1. 母题 教材P52习题T1 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,若DE=5,则DF的值是 ()

A.2.5
B.10
C.5
D.4

C

2. 如图,在直角坐标系的$x$轴负半轴和$y$轴正半轴上分别截取$OA$,$OB$,使$OA=OB$,再分别以点$A$,$B$为圆心,以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧交于第二象限的点$N$,若点$N$的坐标为$(2-n,2n-6)$,则$n$的值是（）

A.$2$
B.$\frac{8}{3}$
C.$3$
D.$4$

D

3. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）

A.8
B.7.5
C.15
D.无法确定

B

4. 如图，BM是∠ABC的平分线，点Q，D分别在BA，BM上，点P为直线BC上的一个动点，如果BQ=6，△BDQ的面积为9，那么线段DP的长不可能是 （）

A.2
B.3
C.4
D.5.5

A
【点拨】如图,过点$D$作$DE⊥AB$于点$E$,$DF⊥BC$于点$F$,$\because BQ=6$,$△ BDQ$的面积为$9$,$\therefore \dfrac{1}{2}BQ· DE=\dfrac{1}{2}×6DE=9$,$\therefore DE=3$.$\because BM$是$∠ABC$的平分线,$\therefore DF=DE=3$,$\therefore DP≥ 3$,$\therefore$线段$DP$的长不可能是$2$.

5. 情境题 生活应用 如图①，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图②是其侧面结构示意图。现量得托板长$AB=16\ \mathrm{cm}$，支撑板顶端$C$恰好是托板$AB$的中点，托板$AB$可绕点$C$转动，支撑板$CD$可绕点$D$转动。当$CD⊥ AB$，且射线$DB$恰好是$∠ CDE$的平分线时，此时点$B$到直线$DE$的距离是（）

A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$8\ \mathrm{cm}$

（第5题）（第6题）

D
【点拨】过点$B$作$BF⊥DE$,垂足为$F$,$\because C$是$AB$的中点,$AB=16\ \mathrm{cm}$,$\therefore BC=\dfrac{1}{2}AB=8\ \mathrm{cm}$.$\because CD⊥AB$,$BF⊥DE$,射线$DB$是$∠CDE$的平分线,$\therefore BF=BC=8\ \mathrm{cm}$,即此时点$B$到直线$DE$的距离是$8\ \mathrm{cm}$.

6.[2025厦门期中]如图，AE，BD是$△ ABC$的角平分线，AE，BD交于点O，$OF⊥ AB$，$∠ C=60°$，以下结论错误的是（）

A.$∠ AOB=120°$
B.$OD=OE$
C.$AD+BE=AB$
D.若$△ ABC$的周长为$m$，$OF=n$，则$S_{△ ABC}=mn$

D
【点拨】$\because ∠C=60°$,$\therefore ∠CAB+∠CBA=180°-∠A=120°$.$\because AE,BD$是$△ ABC$的角平分线,$\therefore ∠OAB=∠OAC=\dfrac{1}{2}∠CAB$,$∠OBA=∠OBC=\dfrac{1}{2}∠CBA$,$\therefore ∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-\dfrac{1}{2}(∠CAB+∠CBA)=120°$,故A选项正确;如图,在$AB$上截取$AM=AD$,连接$OM$,在$△ AOD$和$△ AOM$中,$\begin{cases}AD=AM,\\∠OAD=∠OAM,\\OA=OA,\end{cases}$ $\therefore △ AOD≌△ AOM$,$\therefore OM=OD$,$∠AOM=∠AOD=180°-∠AOB=60°$,$\therefore ∠BOM=∠BOE=60°$. 在$△ BOE$和$△ BOM$中,$\begin{cases}∠BOM=∠BOE,\\OB=OB,\\∠OBM=∠OBE,\end{cases}$ $\therefore △ BOE≌△ BOM$,$\therefore OM=OE$,$BE=BM$,$\therefore OD=OE$,$AB=AM+BM=AD+BE$,故B选项和C选项正确;如图,连接$OC$,过点$O$作$OG⊥AC$于点$G$,$OH⊥BC$于点$H$,则$OF=OG=OH$.$\because △ ABC$的周长为$m$,$\therefore AB+AC+BC=m$.又$\because OF=n$,$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}+S_{△ AOB}$,$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· OF+\dfrac{1}{2}BC· OH+\dfrac{1}{2}AC· OG=\dfrac{1}{2}(AB+AC+BC)· OF=\dfrac{1}{2}mn$,故D选项错误.

7. 如图，$DE⊥AB$于点$E$，$DF⊥BC$于点$F$，且$DE=DF$，若$∠DBC=50°$，则$∠ABC=$°。

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8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以小于AC长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,在$∠ BAC$内两弧交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则CD的长为.

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