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3 [2024无锡]如图,在$△ ABC$中,$∠ B=80°$,$∠ C=65°$,将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$△ AB'C'$,当$AB'$落在$AC$上时,$∠ BAC'$的度数为（
A.$65°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$85°$
（第3题）（第4题）
B
）A.$65°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$85°$
（第3题）（第4题）
答案
3. B
解析
【分析】
解题时先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据旋转的性质得到对应角∠B'AC'=∠BAC，结合AB'落在AC上的位置关系，可知∠BAC'是∠BAC与∠B'AC'的和，代入计算即可得到结果。
【解析】
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 80° - 65° = 35°$
由旋转的性质可知，旋转前后对应角相等，因此$∠ B'AC' = ∠ BAC = 35°$。
因为$AB'$落在$AC$上，所以$∠ BAC' = ∠ BAC + ∠ B'AC' = 35° + 35° = 70°$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，旋转的性质，角的和差计算
【点评】
本题是基础角度计算题，核心考查旋转前后对应角相等的性质以及三角形内角和定理的应用，解题的关键是准确识别旋转后角的位置关系，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据旋转的性质得到对应角∠B'AC'=∠BAC，结合AB'落在AC上的位置关系，可知∠BAC'是∠BAC与∠B'AC'的和，代入计算即可得到结果。
【解析】
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 80° - 65° = 35°$
由旋转的性质可知，旋转前后对应角相等，因此$∠ B'AC' = ∠ BAC = 35°$。
因为$AB'$落在$AC$上，所以$∠ BAC' = ∠ BAC + ∠ B'AC' = 35° + 35° = 70°$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，旋转的性质，角的和差计算
【点评】
本题是基础角度计算题，核心考查旋转前后对应角相等的性质以及三角形内角和定理的应用，解题的关键是准确识别旋转后角的位置关系，难度较低。
【难度系数】
0.8
4 [2024湖北]如图,点A的坐标是(-4,6),将线段OA绕点O顺时针旋转$90°$,则点A的对应点的坐标是 (
A.(4,6)
B.(6,4)
C.(-6,-4)
D.(-4,-6)
B
)A.(4,6)
B.(6,4)
C.(-6,-4)
D.(-4,-6)
答案
4. B
解析
【分析】
本题可通过旋转的性质结合全等三角形推导对应点坐标，也可直接运用平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律求解。思考步骤：1. 明确旋转中心是原点O，旋转方向为顺时针，旋转角度为90°；2. 过点A向x轴作垂线，构造直角三角形，利用旋转前后对应线段相等、旋转角为90°证明两个直角三角形全等；3. 根据全等三角形对应边相等得到对应点到坐标轴的距离，结合所在象限确定坐标；也可直接套用变换规律：点$(a,b)$绕原点顺时针旋转90°后对应点坐标为$(b,-a)$，代入已知点坐标计算即可。
【解析】
方法一：几何推导法
设点$A(-4,6)$绕点$O$顺时针旋转$90°$后的对应点为$A'$。
过点$A$作$AM⊥ x$轴于点$M$，过点$A'$作$A'N⊥ x$轴于点$N$，
$\therefore∠ AMO=∠ ONA'=90°$，
由点$A$坐标可知$OM=4$，$AM=6$。
由旋转的性质得：$OA=OA'$，$∠ AOA'=90°$，
$\therefore∠ AOM + ∠ A'ON = 90°$，
又$\because∠ AOM + ∠ OAM = 90°$，
$\therefore∠ OAM = ∠ A'ON$，
在$△ AOM$和$△ OA'N$中：
$\{\begin{array}{l}∠ AMO=∠ ONA'\\∠ OAM=∠ A'ON\\OA=A'O\end{array} $
$\therefore△ AOM≌△ OA'N$（AAS），
$\therefore ON=AM=6$，$A'N=OM=4$，
$\because$点$A'$在第一象限，
$\therefore A'$的坐标为$(6,4)$。
方法二：坐标变换规律法
平面直角坐标系中，点$(a,b)$绕原点顺时针旋转$90°$后的对应点坐标为$(b,-a)$。
将点$A(-4,6)$的坐标代入，即$a=-4$，$b=6$，
得对应点坐标为$(6, -(-4))=(6,4)$。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形旋转；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转性质在平面直角坐标系中的基础应用，两种解题方法中，几何推导法能帮助理解坐标变换的原理，坐标变换规律可提升解题速度，是这部分内容的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题可通过旋转的性质结合全等三角形推导对应点坐标，也可直接运用平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律求解。思考步骤：1. 明确旋转中心是原点O，旋转方向为顺时针，旋转角度为90°；2. 过点A向x轴作垂线，构造直角三角形，利用旋转前后对应线段相等、旋转角为90°证明两个直角三角形全等；3. 根据全等三角形对应边相等得到对应点到坐标轴的距离，结合所在象限确定坐标；也可直接套用变换规律：点$(a,b)$绕原点顺时针旋转90°后对应点坐标为$(b,-a)$，代入已知点坐标计算即可。
