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8 如图,在△AOB 中,AO=1,BO=AB=$\frac{3}{2}$,将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°得到△A'OB',连接 AA',则线段 AA'的长为 (
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
B
)A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
答案
8. B
9 如图,在边长为2的正方形ABCD中,若将AB绕点A按逆时针方向旋转$60°$,使点B落在点$B'$的位置,连接$BB'$,过点D作$DE⊥ BB'$,交$BB'$的延长线于点E,则$B'E$的长为 (
A.$\sqrt{3}-1$
B.$2\sqrt{3}-2$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
D.$\frac{4}{3}\sqrt{3}$
A
)A.$\sqrt{3}-1$
B.$2\sqrt{3}-2$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
D.$\frac{4}{3}\sqrt{3}$
答案
9. A
10 [2024 滨州]一副三角尺按如图①所示的方式摆放，把三角尺AOB绕公共顶点顺时针旋转至图②的位置，且AB//OD，则∠1的度数为
$75°$
。答案
10. $75°$
11 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ B=60°,BC=2$.将$△ ABC$绕点C按顺时针方向旋转得到$△ A'B'C$,连接$AB'$.如果点A,$B',A'$在同一条直线上,那么$AA'$的长为
$6$
.答案
11. 6
12 如图,将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,点B与点E对应,点E恰好落在边AD上,BH⊥CE于点H.
(1) 求证:AB=BH.
(2) 连接BG,交CH于点O.若AB=5,BC=13,求BG的长.
(1) 求证:AB=BH.
(2) 连接BG,交CH于点O.若AB=5,BC=13,求BG的长.
答案
12. (1) $\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore ∠ ADC=90°$,$AD// BC$,$AB=CD$. $\therefore ∠ DEC=∠ BCH$. $\because ∠ ADC=90°$,$BH⊥ CE$,$\therefore ∠ ADC=∠ BHC=90°$. 由旋转的性质,知$CE=CB$. 在$△ EDC$ 和$△ CHB$ 中,
$\begin{cases}∠ DEC=∠ HCB,\\∠ EDC=∠ CHB,\\EC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ EDC≌△ CHB$.
$\therefore CD=BH$. $\therefore AB=BH$
(2) 易得$AB=BH=CG$. 在矩形FECG中,$∠ ECG=90°$. $\therefore ∠ OHB=∠ OCG=90°$. 在$△ HBO$ 和 $△ CGO$ 中,
$\begin{cases}∠ OHB=∠ OCG,\\∠ HOB=∠ COG,\\HB=CG,\end{cases}$
$\therefore △ HBO ≌ △ CGO$.
$\therefore OH=OC$,$OB=OG$. 在$\mathrm{Rt}△ BCH$ 中,$BH=AB=5$,$BC=13$,由勾股定理,得$CH=\sqrt{13^2-5^2}=12$. $\therefore OH=\frac{1}{2}CH=6$. 在$\mathrm{Rt}△ OHB$ 中,由勾股定理,得 $OB=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$. $\therefore BG=2OB=2\sqrt{61}$
$\begin{cases}∠ DEC=∠ HCB,\\∠ EDC=∠ CHB,\\EC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ EDC≌△ CHB$.
$\therefore CD=BH$. $\therefore AB=BH$
(2) 易得$AB=BH=CG$. 在矩形FECG中,$∠ ECG=90°$. $\therefore ∠ OHB=∠ OCG=90°$. 在$△ HBO$ 和 $△ CGO$ 中,
$\begin{cases}∠ OHB=∠ OCG,\\∠ HOB=∠ COG,\\HB=CG,\end{cases}$
$\therefore △ HBO ≌ △ CGO$.
$\therefore OH=OC$,$OB=OG$. 在$\mathrm{Rt}△ BCH$ 中,$BH=AB=5$,$BC=13$,由勾股定理,得$CH=\sqrt{13^2-5^2}=12$. $\therefore OH=\frac{1}{2}CH=6$. 在$\mathrm{Rt}△ OHB$ 中,由勾股定理,得 $OB=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$. $\therefore BG=2OB=2\sqrt{61}$
13 如图,在正方形 ABCD 中,E,F 是对角线BD 上的两点,且$∠ EAF=45°$.将$△ ADF$绕点 A 按顺时针方向旋转$90°$,得到$△ ABQ$,连接 EQ.求证:
(1) EA 是$∠ QED$的平分线;
(2)$EF^2=BE^2+DF^2$.
(1) EA 是$∠ QED$的平分线;
(2)$EF^2=BE^2+DF^2$.
答案
13. (1) $\because$ 在正方形ABCD中,点E,F在对角线BD上,$\therefore ∠ ADF=45°$,$∠ BAD=90°$. $\because △ ADF$绕点A按顺时针方向旋转$90°$得到$△ ABQ$,$\therefore ∠ QAB=∠ FAD$,$BQ=DF$,$AQ=AF$,$∠ ABQ=∠ ADF=45°$. $\therefore ∠ QAF=∠ QAB+∠ BAF=∠ FAD + ∠ BAF = ∠ BAD = 90°$. $\because ∠ EAF = 45°$,$\therefore ∠ EAQ=45°$. $\therefore ∠ EAQ=∠ EAF$. 在$△ AQE$ 和$△ AFE$ 中,
$\begin{cases}AQ=AF,\\∠ EAQ=∠ EAF,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ AQE≌△ AFE$. $\therefore ∠ AEQ=∠ AEF$.
$\therefore EA$ 是$∠ QED$的平分线
(2) 由(1),得$△ AQE≌△ AFE$,$\therefore EQ=EF$. $\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore ∠ ABD=45°$. 又$\because ∠ ABQ=45°$,$\therefore ∠ QBE=90°$. $\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ QBE$ 中,$EQ^2=BE^2+BQ^2$. 又$\because BQ=DF$,$\therefore EF^2=BE^2+DF^2$
$\begin{cases}AQ=AF,\\∠ EAQ=∠ EAF,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ AQE≌△ AFE$. $\therefore ∠ AEQ=∠ AEF$.
$\therefore EA$ 是$∠ QED$的平分线
(2) 由(1),得$△ AQE≌△ AFE$,$\therefore EQ=EF$. $\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore ∠ ABD=45°$. 又$\because ∠ ABQ=45°$,$\therefore ∠ QBE=90°$. $\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ QBE$ 中,$EQ^2=BE^2+BQ^2$. 又$\because BQ=DF$,$\therefore EF^2=BE^2+DF^2$
