 = 1.998$ 平方米；
已知玻璃每平方米30元，因此总费用为：$1.998×30 = 59.94 \approx60$元。
【答案】
(1) 窗户的面积为$(\frac{1}{2}π a^2 +4a^2)$平方米；
(2) 制作这种窗户所需玻璃的总费用约为60元。
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查组合图形的面积计算，解题的关键是合理拆分图形，结合已知条件推导各部分的尺寸参数，代入求值时要注意运算的准确性，同时按要求对结果取近似值。
【难度系数】
0.8
(1) 求窗户面积可拆分图形计算：窗户由上半部分半圆和下半部分两个相同的小长方形组成，分别计算两部分面积后求和即可。首先根据已知条件推导各部分参数：小长方形宽为a，长是宽的2倍，因此小长方形长为2a；半圆的直径等于两个小长方形的宽之和，即2a，因此半圆半径为a。分别计算半圆面积和两个小长方形的总面积，相加即可得到窗户的面积表达式。
(2) 求总费用只需将a=0.6、π=3.1代入(1)得到的面积代数式，算出玻璃总面积后乘以每平方米30元的单价，最后按要求将结果保留整数即可。
【解析】
(1) 已知小长方形的宽为a米，长是宽的2倍，因此小长方形的长为2a米；
观察图形可得，上半部分半圆的直径等于两个小长方形的宽之和，即直径为2a米，因此半圆的半径r=a米；
上半部分半圆的面积为：$\frac{1}{2}πr^2=\frac{1}{2}πa^2$ 平方米；
下半部分两个小长方形的总面积为：$2×(长×宽)=2×2a· a=4a^2$ 平方米；
因此窗户的总面积为半圆面积与两个小长方形面积之和，即$\frac{1}{2}πa^2 +4a^2$ 平方米。
(2) 当$a=0.6$，$π=3.1$时，先计算窗户总面积：
$\frac{1}{2}×3.1×0.6^2 +4×0.6^2 = 0.558 +1.44 = 1.998$ 平方米；
已知玻璃每平方米30元，因此总费用为：$1.998×30 = 59.94 \approx60$元。
【答案】
(1) 窗户的面积为$(\frac{1}{2}π a^2 +4a^2)$平方米；
(2) 制作这种窗户所需玻璃的总费用约为60元。
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查组合图形的面积计算，解题的关键是合理拆分图形，结合已知条件推导各部分的尺寸参数，代入求值时要注意运算的准确性，同时按要求对结果取近似值。
【难度系数】
0.8
12.「2026 安徽芜湖月考，★☆」某商场将进货价为40元/个的台灯以50元/个的价格售出，平均每月能售出600个，市场调研表明：当销售单价每上涨1元时，月销售量就减少10个.设每个台灯的售价上涨x元.(单个商品利润=销售价-进货价，销售利润=单个商品利润×销售量)
(1)用含x的代数式表示：
①涨价后，每个台灯的利润为
②涨价后，平均每月的销售量为
(2)商场想要平均每月销售该种台灯的利润达到12 000元，商场经理甲说：“在原销售单价的基础上上涨30元，就可以完成任务.”商场经理乙说：“不用涨那么多，在原销售单价的基础上上涨20元就可以了.”你认为哪位经理的说法正确？并说明理由.
(1)用含x的代数式表示：
①涨价后，每个台灯的利润为
$(x+10)$
元.②涨价后，平均每月的销售量为
$(600-10x)$
个.(2)商场想要平均每月销售该种台灯的利润达到12 000元，商场经理甲说：“在原销售单价的基础上上涨30元，就可以完成任务.”商场经理乙说：“不用涨那么多，在原销售单价的基础上上涨20元就可以了.”你认为哪位经理的说法正确？并说明理由.
答案
(1)①$(x+10)$.
②$(600-10x)$.
(2)由(1)可得,商场平均每月销售该种台灯的利润为$(x+10)·(600-10x)$,
当$x=20$时,平均每月销售该种台灯的利润为$(20+10)×(600-10×20)=30×400=12\ 000$(元),
当$x=30$时,平均每月销售该种台灯的利润为$(30+10)×(600-10×30)=40×300=12\ 000$(元),
所以两位经理的说法都正确,他们的方法所得的利润都等于12 000元.