【解析】
方法一：几何推导法
设点$A(-4,6)$绕点$O$顺时针旋转$90°$后的对应点为$A'$。
过点$A$作$AM⊥ x$轴于点$M$，过点$A'$作$A'N⊥ x$轴于点$N$，
$\therefore∠ AMO=∠ ONA'=90°$，
由点$A$坐标可知$OM=4$，$AM=6$。
由旋转的性质得：$OA=OA'$，$∠ AOA'=90°$，
$\therefore∠ AOM + ∠ A'ON = 90°$，
又$\because∠ AOM + ∠ OAM = 90°$，
$\therefore∠ OAM = ∠ A'ON$，
在$△ AOM$和$△ OA'N$中：
$\{\begin{array}{l}∠ AMO=∠ ONA'\\∠ OAM=∠ A'ON\\OA=A'O\end{array} $
$\therefore△ AOM≌△ OA'N$（AAS），
$\therefore ON=AM=6$，$A'N=OM=4$，
$\because$点$A'$在第一象限，
$\therefore A'$的坐标为$(6,4)$。
方法二：坐标变换规律法
平面直角坐标系中，点$(a,b)$绕原点顺时针旋转$90°$后的对应点坐标为$(b,-a)$。
将点$A(-4,6)$的坐标代入，即$a=-4$，$b=6$，
得对应点坐标为$(6, -(-4))=(6,4)$。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形旋转；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转性质在平面直角坐标系中的基础应用，两种解题方法中，几何推导法能帮助理解坐标变换的原理，坐标变换规律可提升解题速度，是这部分内容的常考题型。
【难度系数】
0.7
5 如图,四边形ABCD是正方形,点E在边BC上,∠BAE=27°.若线段AE绕点A按逆时针方向旋转后与线段AF重合,点F在边CD上,则旋转角的度数是
36°
.答案
5. $36°$
解析
【分析】
首先明确旋转角的定义：本题中旋转中心为点A，线段AE旋转后对应AF，因此旋转角为∠EAF。解题时先利用正方形的性质得到AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，再结合旋转的性质得到AE=AF，可证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，推出∠DAF=∠BAE=27°，最后用∠BAD减去两个角的度数即可求出旋转角。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°。
∵ 线段AE绕点A逆时针旋转后与AF重合，
∴ AE=AF，旋转角为∠EAF。
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\AE=AF\end{array} $
∴ Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴ ∠DAF=∠BAE=27°，
∴ ∠EAF=∠BAD - ∠BAE - ∠DAF = 90° - 27° - 27° = 36°。
【答案】
$36°$
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是准确识别旋转角，结合正方形和旋转的性质构造全等三角形得到角的等量关系，进而计算角度，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
首先明确旋转角的定义：本题中旋转中心为点A，线段AE旋转后对应AF，因此旋转角为∠EAF。解题时先利用正方形的性质得到AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，再结合旋转的性质得到AE=AF，可证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，推出∠DAF=∠BAE=27°，最后用∠BAD减去两个角的度数即可求出旋转角。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°。
∵ 线段AE绕点A逆时针旋转后与AF重合，
∴ AE=AF，旋转角为∠EAF。
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\AE=AF\end{array} $
∴ Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴ ∠DAF=∠BAE=27°，
∴ ∠EAF=∠BAD - ∠BAE - ∠DAF = 90° - 27° - 27° = 36°。
【答案】
$36°$
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是准确识别旋转角，结合正方形和旋转的性质构造全等三角形得到角的等量关系，进而计算角度，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
6如图，在平面直角坐标系中，$△ A'B'C'$是由$△ ABC$绕点$P$旋转得到的，则点$P$的坐标为
(1,-1)
.答案
6. $(1,-1)$
解析
【分析】
根据旋转的性质，旋转中心到任意一组对应点的距离都相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，也可以通过“对应点到旋转中心距离相等”列方程求解。解题时先选取坐标特点明显的对应点（如本题中A和A'纵坐标相同，计算更简便），先求出旋转中心的横坐标，再代入另一组对应点的距离相等关系，求出纵坐标，即可得到点P的坐标。
【解析】
设旋转中心$P$的坐标为$(x,y)$，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得$PA=PA'$，$PB=PB'$。
首先确定对应点坐标：$A(-2,2)$，$A'(4,2)$，$B(-3,-2)$，$B'(0,3)$。
