1 下列现象中,属于旋转的是 （）

A.摩托车在急刹车时向前滑动
B.电梯的上下运动
C.钟面上的时针运动的过程
D.飞机起飞后冲向空中的过程

1. C

【分析】
解题时首先要明确旋转、平移的核心特征：旋转的本质是物体绕着一个固定点或固定轴做圆周类转动，运动过程中物体的朝向会发生改变；平移的本质是物体沿直线运动，运动过程中物体整体朝向不发生改变。接下来逐一判断每个选项的运动类型，即可筛选出符合旋转要求的选项。
【解析】
首先明确旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形变换叫做旋转。
对各选项逐一分析：
A. 摩托车急刹车时向前滑动，是沿水平直线做运动，整体朝向不变，属于平移现象，不符合要求；
B. 电梯的上下运动，是沿竖直直线做运动，整体朝向不变，属于平移现象，不符合要求；
C. 钟面上的时针运动时，始终绕钟面的中心轴转动，符合旋转的定义，属于旋转现象，符合要求；
D. 飞机起飞后冲向空中的过程，是沿斜向上的直线做运动，整体朝向不变，属于平移现象，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的概念；平移与旋转的区分
【点评】
本题是基础概念应用题，主要考查对生活中常见的平移、旋转现象的辨别能力，掌握两类运动的核心特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2 如图，把菱形ABOC绕点O按顺时针方向旋转得到菱形DFOE，连接OA，OD，则下列各角中，不是旋转角的为（）

A.$∠ BOF$
B.$∠ AOD$
C.$∠ COE$
D.$∠ COF$

2. D

【分析】
要判断哪个角不是旋转角，首先回忆旋转角的定义：旋转角是旋转过程中，对应点与旋转中心所连线段的夹角。解题第一步先确定旋转中心为O，第二步找到旋转前后两个菱形的对应点：点A对应点D，点B对应点F，点C对应点E，第三步逐一判断选项中的角是不是对应点与O连线的夹角，即可得出答案。
【解析】
根据旋转的相关概念：旋转中心为点O，旋转角是一组对应点与旋转中心连线的夹角。
已知菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，因此三组对应点分别为：A与D，B与F，C与E。
对各选项逐一分析：
选项A：∠BOF是对应点B、F与旋转中心O的连线夹角，属于旋转角；
选项B：∠AOD是对应点A、D与旋转中心O的连线夹角，属于旋转角；
选项C：∠COE是对应点C、E与旋转中心O的连线夹角，属于旋转角；
选项D：点C的对应点是E不是F，∠COF不是对应点与O连线的夹角，不属于旋转角。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
旋转的概念，旋转角的识别，对应点的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是准确把握旋转角的定义，先锁定旋转中心，再找准对应点，即可快速判断出旋转角，避免因混淆对应点出错。
【难度系数】
0.8

3 教材变式题 如图，将$△ ABC$绕点A按逆时针方向旋转到$△ ADE$的位置，旋转角为$α$（$0°＜α＜180°$），点B的对应点D恰好落在边BC上。若$DE⊥ AC$，$∠ CAD=24°$，则旋转角$α$的度数为（）

A.$24°$
B.$28°$
C.$48°$
D.$66°$
（第3题）

3. C

【分析】
解题时首先结合旋转的性质梳理已知角和边的关系：①旋转前后对应边相等，可得$AB=AD$，即$△ ABD$为等腰三角形，$∠ B=∠ ADB$；②旋转前后对应角相等，可得$∠ C=∠ E$，旋转角$∠ BAD=∠ CAE=α$；③$DE⊥ AC$的条件可得到直角三角形中两个锐角互余，即$∠ E+∠ CAE=90°$，转化得$∠ C+α=90°$。接下来利用三角形外角性质，得到$∠ ADB=∠ C+∠ CAD$，即可将$∠ B$用含$∠ C$的式子表示，最后在$△ ABC$中利用内角和为$180°$建立方程，联立上述关系即可求解$α$的度数。
【解析】
设$AC$与$DE$的交点为$F$。
根据旋转的性质可得：
$AB=AD$，$∠ B=∠ ADE$，$∠ C=∠ E$，$∠ BAC=∠ DAE$，旋转角$∠ BAD=∠ CAE=α$。
$\because DE⊥ AC$，$\therefore ∠ AFE=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ AFE$中，$∠ E + ∠ CAE=90°$，代入$∠ E=∠ C$，$∠ CAE=α$得：
$∠ C + α=90°$ ①。
$\because AB=AD$，$\therefore ∠ B=∠ ADB$，
又$\because ∠ ADB$是$△ ADC$的外角，$∠ CAD=24°$，
$\therefore ∠ ADB=∠ C + ∠ CAD=∠ C +24°$，即$∠ B=∠ C +24°$。
在$△ ABC$中，内角和为$180°$，且$∠ BAC=∠ BAD + ∠ CAD=α +24°$，代入得：
$∠ B + ∠ C + ∠ BAC=180°$
$(∠ C +24°) + ∠ C + (α +24°)=180°$
整理得：$2∠ C + α=132°$ ②。
将①变形为$∠ C=90° - α$，代入②得：
$2(90° - α) + α=132°$
解得：$α=48°$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是旋转性质的综合应用题型，解题的核心是熟练掌握旋转前后边、角的对应关系，结合等腰三角形、三角形内角和与外角的性质建立角度间的等量关系，进而求解未知角度。
【难度系数】
0.7