②$(600-10x)$.
(2)由(1)可得,商场平均每月销售该种台灯的利润为$(x+10)·(600-10x)$,
当$x=20$时,平均每月销售该种台灯的利润为$(20+10)×(600-10×20)=30×400=12\ 000$(元),
当$x=30$时,平均每月销售该种台灯的利润为$(30+10)×(600-10×30)=40×300=12\ 000$(元),
所以两位经理的说法都正确,他们的方法所得的利润都等于12 000元.
解析
【分析】
首先解决第(1)问：①根据单个利润=售价-进货价的公式，先确定涨价后的售价，再减去进货价即可得到单个台灯的利润；②根据“单价每涨1元，月销量减少10个”的规则，计算出涨价x元后减少的销量，用原销量减去减少的销量就能得到涨价后的月销量。再解决第(2)问：先根据“总利润=单个利润×月销售量”写出总利润的代数式，再分别将两位经理所说的上涨金额代入代数式计算，对比结果是否等于12000元，即可判断说法是否正确。
【解析】
(1)①涨价后每个台灯的售价为$(50+x)$元，进货价为40元，因此每个台灯的利润为：$(50+x)-40 = x+10$（元）。
②涨价x元后，月销售量减少$10x$个，因此平均每月的销售量为：$600-10x$（个）。
(2)由总利润公式可得，每月销售总利润为：$(x+10)(600-10x)$元。
验证经理甲的说法：当$x=30$时，代入得：
$(30+10)×(600-10×30)=40×300=12000$（元），符合利润要求。
验证经理乙的说法：当$x=20$时，代入得：
$(20+10)×(600-10×20)=30×400=12000$（元），也符合利润要求。
因此两位经理的说法都正确。
【答案】
(1)①$(x+10)$；②$(600-10x)$
(2)两位经理的说法都正确，他们的方案所得利润都等于12000元。
【知识点】
列代数式；代数式求值；销售利润问题
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查代数式的实际应用，解题核心是找准题目中的数量关系，正确列出对应代数式，再通过代入计算验证结论，难度较低，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先解决第(1)问：①根据单个利润=售价-进货价的公式，先确定涨价后的售价，再减去进货价即可得到单个台灯的利润；②根据“单价每涨1元，月销量减少10个”的规则，计算出涨价x元后减少的销量，用原销量减去减少的销量就能得到涨价后的月销量。再解决第(2)问：先根据“总利润=单个利润×月销售量”写出总利润的代数式，再分别将两位经理所说的上涨金额代入代数式计算，对比结果是否等于12000元，即可判断说法是否正确。
【解析】
(1)①涨价后每个台灯的售价为$(50+x)$元，进货价为40元，因此每个台灯的利润为：$(50+x)-40 = x+10$（元）。
②涨价x元后，月销售量减少$10x$个，因此平均每月的销售量为：$600-10x$（个）。
(2)由总利润公式可得，每月销售总利润为：$(x+10)(600-10x)$元。
验证经理甲的说法：当$x=30$时，代入得：
$(30+10)×(600-10×30)=40×300=12000$（元），符合利润要求。
验证经理乙的说法：当$x=20$时，代入得：
$(20+10)×(600-10×20)=30×400=12000$（元），也符合利润要求。
因此两位经理的说法都正确。
【答案】
(1)①$(x+10)$；②$(600-10x)$
(2)两位经理的说法都正确，他们的方案所得利润都等于12000元。
【知识点】
列代数式；代数式求值；销售利润问题
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查代数式的实际应用，解题核心是找准题目中的数量关系，正确列出对应代数式，再通过代入计算验证结论，难度较低，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
13. 核心素养·运算能力 「2026安徽宿州三中月考」定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.解答定义新运算题时,关键是要正确地理解新定义运算的算式含义,然后严格按照新定义运算的计算程序,将数值代入,转化为常规的四则运算算式进行计算.
