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10.计算:
(1)$(-2a^4bc + 12a^3b^2 + 9a^2b^3) ÷ 3a^2b$；
(2)$(-6x^4y^3 + 3x^3y^2 - 2x^2y^3) ÷ (-\dfrac{1}{2}xy)^2$；
(3)$[2x(2y^2 - 4y + 1) - 2x] ÷ (-4xy)$；
(4)$(x - 2)(x + 6) - (6x^4 - 4x^3 - 2x^2) ÷ (-2x^2)$。
(1)$(-2a^4bc + 12a^3b^2 + 9a^2b^3) ÷ 3a^2b$；
(2)$(-6x^4y^3 + 3x^3y^2 - 2x^2y^3) ÷ (-\dfrac{1}{2}xy)^2$；
(3)$[2x(2y^2 - 4y + 1) - 2x] ÷ (-4xy)$；
(4)$(x - 2)(x + 6) - (6x^4 - 4x^3 - 2x^2) ÷ (-2x^2)$。
答案
10.(1)$-\frac{2}{3}a^2c+4ab+3b^2$
(2)$-24x^2y+12x-8y$
(3)$-y+2$
(4)$4x^2+2x-13$
(2)$-24x^2y+12x-8y$
(3)$-y+2$
(4)$4x^2+2x-13$
解析
【分析】
这组题考查整式的除法与混合运算，解题遵循整式运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的内容。多项式除以单项式的核心方法是：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有商相加，计算时注意系数的符号、同底数幂的指数运算规则即可。
【解析】
(1) 利用多项式除以单项式法则拆分计算：
原式$=-2a^4bc÷3a^2b + 12a^3b^2÷3a^2b +9a^2b^3÷3a^2b$
$=-\frac{2}{3}a^{4-2}c + 4a^{3-2}b^{2-1} + 3b^{3-1}$
$=-\frac{2}{3}a^2c +4ab +3b^2$
(2) 先算乘方，再做多项式除以单项式运算：
先计算除数的乘方：$(-\frac{1}{2}xy)^2=\frac{1}{4}x^2y^2$
原式$=(-6x^4y^3 +3x^3y^2 -2x^2y^3)÷\frac{1}{4}x^2y^2$
$=-6x^4y^3÷\frac{1}{4}x^2y^2 +3x^3y^2÷\frac{1}{4}x^2y^2 -2x^2y^3÷\frac{1}{4}x^2y^2$
$=-24x^{4-2}y^{3-2} +12x^{3-2} -8y^{3-2}$
$=-24x^2y +12x -8y$
(3) 先化简括号内的整式，再做除法：
括号内化简：$2x(2y^2-4y+1)-2x=4xy^2 -8xy +2x -2x=4xy^2 -8xy$
原式$=(4xy^2 -8xy)÷(-4xy)$
$=4xy^2÷(-4xy) + (-8xy)÷(-4xy)$
$=-y +2$
(4) 分别计算多项式乘法、多项式除以单项式，再合并结果：
① 计算乘法：$(x-2)(x+6)=x^2 +6x -2x -12=x^2 +4x -12$
② 计算除法：$(6x^4 -4x^3 -2x^2)÷(-2x^2)=6x^4÷(-2x^2) + (-4x^3)÷(-2x^2) + (-2x^2)÷(-2x^2)=-3x^2 +2x +1$
③ 作差合并：原式$=(x^2 +4x -12) - (-3x^2 +2x +1)$
$=x^2 +4x -12 +3x^2 -2x -1$
$=4x^2 +2x -13$
【答案】
(1)$-\frac{2}{3}a^2c+4ab+3b^2$
(2)$-24x^2y+12x-8y$
(3)$-y+2$
(4)$4x^2+2x-13$
【知识点】
多项式除以单项式，整式混合运算，单项式除以单项式
【点评】
本题重点考查整式运算的熟练度，解题时要严格遵循运算顺序，特别注意多项式除以单项式、去括号过程中的符号处理，避免因符号错误失分，计算同底数幂除法时要准确计算指数差。
【难度系数】
0.7
这组题考查整式的除法与混合运算，解题遵循整式运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的内容。多项式除以单项式的核心方法是：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有商相加，计算时注意系数的符号、同底数幂的指数运算规则即可。
【解析】
(1) 利用多项式除以单项式法则拆分计算：
原式$=-2a^4bc÷3a^2b + 12a^3b^2÷3a^2b +9a^2b^3÷3a^2b$
$=-\frac{2}{3}a^{4-2}c + 4a^{3-2}b^{2-1} + 3b^{3-1}$
$=-\frac{2}{3}a^2c +4ab +3b^2$
(2) 先算乘方，再做多项式除以单项式运算：
先计算除数的乘方：$(-\frac{1}{2}xy)^2=\frac{1}{4}x^2y^2$
原式$=(-6x^4y^3 +3x^3y^2 -2x^2y^3)÷\frac{1}{4}x^2y^2$
$=-6x^4y^3÷\frac{1}{4}x^2y^2 +3x^3y^2÷\frac{1}{4}x^2y^2 -2x^2y^3÷\frac{1}{4}x^2y^2$
$=-24x^{4-2}y^{3-2} +12x^{3-2} -8y^{3-2}$
$=-24x^2y +12x -8y$
(3) 先化简括号内的整式，再做除法：
