1.如图1，把一张长方形纸片沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的图形，由此可以验证的式子是（）


A.$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
B.$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
C.$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2$
D.$(a+b)^2=a^2 - 2ab + b^2$

1.A

【分析】
这是利用几何图形面积验证代数公式的题目，解题核心是抓住剪拼前后阴影部分面积不变的特点。首先分别计算图1和图2的阴影面积，再令两个面积相等得到对应等式，最后匹配选项即可。第一步先确定图1的形状是长方形，找到它的长和宽计算面积；第二步确定图2的阴影面积是大正方形面积减去空缺的小正方形面积；第三步结合面积相等得到等式，注意等式的推导方向和选项的对应。
【解析】
1. 计算图1的阴影面积：
图1为长方形，长为$a+b$，宽为$a-b$，根据长方形面积公式可得：
$S_1=(a+b)(a-b)$
2. 计算图2的阴影面积：
图2的阴影部分是边长为$a$的大正方形减去边长为$b$的空缺小正方形，根据正方形面积公式可得：
$S_2=a^2 - b^2$
3. 由于纸片剪拼前后阴影部分面积不变，即$S_1=S_2$，因此可得等式：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，割补法求面积
【点评】
本题通过几何剪拼的方式直观呈现平方差公式的推导过程，解题的关键是抓住剪拼过程中面积不变的性质，同时要注意等式的推导方向，避免混淆A、B两个相似选项。
【难度系数】
0.7

2.下列各式中,不能运用平方差公式进行计算的是 （）

A.$(b+a)(b-a)$
B.$(a-b)(b-a)$
C.$(m+a)(a-m)$
D.$(-a-m)(a-m)$

2.B

【分析】
要判断式子能否用平方差公式计算，首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘时，其中一组项完全相同，另一组项互为相反数，满足该特征即可使用平方差公式。解题时只需逐一核对每个选项是否符合上述特征即可得出答案。
【解析】
平方差公式为：$\boldsymbol{(x+y)(x-y)=x^2-y^2}$，其核心特征是两个因式中存在一组相同项、一组相反项。
选项A：$(b+a)(b-a)$中，相同项为$b$，相反项为$a$和$-a$，符合平方差公式特征，可运用公式计算；
选项B：$(a-b)(b-a)$可变形为$(a-b)×[-(a-b)]=-(a-b)^2$，两个因式的所有项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式特征，不能运用公式计算；
选项C：$(m+a)(a-m)$中，相同项为$a$，相反项为$m$和$-m$，符合平方差公式特征，可运用公式计算；
选项D：$(-a-m)(a-m)$可改写为$(-m-a)(-m+a)$，相同项为$-m$，相反项为$-a$和$a$，符合平方差公式特征，可运用公式计算。
综上，不能运用平方差公式计算的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的特征、整式乘法运算
【点评】
本题考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别两个二项式中的相同项和相反项，属于对基础公式应用的考查，熟练掌握公式结构即可快速作答。
【难度系数】
0.8

3.填空：
(1)$(a+b)(a-b)=$；
(2)$(a+b)(b-a)=$；
(3)$(a-b)($$)=b^2 - a^2$；
(4)$(-a-b)($$)=a^2 - b^2$；