定义一种新运算:$a\otimes b=\boldsymbol{□}$,定义的内容被遮盖住了,观察下列各式,并解答问题:
$2\otimes 3=3-2× 2=-1$;
$4\otimes (-1)=(-1)-2× 4=-9$;
$(-3)\otimes 5=5-2× (-3)=11$;
$(-8)\otimes (-4)=(-4)-2× (-8)=12$.
(1)补全定义内容:$a\otimes b=$
(2)判断新定义的运算“$\otimes$”是否满足交换律(即$a\otimes b=b\otimes a$是否成立),并说明理由.
(3)按照(1)中定义的新运算,用代数式表示出$d\otimes (m\otimes n)$,并求出当$d=-\dfrac{7}{2},m=2,n=5$时代数式的值.
定义一种新运算:$a\otimes b=\boldsymbol{□}$,定义的内容被遮盖住了,观察下列各式,并解答问题:
$2\otimes 3=3-2× 2=-1$;
$4\otimes (-1)=(-1)-2× 4=-9$;
$(-3)\otimes 5=5-2× (-3)=11$;
$(-8)\otimes (-4)=(-4)-2× (-8)=12$.
(1)补全定义内容:$a\otimes b=$
$b-2a$
(用含$a,b$的代数式表示).(2)判断新定义的运算“$\otimes$”是否满足交换律(即$a\otimes b=b\otimes a$是否成立),并说明理由.
(3)按照(1)中定义的新运算,用代数式表示出$d\otimes (m\otimes n)$,并求出当$d=-\dfrac{7}{2},m=2,n=5$时代数式的值.
答案
(1)$b-2a$.
(2)当$a=b$时,新定义的运算“$\otimes$”满足交换律,当$a≠b$时,新定义的运算“$\otimes$”不满足交换律.
理由:由(1)可知$a\otimes b=b-2a$,所以$b\otimes a=a-2b$,所以当$a=b$时,$a\otimes b=b\otimes a$,当$a≠b$时,$a\otimes b≠b\otimes a$,
所以当$a=b$时,新定义的运算“$\otimes$”满足交换律,当$a≠b$时,新定义的运算“$\otimes$”不满足交换律.
(3)$d\otimes (m\otimes n)=d\otimes (n-2m)=n-2m-2d$.
当$d=-\frac{7}{2},m=2,n=5$时,
$n-2m-2d=5-2×2-2×(-\frac{7}{2})=1-2×(-\frac{7}{2})=8.$
(2)当$a=b$时,新定义的运算“$\otimes$”满足交换律,当$a≠b$时,新定义的运算“$\otimes$”不满足交换律.
理由:由(1)可知$a\otimes b=b-2a$,所以$b\otimes a=a-2b$,所以当$a=b$时,$a\otimes b=b\otimes a$,当$a≠b$时,$a\otimes b≠b\otimes a$,
所以当$a=b$时,新定义的运算“$\otimes$”满足交换律,当$a≠b$时,新定义的运算“$\otimes$”不满足交换律.
(3)$d\otimes (m\otimes n)=d\otimes (n-2m)=n-2m-2d$.