1. 由$PA=PA'$得$PA^2=PA'^2$，根据两点间距离公式：
$(x+2)^2 + (y-2)^2 = (x-4)^2 + (y-2)^2$
两边同时消去$(y-2)^2$，展开得：
$x^2+4x+4=x^2-8x+16$
整理得$12x=12$，解得$x=1$。
2. 再由$PB=PB'$得$PB^2=PB'^2$：
$(x+3)^2 + (y+2)^2 = x^2 + (y-3)^2$
将$x=1$代入上式：
$(1+3)^2 + (y+2)^2 = 1^2 + (y-3)^2$
计算化简：
$16+y^2+4y+4=1+y^2-6y+9$
$20+4y=10-6y$
移项得$10y=-10$，解得$y=-1$。
【答案】
$\boldsymbol{(1,-1)}$
【知识点】
旋转的性质，两点间距离公式
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查旋转的性质，解题关键是抓住“对应点到旋转中心距离相等”这一核心特征，优先选择坐标有特点的对应点可以大幅简化计算，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
根据旋转的性质，旋转中心到任意一组对应点的距离都相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，也可以通过“对应点到旋转中心距离相等”列方程求解。解题时先选取坐标特点明显的对应点（如本题中A和A'纵坐标相同，计算更简便），先求出旋转中心的横坐标，再代入另一组对应点的距离相等关系，求出纵坐标，即可得到点P的坐标。
【解析】
设旋转中心$P$的坐标为$(x,y)$，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得$PA=PA'$，$PB=PB'$。
首先确定对应点坐标：$A(-2,2)$，$A'(4,2)$，$B(-3,-2)$，$B'(0,3)$。
1. 由$PA=PA'$得$PA^2=PA'^2$，根据两点间距离公式：
$(x+2)^2 + (y-2)^2 = (x-4)^2 + (y-2)^2$
两边同时消去$(y-2)^2$，展开得：
$x^2+4x+4=x^2-8x+16$
整理得$12x=12$，解得$x=1$。
2. 再由$PB=PB'$得$PB^2=PB'^2$：
$(x+3)^2 + (y+2)^2 = x^2 + (y-3)^2$
将$x=1$代入上式：
$(1+3)^2 + (y+2)^2 = 1^2 + (y-3)^2$
计算化简：
$16+y^2+4y+4=1+y^2-6y+9$
$20+4y=10-6y$
移项得$10y=-10$，解得$y=-1$。
【答案】
$\boldsymbol{(1,-1)}$
【知识点】
旋转的性质，两点间距离公式
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查旋转的性质，解题关键是抓住“对应点到旋转中心距离相等”这一核心特征，优先选择坐标有特点的对应点可以大幅简化计算，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
7 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°得到△AB'C'。若B'C'交AB于点E，则B'E=
$3\sqrt{3}-3$
。答案
7. $3\sqrt{3}-3$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先在Rt△ABC中，利用直角三角形内角和性质、30°角的直角三角形边长关系，求出AC、BC的长度以及∠BAC的度数；第二步，结合旋转的性质，得到对应边相等、对应角相等，计算出∠C'AE的度数，判断△AC'E为等腰直角三角形，求出C'E的长度；第三步，用B'C'的长度减去C'E的长度，即可得到B'E的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AB=6$，
$\therefore ∠ BAC=180°-90°-30°=60°$，
$AC=AB·\sin30°=6×\frac{1}{2}=3$，
$BC=AB·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
$\because △ ABC$绕点A逆时针旋转$15°$得到$△ AB'C'$，
$\therefore AC'=AC=3$，$B'C'=BC=3\sqrt{3}$，$∠ B'AC'=∠ BAC=60°$，$∠ CAC'=15°$，$∠ AC'E=∠ C=90°$，
$\therefore ∠ C'AE=∠ BAC-∠ CAC'=60°-15°=45°$，
$\therefore △ AC'E$为等腰直角三角形，
$\therefore C'E=AC'=3$，
$\therefore B'E=B'C'-C'E=3\sqrt{3}-3$。
【答案】
$3\sqrt{3}-3$
【知识点】
直角三角形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，重点考查旋转性质和直角三角形的计算，解题核心是抓住旋转前后图形的对应关系，准确推导角度得到特殊直角三角形进行计算。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步，先在Rt△ABC中，利用直角三角形内角和性质、30°角的直角三角形边长关系，求出AC、BC的长度以及∠BAC的度数；第二步，结合旋转的性质，得到对应边相等、对应角相等，计算出∠C'AE的度数，判断△AC'E为等腰直角三角形，求出C'E的长度；第三步，用B'C'的长度减去C'E的长度，即可得到B'E的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AB=6$，
$\therefore ∠ BAC=180°-90°-30°=60°$，
$AC=AB·\sin30°=6×\frac{1}{2}=3$，
$BC=AB·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
