9.如图,有一块三角形空地,若想在该空地中找到一个点,使这个点到三边的距离相等,试找出该点.(保留画图痕迹,不写作法)

如图,点P即为所求点.

10. [2025芜湖期中]在$△ ABC$中，$∠ BAC=120°$，$BE,CF$是$△ ABC$的角平分线，它们相交于点$I$.
(1)如图①，连接$AI$，求证：点$I$在$∠ BAC$的平分线上；
(2)如图②，延长$AI$交$BC$于点$D$，过点$F$作$FT⊥ BC$于点$T$，$FL⊥ AD$于点$L$.求证：$FT=FL$.

(1)如图①,过点I作AB,AC,BC的垂线段,垂足分别为M,N,K,
∵BE,CF是△ABC的角平分线,
∴IK=IM,IK=IN,
∴IN=IM,
∴点I在∠BAC的角平分线上.
(2)如图②,过点F作FG⊥CA交CA的延长线于点G,
∵CF是△ABC的角平分线,FT⊥BC,
∴FT=FG.
∵∠BAC=120°,
∴∠GAF=180°−∠BAC=60°.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°,
∴∠BAD=∠GAF,
∴AF是∠GAL的平分线,
∴FL=FG,
∴FT=FL.

11. 新考法 项目式学习 如图，课外拓展活动上，老师带领社团成员在不涉水的情况下测量校内一条小河的宽度（该段河流两岸互相平行），具体操作过程如表：

请根据上述过程，解答下列问题：
(1)河流AB的宽度为 m；
(2)请你根据所学知识，解释该做法的合理性。

(1)7.5
(2)由操作过程知AB⊥BD,CD⊥BD,BO=DO,
∴∠ABO=∠CDO=90°.
在△ABO和△CDO中,$\begin{cases}∠ABO=∠CDO,\\BO=DO,\\∠AOB=∠COD,\end{cases}$
∴△ABO≌△CDO(ASA),
∴AB=CD=7.5 m.

12. 如图，$△ ABC$中，$∠ ACB=90°,AC=6,BC=8.$点$P$从点$A$出发沿$A-C-B$路径向终点$B$运动；点$Q$从点$B$出发沿$B-C-A$路径向终点$A$运动.点$P$和$Q$分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过$P$和$Q$作$PE⊥ l$于点$E,QF⊥ l$于点$F$.问：点$P$运动多少时间时，$△ PEC$与$△ QFC$全等？

设运动时间为t s.由题意易得当△PEC与△QFC全等时,斜边CP=CQ.
有三种情况:①点P在AC上,点Q在BC上,此时CP=6−t,CQ=8−3t,
∴6−t=8−3t.
∴t=1;
②点P,Q都在AC上,易知此时点P,Q重合,CP=6−t,CQ=3t−8,
∴6−t=3t−8.
∴t=3.5;
③点Q在AC上,点P在BC上.
∵点P运动到点C需要6÷1=6(s),点Q运动到点A需要$\frac{6+8}{3}=\frac{14}{3}$(s).$\frac{14}{3}＜6$,
∴点P在BC上时,点Q与点A重合.
故此时CQ=6,CP=t−6.
∴6=t−6.
∴t=12.
综上,点P运动1 s或3.5 s或12 s时,△PEC与△QFC全等.