3.(1)$a^2 - b^2$ (2)$b^2 - a^2$ (3)$-a - b$ (4)$-a + b$

【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题时先回忆平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，若其中有一项完全相同，另一项互为相反数，乘积等于相同项的平方减去相反项的平方，公式为$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$。每一问都先找到式子中的相同项和互为相反数的项，再结合公式变形计算即可。
【解析】
(1) 直接应用平方差公式，相同项是$a$，相反项是$b$和$-b$，因此$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$；
(2) 把$(a+b)(b-a)$变形为$(b+a)(b-a)$，相同项是$b$，相反项是$a$和$-a$，因此结果为$b^2 - a^2$；也可提取$(b-a)$的负号，得$(a+b)×[-(a-b)]=-(a^2-b^2)=b^2-a^2$；
(3) 右边$b^2 - a^2=-(a^2 - b^2)=-(a-b)(a+b)=(a-b)×(-a -b)$，因此括号内应填$-a -b$；
(4) 先将左边的$(-a -b)$变形为$-(a+b)$，右边$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，设括号内的式子为$x$，则$-(a+b)· x=(a+b)(a-b)$，两边同时除以$(a+b)$（公式成立默认$a≠ -b$），得$x=-(a-b)=-a + b$，因此括号内应填$-a + b$。
【答案】
(1)$a^2 - b^2$ (2)$b^2 - a^2$ (3)$-a - b$ (4)$-a + b$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础运用类题目，核心是准确识别公式中的相同项和相反项，熟练掌握符号变化规律即可快速解题，是巩固平方差公式的典型习题。
【难度系数】
0.85

4.已知$m,n$同时满足$2m+n=3$与$2m-n=1$，则$4m^2 - n^2$的值是.
[变式]（2024·凉山州）已知$a^2 - b^2 =12$，且$a - b=-2$，则$a + b=$.

4.3 【变式】$-6$

【分析】
对于原题，首先观察所求代数式$4m^2 - n^2$的结构，可变形为$(2m)^2 - n^2$，符合平方差公式的特征，因此无需分别求解$m$、$n$的值，直接利用平方差公式将所求式转化为已知的$2m+n$与$2m-n$的乘积，代入计算即可。对于变式，已知$a^2-b^2$和$a-b$的值，直接套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将已知条件代入即可求出$a+b$的值，无需单独求解$a$、$b$。
【解析】
原题解答：
根据平方差公式可得：
$4m^2 - n^2=(2m+n)(2m-n)$
已知$2m+n=3$，$2m-n=1$，代入上式得：
原式$=3×1=3$
变式解答：
由平方差公式可知：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
将$a^2 - b^2=12$，$a-b=-2$代入得：
$12=(a+b)×(-2)$
解得：$a+b=12÷(-2)=-6$
【答案】
4.3 【变式】$-6$
【知识点】
1.平方差公式 2.代数式求值 3.整体代入思想
【点评】
这两道题是平方差公式的基础应用题型，核心是抓住平方差公式的结构特征，利用整体代入的思想简化运算，避免求解单个未知数，提升解题效率，学习过程中要熟记公式的形式，做到灵活套用。
【难度系数】
0.8

5.运用平方差公式计算：
(1)$(ab - 2)(ab + 2);$
(2)$(-\dfrac{2}{3}m + n)(-\dfrac{2}{3}m - n);$
(3)$(2xy - z)(z + 2xy);$
(4)$(4n - 3m)(-4n - 3m);$
(5)$(3x + y)(3x - y)(9x^2 + y^2).$

5.(1)$a^2b^2 - 4$ (2)$\dfrac{4}{9}m^2 - n^2$ (3)$4x^2y^2 - z^2$ (4)$9m^2 - 16n^2$ (5)$81x^4 - y^4$