$\because △ ABC$绕点A逆时针旋转$15°$得到$△ AB'C'$，
$\therefore AC'=AC=3$，$B'C'=BC=3\sqrt{3}$，$∠ B'AC'=∠ BAC=60°$，$∠ CAC'=15°$，$∠ AC'E=∠ C=90°$，
$\therefore ∠ C'AE=∠ BAC-∠ CAC'=60°-15°=45°$，
$\therefore △ AC'E$为等腰直角三角形，
$\therefore C'E=AC'=3$，
$\therefore B'E=B'C'-C'E=3\sqrt{3}-3$。
【答案】
$3\sqrt{3}-3$
【知识点】
直角三角形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，重点考查旋转性质和直角三角形的计算，解题核心是抓住旋转前后图形的对应关系，准确推导角度得到特殊直角三角形进行计算。
【难度系数】
0.65
8 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$△ DEC$，使得点$B$的对应点$E$恰好落在边$AC$上，点$A$的对应点为$D$，延长$DE$交$AB$于点$F$，连接$AD$。
（1）若$∠ BAC = 30°$，$BC = 1$，求线段$AD$的长；
（2）求证：$AB ⊥ DF$。
（1）若$∠ BAC = 30°$，$BC = 1$，求线段$AD$的长；
（2）求证：$AB ⊥ DF$。
答案
8.（1）$\because BC=1,∠ ACB=90°,∠ BAC=30°,\therefore AB=2BC=2.$
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}.\because$ 将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$△ DEC,\therefore AC=CD,∠ ACB=∠ ACD=90°.$
$\therefore AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$
（2）$\because$ 将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$△ DEC,\therefore ∠ BAC=∠ CDE.$ 又$\because ∠ AEF=∠ CED,\therefore ∠ AFE=∠ ECD=90°.\therefore AB⊥ DF$
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}.\because$ 将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$△ DEC,\therefore AC=CD,∠ ACB=∠ ACD=90°.$
$\therefore AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$
（2）$\because$ 将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$△ DEC,\therefore ∠ BAC=∠ CDE.$ 又$\because ∠ AEF=∠ CED,\therefore ∠ AFE=∠ ECD=90°.\therefore AB⊥ DF$
解析
【分析】
（1）先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半求出AB的长度，再用勾股定理计算AC的长；结合旋转的性质可知AC=CD，且∠ACD=90°，△ACD为等腰直角三角形，最后用勾股定理即可求出AD的长度。
（2）要证AB⊥DF，只需证明∠AFE=90°即可。根据旋转的性质可得对应角∠BAC=∠CDE，结合对顶角∠AEF=∠CED，利用三角形内角和定理可推出∠AFE=∠ECD=90°，即可证明垂直。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠BAC=30°$，$BC=1$，
$\therefore AB=2BC=2$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
$\because$将$△ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$△DEC$，
$\therefore AC=CD$，$∠ACD=∠ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$。
（2）证明：$\because$将$△ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$△DEC$，
$\therefore ∠BAC=∠CDE$。
又$\because ∠AEF=∠CED$（对顶角相等），
根据三角形内角和可知，$∠AFE=180°-∠BAC-∠AEF$，$∠ECD=180°-∠CDE-∠CED$，
$\therefore ∠AFE=∠ECD=90°$，
$\therefore AB⊥DF$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\sqrt{6}}$；（2）证明成立，见解析。
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考查旋转性质的应用，计算边长时结合直角三角形性质和勾股定理即可求解，证明垂直的关键是通过角度等量代换推导出夹角为90°，解题逻辑清晰，基础性较强。
【难度系数】
0.7
（1）先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半求出AB的长度，再用勾股定理计算AC的长；结合旋转的性质可知AC=CD，且∠ACD=90°，△ACD为等腰直角三角形，最后用勾股定理即可求出AD的长度。