括号内化简：$2x(2y^2-4y+1)-2x=4xy^2 -8xy +2x -2x=4xy^2 -8xy$
原式$=(4xy^2 -8xy)÷(-4xy)$
$=4xy^2÷(-4xy) + (-8xy)÷(-4xy)$
$=-y +2$
(4) 分别计算多项式乘法、多项式除以单项式，再合并结果：
① 计算乘法：$(x-2)(x+6)=x^2 +6x -2x -12=x^2 +4x -12$
② 计算除法：$(6x^4 -4x^3 -2x^2)÷(-2x^2)=6x^4÷(-2x^2) + (-4x^3)÷(-2x^2) + (-2x^2)÷(-2x^2)=-3x^2 +2x +1$
③ 作差合并：原式$=(x^2 +4x -12) - (-3x^2 +2x +1)$
$=x^2 +4x -12 +3x^2 -2x -1$
$=4x^2 +2x -13$
【答案】
(1)$-\frac{2}{3}a^2c+4ab+3b^2$
(2)$-24x^2y+12x-8y$
(3)$-y+2$
(4)$4x^2+2x-13$
【知识点】
多项式除以单项式，整式混合运算，单项式除以单项式
【点评】
本题重点考查整式运算的熟练度，解题时要严格遵循运算顺序，特别注意多项式除以单项式、去括号过程中的符号处理，避免因符号错误失分，计算同底数幂除法时要准确计算指数差。
【难度系数】
0.7
11.已知$2a - b = 10$，求$[a^2 + b^2 - (a - b)^2 + 2b · (a - b)] ÷ 4b$的值。
答案
11.5
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路为先利用整式运算的法则将要求的代数式化简，再将已知的$2a - b=10$整体代入化简后的式子计算，不需要单独求出a、b的具体值，简化计算过程。第一步先处理中括号内的整式运算，先展开完全平方公式和单项式乘多项式，再去括号合并同类项，第二步进行多项式除以单项式的运算，第三步整体代入求值。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&[a^2 + b^2 - (a - b)^2 + 2b(a - b)] ÷ 4b\\=&[a^2 + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) + 2ab - 2b^2] ÷ 4b\\=&[a^2 + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + 2ab - 2b^2] ÷ 4b\\=&(4ab - 2b^2) ÷ 4b\\=&4ab÷4b - 2b^2÷4b\\=&a - \frac{1}{2}b\\=&\frac{1}{2}(2a - b)\end{aligned}$
已知$2a - b = 10$，将其代入化简后的式子：
原式$=\frac{1}{2}×10=5$
【答案】
5
【知识点】
整式的混合运算，多项式除以单项式，整体代入求值
【点评】
本题核心考查整式化简求值的方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、单项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则，通过先化简再整体代入的思路可以快速得到结果，无需单独求解a、b的取值，降低计算量。
【难度系数】
0.7
本题属于整式化简求值类题目，解题思路为先利用整式运算的法则将要求的代数式化简，再将已知的$2a - b=10$整体代入化简后的式子计算，不需要单独求出a、b的具体值，简化计算过程。第一步先处理中括号内的整式运算，先展开完全平方公式和单项式乘多项式，再去括号合并同类项，第二步进行多项式除以单项式的运算，第三步整体代入求值。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&[a^2 + b^2 - (a - b)^2 + 2b(a - b)] ÷ 4b\\=&[a^2 + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) + 2ab - 2b^2] ÷ 4b\\=&[a^2 + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + 2ab - 2b^2] ÷ 4b\\=&(4ab - 2b^2) ÷ 4b\\=&4ab÷4b - 2b^2÷4b\\=&a - \frac{1}{2}b\\=&\frac{1}{2}(2a - b)\end{aligned}$
已知$2a - b = 10$，将其代入化简后的式子：
原式$=\frac{1}{2}×10=5$
【答案】
5
【知识点】
整式的混合运算，多项式除以单项式，整体代入求值
【点评】
本题核心考查整式化简求值的方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、单项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则，通过先化简再整体代入的思路可以快速得到结果，无需单独求解a、b的取值，降低计算量。
【难度系数】
0.7
12.【新考法·阅读理解】类比思想是数学中常用的数学思想.两个多项式相除,可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列,然后类比两个多位数相除的计算方法,用竖式进行计算.例如,$(7x + 2 + 6x^2)÷(2x + 1)$,类比$672÷21$的计算
所示.