【分析】
首先回忆平方差公式的结构：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。解题时先逐个分析每个乘法式子中相同的项（对应公式里的$a$）和互为相反数的项（对应公式里的$b$），再代入公式计算即可；对于多个乘法式子连乘的题，先计算能套用平方差公式的部分，多次运用公式得到最终结果。
【解析】
(1) 式子中相同项为$ab$，相反项为$-2$和$+2$，即$a=ab$，$b=2$，代入公式得：
$(ab - 2)(ab + 2)=(ab)^2 - 2^2=a^2b^2 - 4$
(2) 式子中相同项为$-\dfrac{2}{3}m$，相反项为$+n$和$-n$，即$a=-\dfrac{2}{3}m$，$b=n$，代入公式得：
$(-\dfrac{2}{3}m + n)(-\dfrac{2}{3}m - n)=(-\dfrac{2}{3}m)^2 - n^2=\dfrac{4}{9}m^2 - n^2$
(3) 先调整第二个括号的项的顺序，得$(2xy - z)(2xy + z)$，相同项为$2xy$，相反项为$-z$和$+z$，即$a=2xy$，$b=z$，代入公式得：
$(2xy - z)(z + 2xy)=(2xy)^2 - z^2=4x^2y^2 - z^2$
(4) 先调整两个括号的项的顺序，得$(-3m + 4n)(-3m - 4n)$，相同项为$-3m$，相反项为$+4n$和$-4n$，即$a=-3m$，$b=4n$，代入公式得：
$(4n - 3m)(-4n - 3m)=(-3m)^2 - (4n)^2=9m^2 - 16n^2$
(5) 先对前两个因式套用平方差公式，再将所得结果和第三个因式继续套用平方差公式：
第一步：$(3x + y)(3x - y)=(3x)^2 - y^2=9x^2 - y^2$
第二步：$(9x^2 - y^2)(9x^2 + y^2)=(9x^2)^2 - (y^2)^2=81x^4 - y^4$
【答案】
(1)$a^2b^2 - 4$ (2)$\dfrac{4}{9}m^2 - n^2$ (3)$4x^2y^2 - z^2$ (4)$9m^2 - 16n^2$ (5)$81x^4 - y^4$
【知识点】
平方差公式、幂的运算、整式乘法
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是准确识别公式中的“相同项”和“相反项”，牢记平方差公式的结构特征，多次运用公式时需注意每一步幂的运算要准确，避免符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.8

6.用简便方法计算,将 $98×102$ 变形正确的是（）

A.$98×102=100^2+2^2$
B.$98×102=(100-2)^2$
C.$98×102=100^2-2^2$
D.$98×102=(100+2)^2$

6.C

【分析】
观察算式中两个乘数98和102的特点，98=100-2，102=100+2，刚好符合平方差公式中“两个数的和与两个数的差相乘”的结构，因此可以利用平方差公式对算式进行变形，再逐一匹配选项即可。
【解析】
首先对两个乘数进行变形：98=100-2，102=100+2，因此：
$98×102=(100-2)(100+2)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，代入$a=100,b=2$可得：
$(100-2)(100+2)=100^2-2^2$
逐一判断选项：
A选项等号右侧为$100^2+2^2$，不符合计算结果，错误；
B选项$(100-2)^2=98^2≠98×102$，错误；
C选项符合推导结果，正确；
D选项$(100+2)^2=102^2≠98×102$，错误。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的简便应用，解题核心是准确识别算式中两个乘数的特征，将其转化为平方差公式的标准形式，熟记公式结构是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

7.运用平方差公式简便计算：
(1)999×1 001；
(2)1.03×0.97。

7.(1)999 999 (2)0.999 1

【分析】
首先回忆平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。要运用平方差公式简便计算，需先把相乘的两个因数变形为“同一个数加另一个数”和“同一个数减另一个数”的形式：(1)中999和1001都接近1000，可分别写成$1000-1$和$1000+1$，符合平方差公式结构；(2)中1.03和0.97都接近1，可分别写成$1+0.03$和$1-0.03$，也符合公式结构，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 计算$999×1001$：
$\begin{aligned}999×1001&=(1000-1)(1000+1)\\&=1000^2 - 1^2\\&=1000000 - 1\\&=999999\end{aligned}$
(2) 计算$1.03×0.97$：
$\begin{aligned}1.03×0.97&=(1+0.03)(1-0.03)\\&=1^2 - (0.03)^2\\&=1 - 0.0009\\&=0.9991\end{aligned}$
【答案】
(1)$999999$；(2)$0.9991$
【知识点】
平方差公式；简便运算
【点评】
本题是平方差公式的典型应用类题目，解题核心是识别两个因数的共性，将其转化为两数和与两数差的乘积形式，再套用公式计算，能大幅降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8