4 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=132°$，将$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转得到$△ DEC$，点$A$，$B$的对应点分别为$D$，$E$，连接$AD$。当点$A$，$D$，$E$在同一条直线上时，$∠ BAD$的度数为。

4. $84°$

【分析】
解题思路如下：第一步，根据旋转的性质，得到对应边相等、对应角相等，即$AC=DC$，$∠ EDC=∠ BAC=132°$；第二步，由点$A$、$D$、$E$共线，利用平角的定义求出$∠ ADC$的度数；第三步，根据$AC=DC$可知$△ ACD$为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质求出$∠ CAD$的度数；第四步，用$∠ BAC$的度数减去$∠ CAD$的度数，即可得到$∠ BAD$的度数。
【解析】
解：$\because$将$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转得到$△ DEC$，
$\therefore AC = DC$，$∠ EDC = ∠ BAC = 132°$，
$\because$点$A$，$D$，$E$在同一条直线上，
$\therefore ∠ ADC + ∠ EDC = 180°$，
$\therefore ∠ ADC = 180° - 132° = 48°$，
又$\because AC = DC$，
$\therefore △ ACD$是等腰三角形，$∠ CAD = ∠ ADC = 48°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAC - ∠ CAD = 132° - 48° = 84°$。
【答案】
$84°$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；平角的定义
【点评】
本题是角度计算的基础题，解题核心是利用旋转的性质得到相等的边和角，再结合等腰三角形的性质推导所求角度，是旋转章节的典型考法。
【难度系数】
0.7

5 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$∠ ABC=30°$,$AC=1\ \mathrm{cm}$,将 $Rt△ ABC$ 绕点 A 按逆时针方向旋转得到 $Rt△ AB'C'$,使点 $C'$落在边 AB 上,连接 $BB'$,则 $BB'$的长是.

5. $2\ \mathrm{cm}$

【分析】
解题时先结合直角三角形的已知条件求出AB的长度和∠BAC的度数，再利用旋转的性质得到对应边、对应角的关系，判断出△ABB'的形状，最后根据特殊三角形的性质求出BB'的长度。第一步：在Rt△ABC中，根据30°角所对直角边是斜边一半的性质求AB，同时计算∠BAC的度数；第二步：根据旋转前后对应边相等、对应角相等，得到AB'=AB，∠B'AC'=∠BAC，由此判断△ABB'为等边三角形；第三步：根据等边三角形三边相等得到BB'的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=30°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-30°=60°$，$AB=2AC=2×1=2\ \mathrm{cm}$。
$\because Rt△ ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$Rt△ AB'C'$，
$\therefore AB'=AB$，$∠ B'AC'=∠ BAC=60°$，
$\therefore △ ABB'$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
$\therefore BB'=AB=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直角三角形30°角的性质；旋转的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于旋转相关的基础题型，解题核心是利用旋转的性质结合特殊三角形的判定与性质转化线段关系，只要掌握旋转的基本性质和特殊三角形的相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

6 如图,将一块直角三角尺ABC绕$30°$角的顶点B按顺时针方向旋转,使得点A与CB的延长线上的点E重合.
(1) 直角三角尺最少旋转了多少度?
(2) 连接CD,求$∠ BDC$的度数.