当$d=-\frac{7}{2},m=2,n=5$时,
$n-2m-2d=5-2×2-2×(-\frac{7}{2})=1-2×(-\frac{7}{2})=8.$
解析
【分析】
（1）观察给出的四个新运算示例，对比等号左右两边的数值：左边⊗符号前的数为a，后的数为b，等号右侧均为b减去2倍的a，验证所有示例均符合该规律，即可补全定义。
（2）判断是否满足交换律，需先根据新定义分别写出$a\otimes b$和$b\otimes a$的表达式，对比两个代数式是否恒等，若不恒等则分情况说明相等的条件即可。
（3）嵌套新运算需按照运算顺序，先计算括号内的$m\otimes n$，将其结果作为新运算的第二个运算对象，和d进行新运算，转化为常规代数式后，代入给定数值计算即可，注意代入负数时符号处理。
【解析】
(1) 观察各式：
$2\otimes3=3-2×2$，其中$a=2,b=3$，结果为$b-2a$；
$4\otimes(-1)=(-1)-2×4$，其中$a=4,b=-1$，结果为$b-2a$；
剩余两式均符合该规律，故$a\otimes b=b-2a$。
(2) 新定义运算不恒满足交换律，理由如下：
由新定义得$a\otimes b=b-2a$，$b\otimes a=a-2b$，
令$b-2a=a-2b$，移项整理得$3b=3a$，即$a=b$，
因此当$a=b$时，$a\otimes b=b\otimes a$，满足交换律；当$a≠ b$时，$a\otimes b≠ b\otimes a$，不满足交换律。
(3) 先计算括号内的运算：
$m\otimes n=n-2m$，
因此$d\otimes(m\otimes n)=d\otimes(n-2m)$，将此处的$a=d$，$b=n-2m$代入新定义得：
$d\otimes(n-2m)=(n-2m)-2d=n-2m-2d$。
代入$d=-\dfrac{7}{2},m=2,n=5$：
$n-2m-2d=5-2×2-2×(-\dfrac{7}{2})=5-4+7=8$。
【答案】
(1)$b-2a$
(2)当$a=b$时新定义运算满足交换律，当$a≠b$时不满足交换律，理由见解析
(3)化简结果为$n-2m-2d$，代入求值结果为$8$
【知识点】
定义新运算，代数式求值，运算律判定
【点评】
本题以新运算定义为背景，考查观察归纳能力与代数运算能力，解题核心是准确提炼新运算的规则，将新运算转化为熟悉的四则运算求解，嵌套运算需注意先算括号内部分，代入数值时要注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.7
（1）观察给出的四个新运算示例，对比等号左右两边的数值：左边⊗符号前的数为a，后的数为b，等号右侧均为b减去2倍的a，验证所有示例均符合该规律，即可补全定义。
（2）判断是否满足交换律，需先根据新定义分别写出$a\otimes b$和$b\otimes a$的表达式，对比两个代数式是否恒等，若不恒等则分情况说明相等的条件即可。
（3）嵌套新运算需按照运算顺序，先计算括号内的$m\otimes n$，将其结果作为新运算的第二个运算对象，和d进行新运算，转化为常规代数式后，代入给定数值计算即可，注意代入负数时符号处理。
【解析】
(1) 观察各式：
$2\otimes3=3-2×2$，其中$a=2,b=3$，结果为$b-2a$；
$4\otimes(-1)=(-1)-2×4$，其中$a=4,b=-1$，结果为$b-2a$；
剩余两式均符合该规律，故$a\otimes b=b-2a$。
(2) 新定义运算不恒满足交换律，理由如下：
由新定义得$a\otimes b=b-2a$，$b\otimes a=a-2b$，
令$b-2a=a-2b$，移项整理得$3b=3a$，即$a=b$，
因此当$a=b$时，$a\otimes b=b\otimes a$，满足交换律；当$a≠ b$时，$a\otimes b≠ b\otimes a$，不满足交换律。
(3) 先计算括号内的运算：
$m\otimes n=n-2m$，
因此$d\otimes(m\otimes n)=d\otimes(n-2m)$，将此处的$a=d$，$b=n-2m$代入新定义得：
$d\otimes(n-2m)=(n-2m)-2d=n-2m-2d$。
代入$d=-\dfrac{7}{2},m=2,n=5$：
$n-2m-2d=5-2×2-2×(-\dfrac{7}{2})=5-4+7=8$。
【答案】
(1)$b-2a$
(2)当$a=b$时新定义运算满足交换律，当$a≠b$时不满足交换律，理由见解析
(3)化简结果为$n-2m-2d$，代入求值结果为$8$
【知识点】
定义新运算，代数式求值，运算律判定
【点评】
本题以新运算定义为背景，考查观察归纳能力与代数运算能力，解题核心是准确提炼新运算的规则，将新运算转化为熟悉的四则运算求解，嵌套运算需注意先算括号内部分，代入数值时要注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.7
