9. [2025武汉武昌区月考] 如图，在$△ ABC$中，AD是$∠ BAC$的平分线，延长AD至E，使$AD=DE$，连接BE，$△ BDE$的面积为10，$△ ABC$的面积是13，则$\frac{AB}{AC}$的值为.

$\dfrac{10}{3}$
【点拨】如图,过点$D$作$DG⊥AC$交$AC$的延长线于点$G$,作$DH⊥AB$于点$H$,$\because AD=DE$,$△ BDE$的面积为$10$,$\therefore S_{△ BDE}=S_{△ ABD}=10$,$\therefore \dfrac{1}{2}AB· DH=10$.$\because △ ABC$的面积是$13$,$\therefore △ ACD$的面积是$\dfrac{1}{2}AC· DG=13-10=3$.$\because AD$是$∠BAC$的平分线,$DH⊥AB$,$DG⊥AC$,$\therefore DH=DG$,$\therefore \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB· DH}{\dfrac{1}{2}AC· DG}=\dfrac{10}{3}$.

10. 如图，∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=11，AC=5，则BE的长为.

3
【点拨】如图,连接$CD$,$BD$,$\because AD$平分$∠BAE$,$DE⊥AB$,$DF⊥AC$,$\therefore DE=DF$. 在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$\begin{cases}AD=AD,\\DF=DE,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ADF≌ \mathrm{Rt}△ ADE\ (\mathrm{HL})$,$\therefore AE=AF$.$\because DG$垂直平分$BC$,$\therefore$ 易证得$△ CDG≌△ BDG$,$\therefore CD=BD$. 在$\mathrm{Rt}△ CDF$和$\mathrm{Rt}△ BDE$中,$\begin{cases}CD=BD,\\DF=DE,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ CDF≌\mathrm{Rt}△ BDE(\mathrm{HL})$,$\therefore BE=CF$.$\therefore AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE$.$\because AB=11$,$AC=5$,$\therefore BE=3$.

三、解答题（共40分）
11.（10分）/情境题 生活应用/如图所示，为促进全民健身活动开展，某镇计划在张村与李村之间建一个娱乐健身场所.张村、李村坐落在两条相交的公路内，健身场所到两条公路的距离相等，并且到两村的距离之和最短，请你通过作图确定健身场所的位置.

【解】如图,连接$EF$,作$∠ACB$的平分线交$EF$于点$O$,则点$O$就是健身场所的位置.

12.(14分)如图,在$△ ABC$中,已知$∠ C=90°$,AD平分$∠ BAC$交BC于点D,$DE⊥ AB$于点E,点F在AC上,且$BD=DF$.
(1)求证:$\mathrm{Rt}△ FCD≌\mathrm{Rt}△ BED$;
(2)请判断$AE$,$AF$与$BE$之间的数量关系,并说明理由.

(1)【证明】$\because AD$平分$∠BAC$,$DE⊥AB$,$∠C=90°$,$\therefore DC=DE$.
在$\mathrm{Rt}△ FCD$和$\mathrm{Rt}△ BED$中,$\begin{cases}DC=DE,\\DF=DB,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ FCD≌\mathrm{Rt}△ BED(\mathrm{HL}).$
(2)【解】$AE=AF+BE$. 理由如下:
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中,$\begin{cases}DC=DE,\\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL})$,$\therefore AC=AE$.
由(1)可得$\mathrm{Rt}△ FCD≌\mathrm{Rt}△ BED$,$\therefore CF=BE$.
$\because AC=AF+CF$,$\therefore AE=AF+BE$.

13.（16分）2025·南京玄武区期中 新考法·逆向思维法 【问题提出】
如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠ADC的平分线相交于点O.
求证：①点O在∠BCD的平分线上.
②AB+CD=AD+BC.
【逆向思考】
满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？
（2）如图②，在四边形ABCD中，如果AB+CD=AD+BC，那么它的四条角平分线交于一点吗？请说明理由.

(1)【证明】① 如图①,过点$O$作$OE⊥AB$,$OF⊥BC$,$OG⊥CD$,$OH⊥AD$,垂足分别为$E,F,G,H$.
$\because AO$平分$∠BAD$,$\therefore OE=OH$.
同理$OE=OF$,$OH=OG$.
$\therefore OF=OG$.
$\therefore$ 点$O$在$∠BCD$的平分线上.
② 在$\mathrm{Rt}△ OAE$和$\mathrm{Rt}△ OAH$中,$\begin{cases}OE=OH,\\OA=OA,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAE≌\mathrm{Rt}△ OAH$,$\therefore AE=AH$.
同理$BE=BF$,$CF=CG$,$DH=DG$,
$\therefore AD+BC=AH+HD+BF+FC=AE+DG+BE+GC=AB+CD$.

(2)【解】在四边形$ABCD$中,如果$AB+CD=AD+BC$,那么它的四条角平分线交于一点.理由如下:如图②,作$∠BAD$和$∠ADC$的平分线,两条角平分线交于点$O$.过点$O$作$OE⊥AB$,$OF⊥AD$,$OG⊥CD$,垂足分别为$E,F,G$,则$OE=OF=OG$,
同理(1)②可得$AE=AF$,$DF=DG$.
$\because AB+CD=AD+BC$,
$\therefore AE+BE+DG+GC=AF+DF+BC$.
$\therefore BE+CG=BC$.
如图③,将五边形$EBCGO$抽离出来,延长$BE$至点$C'$,使$EC'=GC$,连接$OB$,$OC'$,$OC$.
则$BC'=BE+EC'=BE+GC=BC$.
$\because EC'=GC$,$∠OEC'=∠OGC=90°$,$OE=OG$,
$\therefore △ OEC'≌△ OGC$.
$\therefore OC'=OC$,$∠OC'E=∠OCG$.
又$\because OB=OB$,$\therefore △ OBC'≌△ OBC$.
$\therefore ∠OBC'=∠OBC$,$∠OCB=∠OC'E=∠OCG$.
$\therefore BO$平分$∠C'BC$,$CO$平分$∠BCG$.
$\therefore$ 在四边形$ABCD$中,如果$AB+CD=AD+BC$,那么它的四条角平分线交于一点.