6. (1) $∠ ABE=180°-30°=150°$,即直角三角尺最少旋转了$150°$
(2) 由旋转的性质,知 $BC=BD$,$∠ EBD=∠ ABC=30°$,
$\therefore$ 易得$∠ BDC=\frac{1}{2}×30°=15°$

【分析】
(1) 解决第一问首先要明确旋转角的定义：旋转前后，对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角，最小旋转角就是小于等于180°的旋转角。本题旋转中心是点B，点A的对应点是E，因此∠ABE就是旋转角，结合平角为180°，减去已知的∠ABC=30°即可求出旋转角的度数。
(2) 解决第二问需要先利用旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，可得BC=BD，∠EBD=∠ABC=30°，由此可知△BCD是等腰三角形，先求出等腰三角形的顶角∠CBD的度数，再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，即可算出底角∠BDC的度数。
【解析】
(1) 由旋转的特征可知，点A的对应点为点E，旋转中心是点B，因此旋转角为∠ABE。
∵ 点C、B、E在同一直线上，∠ABC=30°，
∴ $∠ ABE = 180° - ∠ ABC = 180° - 30° = 150°$，即直角三角尺最少旋转了$150°$。
(2) 由旋转的性质可得：$BC=BD$，$∠ EBD=∠ ABC=30°$。
∴ $∠ CBD = 180° - ∠ EBD = 180° - 30° = 150°$，
∵ $BC=BD$，
∴ $△ BCD$为等腰三角形，$∠ BDC=∠ BCD$，
根据三角形内角和定理：$∠ BDC = \frac{1}{2}×(180° - ∠ CBD) = \frac{1}{2}×(180° - 150°) = 15°$。
【答案】
(1) $\boxed{150°}$；(2) $\boxed{15°}$
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是准确识别旋转角，灵活运用旋转前后图形对应边相等、对应角相等的性质转化条件，结合等腰三角形和三角形内角和的相关知识求解，重在考查对基础概念和性质的掌握程度。
【难度系数】
0.75

7 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，将 $△ ABC$ 绕点 C 按顺时针方向旋转得到 $△ DEC$，点 D 落在线段 AB 上，连接 BE。
（1）求证：DC 平分$∠ ADE$；
（2）试判断 BE 与 AB 的位置关系，并说明理由。

7. (1) $\because △ DCE$ 是由$△ ACB$ 旋转得到的,$\therefore CA=CD$,$∠ A=∠ CDE$. $\therefore ∠ A=∠ CDA$. $\therefore ∠ CDA=∠ CDE$. $\therefore DC$ 平分$∠ ADE$
(2) $BE⊥ AB$ 理由:由旋转的性质,可知$∠ ACD=∠ BCE$. $\because CA=CD$,$CB=CE$,$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=∠ CBE=∠ CEB$. $\because ∠ ABC+∠ CAB+∠ ACD+∠ DCB=180°$, $\therefore ∠ ABC + ∠ CBE + ∠ DCB + ∠ BCE = 180°$. $\therefore ∠ DCE+∠ DBE=180°$. $\because$ 易得$∠ DCE=∠ ACB=90°$, $\therefore ∠ DBE=90°$. $\therefore BE⊥ AB$.

【分析】
（1）要证明DC平分∠ADE，只需证∠CDA=∠CDE即可。首先根据旋转的性质可得旋转前后对应边相等、对应角相等，即CA=CD，∠A=∠CDE；再由等腰三角形“等边对等角”的性质得∠A=∠CDA，通过等量代换即可得到∠CDA=∠CDE，完成角平分线的证明。
（2）判断BE与AB的位置关系，可猜想为垂直，即需证∠ABE=90°。首先由旋转性质得旋转角相等，即∠ACD=∠BCE，且CA=CD、CB=CE，因此△ACD和△BCE均为等腰三角形，且底角相等，即∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB；再通过角的等量代换，结合已知∠ACB=90°，可推出∠DBE=90°，即可得到垂直关系。
【解析】
（1）证明：$\because △ DCE$ 是由$△ ACB$ 旋转得到的，
$\therefore CA=CD$，$∠ A=∠ CDE$，
$\because CA=CD$，
$\therefore ∠ A=∠ CDA$，
$\therefore ∠ CDA=∠ CDE$，
$\therefore DC$ 平分$∠ ADE$。
（2）$BE⊥ AB$，理由如下：
由旋转的性质，可知$∠ ACD=∠ BCE$，
$\because CA=CD$，$CB=CE$，
$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=∠ CBE=∠ CEB$，
$\because ∠ ABC+∠ CAB+∠ ACD+∠ DCB=180°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ CBE + ∠ DCB + ∠ BCE = 180°$，
$\therefore ∠ DCE+∠ DBE=180°$，
$\because$ 易得$∠ DCE=∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DBE=90°$，
$\therefore BE⊥ AB$。
【答案】
（1）DC平分$∠ ADE$，证明成立；
（2）$BE⊥ AB$。
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题以三角形旋转为背景，考查旋转性质的基础应用，解题核心是抓住旋转前后对应边、对应角相等的特点，结合等腰三角形的性质进行角的等量代换，是旋转章节的典型基础题，熟练掌握此类题型能为后续复杂的旋转综合题打好基础。
【难度系数】
0.7