因此$(7x + 2 + 6x^2)÷(2x + 1)=3x + 2$.
[理解应用]
(1)试判断$x^3 - x^2 - 5x - 3$能否被$x + 1$整除,并说明理由.
(2)多项式$3x^2 + 5x - 7$除以$x + 2$的商式为
(3),有一个长为$x + 2$、宽为$x - 2$的长方形A.若将它的长增加6、宽增加$a$就得到一个新长方形B,此时长方形B的周长是长方形A的周长的2倍.另有一个长方形C,它的一边长为$x + 10$,且长方形B的面积比长方形C的面积大76,求长方形C的已知边长的邻边长.
所示.因此$(7x + 2 + 6x^2)÷(2x + 1)=3x + 2$.
[理解应用]
(1)试判断$x^3 - x^2 - 5x - 3$能否被$x + 1$整除,并说明理由.
(2)多项式$3x^2 + 5x - 7$除以$x + 2$的商式为
$3x-1$
,余式为$-5$
.(3),有一个长为$x + 2$、宽为$x - 2$的长方形A.若将它的长增加6、宽增加$a$就得到一个新长方形B,此时长方形B的周长是长方形A的周长的2倍.另有一个长方形C,它的一边长为$x + 10$,且长方形B的面积比长方形C的面积大76,求长方形C的已知边长的邻边长.
答案
12.(1)能.理由略
(2)$3x-1$ $-5$
(3)$3x-14$
(2)$3x-1$ $-5$
(3)$3x-14$
解析
【分析】
本题通过类比整数除法的竖式计算，考查多项式除以多项式的运算，同时结合长方形的周长、面积公式考查整式的混合运算能力。解题思路如下：
（1）按照题目给出的多项式除法竖式步骤，计算$x^3 - x^2 - 5x - 3$除以$x+1$，若余式为0则可以整除；
（2）同样用多项式竖式除法计算$3x^2 + 5x -7$除以$x+2$，分别得到商式和余式；
（3）先根据长方形A、B的周长关系求出$a$的值，再计算长方形B的面积，结合B、C的面积关系得到C的面积，最后用C的面积除以已知边长得到邻边长。
【解析】
（1）判断：能被整除，理由如下：
将被除式$x^3 - x^2 -5x -3$按$x$降幂排列，除式为$x+1$，列竖式计算：
第一步：$x^3÷ x = x^2$，用$x^2$乘$x+1$得$x^3+x^2$，与被除式前两项相减：$(x^3 -x^2)-(x^3+x^2)=-2x^2$，落下$-5x$得$-2x^2-5x$；
第二步：$-2x^2÷ x=-2x$，用$-2x$乘$x+1$得$-2x^2-2x$，相减：$(-2x^2-5x)-(-2x^2-2x)=-3x$，落下$-3$得$-3x-3$；
第三步：$-3x÷ x=-3$，用$-3$乘$x+1$得$-3x-3$，相减得0，余式为0，因此$x^3 - x^2 -5x -3$能被$x+1$整除。
（2）计算$3x^2 +5x -7÷(x+2)$：
第一步：$3x^2÷ x=3x$，乘$x+2$得$3x^2+6x$，相减得$(3x^2+5x)-(3x^2+6x)=-x$，落下$-7$得$-x-7$；
第二步：$-x÷ x=-1$，乘$x+2$得$-x-2$，相减得$(-x-7)-(-x-2)=-5$，因此商式为$3x-1$，余式为$-5$。
（3）首先计算长方形A的周长：
$C_A=2×[(x+2)+(x-2)]=2×2x=4x$
长方形B的长为$(x+2)+6=x+8$，宽为$(x-2)+a=x+a-2$，其周长为：
$C_B=2×[(x+8)+(x+a-2)]=2×(2x+a+6)=4x+2a+12$
由$C_B=2C_A$得：$4x+2a+12=2×4x$，解得$a=2x-6$
则长方形B的宽为$x+(2x-6)-2=3x-8$，B的面积为：
$S_B=(x+8)(3x-8)=3x^2-8x+24x-64=3x^2+16x-64$