（2）要证AB⊥DF，只需证明∠AFE=90°即可。根据旋转的性质可得对应角∠BAC=∠CDE，结合对顶角∠AEF=∠CED，利用三角形内角和定理可推出∠AFE=∠ECD=90°，即可证明垂直。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠BAC=30°$，$BC=1$，
$\therefore AB=2BC=2$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
$\because$将$△ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$△DEC$，
$\therefore AC=CD$，$∠ACD=∠ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$。
（2）证明：$\because$将$△ABC$绕点$C$顺时针旋转得到$△DEC$，
$\therefore ∠BAC=∠CDE$。
又$\because ∠AEF=∠CED$（对顶角相等），
根据三角形内角和可知，$∠AFE=180°-∠BAC-∠AEF$，$∠ECD=180°-∠CDE-∠CED$，
$\therefore ∠AFE=∠ECD=90°$，
$\therefore AB⊥DF$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\sqrt{6}}$；（2）证明成立，见解析。
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考查旋转性质的应用，计算边长时结合直角三角形性质和勾股定理即可求解，证明垂直的关键是通过角度等量代换推导出夹角为90°，解题逻辑清晰，基础性较强。
【难度系数】
0.7
9 若点$P(m+1,8-2m)$关于原点的对称点$Q$在第三象限，则$m$的取值范围是
$-1＜m＜4$
。答案
9. $-1＜m＜4$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，回忆关于原点对称的点的坐标特征：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，据此可写出点Q的坐标；第二步，回忆第三象限内点的坐标符号特征：横坐标为负，纵坐标为负，将Q点的横纵坐标分别和0比较，即可得到关于m的一元一次不等式组；第三步，解不等式组，得到的解集就是m的取值范围。也可利用对称点的象限对应关系：第三象限的点关于原点的对称点在第一象限，直接判断点P在第一象限，根据第一象限横纵坐标均为正列不等式组求解，思路一致。
【解析】
解：
∵点$P(m+1,8-2m)$关于原点对称的点为Q
∴点Q的坐标为$(-(m+1), -(8-2m))$，即$(-m-1, 2m-8)$
又
∵Q在第三象限，第三象限内点的横坐标＜0，纵坐标＜0
∴可得不等式组：
$\begin{cases} -m -1 ＜ 0 ① \\ 2m - 8 ＜ 0 ②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$-m ＜ 1$，两边同时乘以-1（不等号方向改变），得$m ＞ -1$
解不等式②：
移项得$2m ＜ 8$，两边同时除以2，得$m ＜ 4$
∴不等式组的解集为$-1 ＜ m ＜ 4$，即m的取值范围是$-1 ＜ m ＜ 4$
【答案】
$-1＜m＜4$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标符号；解一元一次不等式组
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式结合的基础题，解题的关键是熟练掌握点的对称性质和不同象限内点的坐标符号规律，正确列出不等式组求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：第一步，回忆关于原点对称的点的坐标特征：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，据此可写出点Q的坐标；第二步，回忆第三象限内点的坐标符号特征：横坐标为负，纵坐标为负，将Q点的横纵坐标分别和0比较，即可得到关于m的一元一次不等式组；第三步，解不等式组，得到的解集就是m的取值范围。也可利用对称点的象限对应关系：第三象限的点关于原点的对称点在第一象限，直接判断点P在第一象限，根据第一象限横纵坐标均为正列不等式组求解，思路一致。
【解析】
解：
∵点$P(m+1,8-2m)$关于原点对称的点为Q
∴点Q的坐标为$(-(m+1), -(8-2m))$，即$(-m-1, 2m-8)$
又
∵Q在第三象限，第三象限内点的横坐标＜0，纵坐标＜0
∴可得不等式组：
$\begin{cases} -m -1 ＜ 0 ① \\ 2m - 8 ＜ 0 ②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$-m ＜ 1$，两边同时乘以-1（不等号方向改变），得$m ＞ -1$
解不等式②：
移项得$2m ＜ 8$，两边同时除以2，得$m ＜ 4$
∴不等式组的解集为$-1 ＜ m ＜ 4$，即m的取值范围是$-1 ＜ m ＜ 4$
【答案】
$-1＜m＜4$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标符号；解一元一次不等式组
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式结合的基础题，解题的关键是熟练掌握点的对称性质和不同象限内点的坐标符号规律，正确列出不等式组求解即可。
【难度系数】
0.7
10 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(-1,0)，B(-2,-2)，C(-4,-1)。
(1) 请画出△ABC 关于原点对称的△A₁B₁C₁；
(2) 将△ABC 绕点O逆时针旋转90°得到△A₂B₂C₂，请画出△A₂B₂C₂；
(3) 若在△ABC 内有一点P(a,b)，将△ABC按照(2)中的方式旋转之后的对应点为P₂，则点P₂的坐标为
(1) 请画出△ABC 关于原点对称的△A₁B₁C₁；
