登录
8. 如图,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴交于$A,B$两点,其中$A(-1,0)$,$C(0,5)$,$D(1,8)$在抛物线上,$M$为抛物线的顶点.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 求$△ MCB$的面积.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 求$△ MCB$的面积.
答案
8. (1) 设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$,根据题意,得$\begin{cases} a-b+c=0,\\ c=5,\\ a+b+c=8, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-1,\\ b=4,\\ c=5. \end{cases}$ $\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$.
(2) $\because$点$C$的坐标为$(0,5)$,$\therefore OC=5$. 令$y=0$,得$-x^2+4x+5=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=5$,$\therefore$点$B$的坐标为$(5,0)$,$\therefore OB=5$. $\because y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$,$\therefore$顶点$M$的坐标为$(2,9)$. 过点$M$作$MN⊥ AB$于点$N$,则$ON=2$,$MN=9$,$\therefore S_{△ MCB}=S_{梯形OCMN}+S_{△ BMN}-S_{△ OBC}=\frac{1}{2}×(5+9)×2+\frac{1}{2}×9×(5-2)-\frac{1}{2}×5×5=15$.
(2) $\because$点$C$的坐标为$(0,5)$,$\therefore OC=5$. 令$y=0$,得$-x^2+4x+5=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=5$,$\therefore$点$B$的坐标为$(5,0)$,$\therefore OB=5$. $\because y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$,$\therefore$顶点$M$的坐标为$(2,9)$. 过点$M$作$MN⊥ AB$于点$N$,则$ON=2$,$MN=9$,$\therefore S_{△ MCB}=S_{梯形OCMN}+S_{△ BMN}-S_{△ OBC}=\frac{1}{2}×(5+9)×2+\frac{1}{2}×9×(5-2)-\frac{1}{2}×5×5=15$.
9. 如图，对称轴为直线$x=-1$的抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为$(-3,0)$。
(1) 求点B的坐标；
(2) 已知$a=1$，C为抛物线与y轴的交点。
① 若点P在抛物线上，且$S_{△ POC}=4S_{△ BOC}$，求点P的坐标；
② 设点Q是线段AC上的动点，作$QD⊥x$轴，交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
(1) 求点B的坐标；
(2) 已知$a=1$，C为抛物线与y轴的交点。
① 若点P在抛物线上，且$S_{△ POC}=4S_{△ BOC}$，求点P的坐标；
② 设点Q是线段AC上的动点，作$QD⊥x$轴，交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
答案
9. (1) $\because$点$A(-3,0)$与点$B$关于直线$x=-1$对称,$\therefore$点$B$的坐标为$(1,0)$.
(2) $\because a=1$,$\therefore y=x^2+bx+c$. $\because$抛物线过点$A(-3,0)$,且对称轴为直线$x=-1$,$\therefore\begin{cases} 0=9-3b+c,\\ -\frac{b}{2}=-1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b=2,\\ c=-3. \end{cases}$ $\therefore y=x^2+2x-3$,且点$C$的坐标为$(0,-3)$.
① 设点$P$的坐标为$(x,y)$. 根据题意,得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$,$\therefore S_{△ POC}=4S_{△ BOC}=6$. 当$x＞0$时,有$\frac{1}{2}×3× x=6$,$\therefore x=4$. $\therefore y=4^2+2×4-3=21$. 当$x＜0$时,有$\frac{1}{2}×3×(-x)=6$,$\therefore x=-4$. $\therefore y=(-4)^2+2×(-4)-3=5$. $\therefore$点$P$的坐标为$(4,21)$或$(-4,5)$.
② 设直线$AC$的解析式为$y=mx+n$. $\because$直线$AC$过$A$,$C$两点,$\therefore\begin{cases} -3m+n=0,\\ n=-3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-1,\\ n=-3. \end{cases}$ $\therefore y=-x-3$. 设点$Q$的坐标为$(p,q)$,$\because$点$Q$在线段$AC$上,$\therefore -3≤ p≤0$. $\therefore QD=-p-3-(p^2+2p-3)=-p^2-3p=-(p+\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$. $\because -3＜-\frac{3}{2}＜0$,$\therefore$当$p=-\frac{3}{2}$时,$QD$有最大值$\frac{9}{4}$. $\therefore$线段$QD$长度的最大值为$\frac{9}{4}$.
(2) $\because a=1$,$\therefore y=x^2+bx+c$. $\because$抛物线过点$A(-3,0)$,且对称轴为直线$x=-1$,$\therefore\begin{cases} 0=9-3b+c,\\ -\frac{b}{2}=-1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b=2,\\ c=-3. \end{cases}$ $\therefore y=x^2+2x-3$,且点$C$的坐标为$(0,-3)$.
① 设点$P$的坐标为$(x,y)$. 根据题意,得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$,$\therefore S_{△ POC}=4S_{△ BOC}=6$. 当$x＞0$时,有$\frac{1}{2}×3× x=6$,$\therefore x=4$. $\therefore y=4^2+2×4-3=21$. 当$x＜0$时,有$\frac{1}{2}×3×(-x)=6$,$\therefore x=-4$. $\therefore y=(-4)^2+2×(-4)-3=5$. $\therefore$点$P$的坐标为$(4,21)$或$(-4,5)$.
② 设直线$AC$的解析式为$y=mx+n$. $\because$直线$AC$过$A$,$C$两点,$\therefore\begin{cases} -3m+n=0,\\ n=-3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-1,\\ n=-3. \end{cases}$ $\therefore y=-x-3$. 设点$Q$的坐标为$(p,q)$,$\because$点$Q$在线段$AC$上,$\therefore -3≤ p≤0$. $\therefore QD=-p-3-(p^2+2p-3)=-p^2-3p=-(p+\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$. $\because -3＜-\frac{3}{2}＜0$,$\therefore$当$p=-\frac{3}{2}$时,$QD$有最大值$\frac{9}{4}$. $\therefore$线段$QD$长度的最大值为$\frac{9}{4}$.
