登录
1.[2025无锡期中]如图，$△ ABC ≌ △ A'BC'$，过点C作$CD ⊥ BC'$，垂足为D，若$∠ ABA' = 65°$，则$∠ BCD$的度数是（
A.$25°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$15°$
A
）A.$25°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$15°$
答案
∵△ABC≌△A'BC',
∴∠ABC=∠A'BC',
∴∠ABA'+∠A'BC=∠A'BC+∠CBC',
∴∠CBC'=∠ABA'=65°.
∵CD⊥BC',
∴∠BDC=90°,
∴∠BCD=90°−∠CBD=90°−65°=25°.
2.如图,点A的坐标为$(-2,0)$,点B的坐标为$(0,4)$,若在$y$轴右侧有一点$C$使得$△ BOC$与$△ BOA$全等,则点$C$的坐标为
(2,0)或(2,4)
.答案
∵点A的坐标为(−2,0),点B的坐标为(0,4),
∴OA=2,OB=4.由题易知,存在两种情况:如图①,若△BOC≌△BOA,则OC=OA=2,
∴点C的坐标为(2,0);如图②,若△OBC≌△BOA,则∠OBC=∠AOB=90°,BC=OA=2,
∴点C的坐标为(2,4).综上所述,点C的坐标是(2,0)或(2,4).
3. 如图，已知$△ ABC$，小慧同学利用尺规作出$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$全等，根据作图痕迹请判断小慧同学的全等判定依据是（
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.ASA
B
）A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.ASA
答案
B
4. 如图，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$AD⊥ CE$，$BE⊥ CE$，垂足分别为$D$，$E$。求证：$△ CEB≌△ ADC$。
答案
【证明】
∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠CEB=∠ADC=90°.
∴∠DCA+∠DAC=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠DCA+∠ECB=90°.
∴∠ECB=∠DAC.
又
∵AC=BC,
∴△CEB≌△ADC(AAS).
∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠CEB=∠ADC=90°.
∴∠DCA+∠DAC=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠DCA+∠ECB=90°.
∴∠ECB=∠DAC.
又
∵AC=BC,
∴△CEB≌△ADC(AAS).
5.如图,点A,C,B,D在同一条直线上,BE//DF,∠A=∠F,AB=FD.若∠FCD=30°,∠A=80°,则∠DBE的度数为 (
A.$110°$
B.$100°$
C.$80°$
D.$70°$
A
)A.$110°$
B.$100°$
C.$80°$
D.$70°$
答案
∵BE//DF,
∴∠D=∠EBA.在△BAE和△DFC中,
$\begin{cases}∠A=∠F,\\AB=FD,\\∠EBA=∠D,\end{cases}$
∴△BAE≌△DFC(ASA),
∴∠E=∠FCD=30°,
∴∠DBE=∠A+∠E=110°.
6.如图，AB//CD，BC//AD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是（
A.4
B.5
C.6
D.7
C
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
∵AB//CD,BC//AD,
∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD.
∵BD = DB,
∴△ABD≌△CDB(ASA);
∵△ABD≌△CDB,
∴AD = BC,AB = CD.
∵∠ABE=∠CDF,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
∵△ABE≌△CDF,
∴AE=CF.
∵BE=DF,
∴BE+EF=DF+EF,
∴BF=DE.又
∵AD=CB,
∴△ADE≌△CBF(SSS);
∵AB=CD,∠ABF=∠CDE,BF=DE,
∴△ABF≌△CDE(SAS);
∵AF=CE,AD=CB,DF=BE,
∴△ADF≌△CBE(SSS);
∵AE=CF,EF=FE,AF=CE,
∴△AEF≌△CFE(SSS),
∴图中共有6对全等三角形.
7. [2025大连期中] 如图，在$△ ABC$中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点G，交AC于点H；再分别以点G，H为圆心，大于$\frac{1}{2}GH$的长为半径作弧，两弧交于点O；连接AO并延长交BC于点D. 点P是AD上的一点，过点P分别作$PE // AB$，$PF // AC$，分别交BC于点E，F，过点D作$DM ⊥ AB$于点M，$DN ⊥ AC$于点N，交PE于点K，PF于点L. 下列线段的数量关系正确的是 （
A.$DE=DF$
B.$PE=PF$
C.$DM=2DL$
D.$MK=NL$
D
）A.$DE=DF$
B.$PE=PF$
C.$DM=2DL$
D.$MK=NL$
答案
根据作图可知AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN.
∵PE//AB,PF//AC,
∴∠EPD=∠BAD,∠FPD=∠CAD,
∴∠EPD=∠FPD.
∵PE//AB,DM⊥AB,
∴DM⊥PE.同理DN⊥PF,
∴DK=DL,
∴DM−DK=DN−DL,即MK=NL,故选项D正确;当L为DN中点时,DM=DN=2DL,故选项C错误;无法证明DE=DF,PE=PF,故选项A,B错误,故选D.
∴∠BAD=∠CAD.
∵DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN.
∵PE//AB,PF//AC,
∴∠EPD=∠BAD,∠FPD=∠CAD,
∴∠EPD=∠FPD.
∵PE//AB,DM⊥AB,
∴DM⊥PE.同理DN⊥PF,
∴DK=DL,
∴DM−DK=DN−DL,即MK=NL,故选项D正确;当L为DN中点时,DM=DN=2DL,故选项C错误;无法证明DE=DF,PE=PF,故选项A,B错误,故选D.
8. 如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=8$，$E$为$BC$中点，$AD$为$△ ABC$的角平分线，$△ ABC$的面积记为$S_1$，$△ ADE$的面积记为$S_2$，则$\frac{S_1}{S_2}$为（
A.$13$
B.$\frac{26}{3}$
C.$\frac{8}{3}$
D.$\frac{13}{2}$
B
）A.$13$
B.$\frac{26}{3}$
C.$\frac{8}{3}$
D.$\frac{13}{2}$
答案
过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,
∵AD为△ABC的角平分线,
∴DM=DN.
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DM$,$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DN$,
∴$S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC=5:8$,
∴$S_{△ABD}=\frac{5}{13}S_{△ABC}=\frac{5}{13}S_1$.
∵E是BC中点,
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}S_1$,
∴$S_2=S_{△ABE}-S_{△ABD}=\frac{3}{26}S_1$,
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{26}{3}$.