由题意得长方形C的面积为$S_C=S_B-76=3x^2+16x-64-76=3x^2+16x-140$
已知C的一边长为$x+10$，则邻边长为$(3x^2+16x-140)÷(x+10)$，用多项式除法计算得商为$3x-14$，即邻边长为$3x-14$。
【答案】
(1)能，理由见解析；
(2)$3x-1$，$-5$；
(3)$3x-14$
【知识点】
多项式除以多项式，长方形周长与面积计算，整式的混合运算
【点评】
本题采用类比迁移的新考法，引导学生将整数除法的方法运用到多项式除法中，同时结合几何图形的性质考查整式运算的综合应用，既锻炼了知识迁移能力，也巩固了整式运算的基础，符合对探究能力的考查要求。
【难度系数】
0.6
本题通过类比整数除法的竖式计算，考查多项式除以多项式的运算，同时结合长方形的周长、面积公式考查整式的混合运算能力。解题思路如下：
（1）按照题目给出的多项式除法竖式步骤，计算$x^3 - x^2 - 5x - 3$除以$x+1$，若余式为0则可以整除；
（2）同样用多项式竖式除法计算$3x^2 + 5x -7$除以$x+2$，分别得到商式和余式；
（3）先根据长方形A、B的周长关系求出$a$的值，再计算长方形B的面积，结合B、C的面积关系得到C的面积，最后用C的面积除以已知边长得到邻边长。
【解析】
（1）判断：能被整除，理由如下：
将被除式$x^3 - x^2 -5x -3$按$x$降幂排列，除式为$x+1$，列竖式计算：
第一步：$x^3÷ x = x^2$，用$x^2$乘$x+1$得$x^3+x^2$，与被除式前两项相减：$(x^3 -x^2)-(x^3+x^2)=-2x^2$，落下$-5x$得$-2x^2-5x$；
第二步：$-2x^2÷ x=-2x$，用$-2x$乘$x+1$得$-2x^2-2x$，相减：$(-2x^2-5x)-(-2x^2-2x)=-3x$，落下$-3$得$-3x-3$；
第三步：$-3x÷ x=-3$，用$-3$乘$x+1$得$-3x-3$，相减得0，余式为0，因此$x^3 - x^2 -5x -3$能被$x+1$整除。
（2）计算$3x^2 +5x -7÷(x+2)$：
第一步：$3x^2÷ x=3x$，乘$x+2$得$3x^2+6x$，相减得$(3x^2+5x)-(3x^2+6x)=-x$，落下$-7$得$-x-7$；
第二步：$-x÷ x=-1$，乘$x+2$得$-x-2$，相减得$(-x-7)-(-x-2)=-5$，因此商式为$3x-1$，余式为$-5$。
（3）首先计算长方形A的周长：
$C_A=2×[(x+2)+(x-2)]=2×2x=4x$
长方形B的长为$(x+2)+6=x+8$，宽为$(x-2)+a=x+a-2$，其周长为：
$C_B=2×[(x+8)+(x+a-2)]=2×(2x+a+6)=4x+2a+12$
由$C_B=2C_A$得：$4x+2a+12=2×4x$，解得$a=2x-6$
则长方形B的宽为$x+(2x-6)-2=3x-8$，B的面积为：
$S_B=(x+8)(3x-8)=3x^2-8x+24x-64=3x^2+16x-64$
由题意得长方形C的面积为$S_C=S_B-76=3x^2+16x-64-76=3x^2+16x-140$
已知C的一边长为$x+10$，则邻边长为$(3x^2+16x-140)÷(x+10)$，用多项式除法计算得商为$3x-14$，即邻边长为$3x-14$。
【答案】
(1)能，理由见解析；
(2)$3x-1$，$-5$；
(3)$3x-14$
【知识点】
多项式除以多项式，长方形周长与面积计算，整式的混合运算
【点评】
本题采用类比迁移的新考法，引导学生将整数除法的方法运用到多项式除法中，同时结合几何图形的性质考查整式运算的综合应用，既锻炼了知识迁移能力，也巩固了整式运算的基础，符合对探究能力的考查要求。
【难度系数】
0.6