(2) 将△ABC 绕点O逆时针旋转90°得到△A₂B₂C₂，请画出△A₂B₂C₂；
(3) 若在△ABC 内有一点P(a,b)，将△ABC按照(2)中的方式旋转之后的对应点为P₂，则点P₂的坐标为
$(-b,a)$
。答案
10.（1）如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求作
（2）如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求作
（3）$(-b,a)$
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁，首先利用关于原点对称的点的坐标规律：点的横、纵坐标均互为相反数，先求出A、B、C三点的对应点坐标，再顺次连接对应点即可完成作图。
(2) 要画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A₂B₂C₂，需掌握绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：原坐标$(x,y)$旋转后变为$(-y,x)$，先求出三个顶点旋转后的对应点坐标，再顺次连接即可。
(3) 第(3)问是旋转坐标规律的一般应用，直接套用(2)中得到的旋转坐标变换公式，将$P(a,b)$代入即可得到对应点$P_2$的坐标。
【解析】
(1) 根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，可得：
$A(-1,0)$的对应点$A_1(1,0)$，$B(-2,-2)$的对应点$B_1(2,2)$，$C(-4,-1)$的对应点$C_1(4,1)$，在坐标系中描出三点后顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规则：点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后对应点坐标为$(-y,x)$，可得：
$A(-1,0)$的对应点$A_2(0,-1)$，$B(-2,-2)$的对应点$B_2(2,-2)$，$C(-4,-1)$的对应点$C_2(1,-4)$，在坐标系中描出三点后顺次连接，即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 由(2)的旋转坐标变换规律可知，任意点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后对应点为$(-y,x)$，因此点$P(a,b)$旋转后的对应点$P_2$的坐标为$(-b,a)$。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求作
(2) 如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求作
(3) $(-b,a)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化-旋转，旋转的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的对称与旋转变换，重点考查对应点坐标的变化规律，掌握变换的坐标规则、准确找到对应点位置是解题核心，属于基础类几何变换题型。
【难度系数】
0.8
(1) 要画出△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁，首先利用关于原点对称的点的坐标规律：点的横、纵坐标均互为相反数，先求出A、B、C三点的对应点坐标，再顺次连接对应点即可完成作图。
(2) 要画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的△A₂B₂C₂，需掌握绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：原坐标$(x,y)$旋转后变为$(-y,x)$，先求出三个顶点旋转后的对应点坐标，再顺次连接即可。
(3) 第(3)问是旋转坐标规律的一般应用，直接套用(2)中得到的旋转坐标变换公式，将$P(a,b)$代入即可得到对应点$P_2$的坐标。
【解析】
(1) 根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，可得：
$A(-1,0)$的对应点$A_1(1,0)$，$B(-2,-2)$的对应点$B_1(2,2)$，$C(-4,-1)$的对应点$C_1(4,1)$，在坐标系中描出三点后顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规则：点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后对应点坐标为$(-y,x)$，可得：
$A(-1,0)$的对应点$A_2(0,-1)$，$B(-2,-2)$的对应点$B_2(2,-2)$，$C(-4,-1)$的对应点$C_2(1,-4)$，在坐标系中描出三点后顺次连接，即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 由(2)的旋转坐标变换规律可知，任意点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后对应点为$(-y,x)$，因此点$P(a,b)$旋转后的对应点$P_2$的坐标为$(-b,a)$。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求作
(2) 如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求作
(3) $(-b,a)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化-旋转，旋转的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的对称与旋转变换，重点考查对应点坐标的变化规律，掌握变换的坐标规则、准确找到对应点位置是解题核心，属于基础类几何变换题型。
【难度系数】
0.8
