7. 已知在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$ 对应的边分别为 $a$,$b$,$c$,$\angle C = 90^{\circ}$,$c = 34$,且 $a:b = 8:15$,试求 $\triangle ABC$ 的周长。

【解析】：本题可先根据已知条件设出$a$、$b$的表达式，再利用勾股定理求出$a$、$b$的值，最后计算出$\triangle ABC$的周长。
- **步骤一：设未知数**
已知$a:b = 8:15$，则可设$a = 8x$，$b = 15x$（$x\gt0$）。
- **步骤二：根据勾股定理求出$x$的值**
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据勾股定理可知$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
将$a = 8x$，$b = 15x$，$c = 34$代入到$a^{2}+b^{2}=c^{2}$中，可得$(8x)^{2}+(15x)^{2}=34^{2}$。
分别计算等式左边各项：
$(8x)^{2}=8^{2}× x^{2}=64x^{2}$
$(15x)^{2}=15^{2}× x^{2}=225x^{2}$
则$64x^{2}+225x^{2}=34^{2}$，即$289x^{2}=1156$。
等式两边同时除以$289$可得$x^{2}=4$，因为$x\gt0$，所以$x = 2$。
- **步骤三：求出$a$、$b$的值**
将$x = 2$代入$a = 8x$，可得$a = 8×2 = 16$；
将$x = 2$代入$b = 15x$，可得$b = 15×2 = 30$。
- **步骤四：计算$\triangle ABC$的周长**
三角形的周长等于三边之和，则$\triangle ABC$的周长为$a + b + c = 16 + 30 + 34 = 80$。
【答案】：$80$

8. 在矩形 $ABCD$ 中,点 $E$ 是 $BC$ 上一点,$AE = AD$,$DF\perp AE$,垂足为 $F$。
求证：$DF = DC$。

证明：在矩形$ABCD$中，$AB = DC$，$AD// BC$，$\angle B = 90^{\circ}$，$\therefore\angle DAF=\angle AEB$，$\because DF\perp AE$，$\therefore\angle AFD = 90^{\circ}$，$\therefore\angle AFD=\angle B$，又$\because AE = AD$，$\therefore\triangle ABE\cong\triangle DFA$，$\therefore DF = AB$，$\because AB = DC$，$\therefore DF = DC$。

【解析】：
1. 首先，因为四边形$ABCD$是矩形：
所以$AB = DC$，$AD// BC$，$\angle B = 90^{\circ}$。
由$AD// BC$可得$\angle DAF=\angle AEB$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$DF\perp AE$，所以$\angle AFD = 90^{\circ}$，则$\angle AFD=\angle B$。
2. 然后，已知$AE = AD$：
在$\triangle ABE$和$\triangle DFA$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle AFD\\\angle AEB=\angle DAF\\AE = AD\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）判定定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle DFA$。
3. 最后：
因为全等三角形的对应边相等，且$AB = DC$，$\triangle ABE\cong\triangle DFA$，所以$DF = AB$，进而$DF = DC$。
【答案】：
在矩形$ABCD$中，$AB = DC$，$AD// BC$，$\angle B = 90^{\circ}$，$\therefore\angle DAF=\angle AEB$，$\because DF\perp AE$，$\therefore\angle AFD = 90^{\circ}$，$\therefore\angle AFD=\angle B$，又$\because AE = AD$，$\therefore\triangle ABE\cong\triangle DFA(AAS)$，$\therefore DF = AB$，$\because AB = DC$，$\therefore DF = DC$。

9. 如图直线 $l_1$ 的解析表达式为 $y = x + 1$,且 $l_1$ 与 $x$ 轴交于点 $B(-1,0)$,与 $y$ 轴交于点 $D$。$l_2$ 与 $y$ 轴的交点为 $C(0,-2)$,直线 $l_1$、$l_2$ 相交于点 $A$,结合图象解答下列问题：
(1) 求 $\triangle ADC$ 的面积；
(2) 求直线 $l_2$ 表示的一次函数的解析式；
(3) 当 $x$ 为何值时,$l_1$、$l_2$ 表示的两个函数的函数值都大于 $0$。

【解析】：
### $(1)$ 求$\triangle ADC$的面积
- 首先求点$D$的坐标：
已知直线$l_1$的解析式为$y = x + 1$，令$x = 0$，则$y=0 + 1=1$，所以$D(0,1)$。
- 然后求$DC$的长度：
已知$C(0,-2)$，根据两点间距离公式$d=\vert y_1 - y_2\vert$（$y_1,y_2$为两点纵坐标），可得$\vert DC\vert=\vert1-(-2)\vert = 3$。
- 最后求$\triangle ADC$的面积：
点$A$的横坐标为$2$，$\triangle ADC$以$DC$为底，点$A$横坐标的绝对值为高，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}×\vert DC\vert×\vert x_A\vert=\frac{1}{2}×3×2 = 3$。
### $(2)$ 求直线$l_2$表示的一次函数的解析式
设直线$l_2$的解析式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
已知$A(2,3)$，$C(0,-2)$，将点代入解析式可得$\begin{cases}b=-2\\2k + b=3\end{cases}$。
把$b = - 2$代入$2k + b=3$，得$2k-2 = 3$，$2k=3 + 2=5$，解得$k=\frac{5}{2}$。
所以直线$l_2$的解析式为$y=\frac{5}{2}x-2$。
### $(3)$ 求当$x$为何值时，$l_1$、$l_2$表示的两个函数的函数值都大于$0$
- 求$l_1$中$y＞0$时$x$的取值范围：
对于$y = x + 1$，令$y＞0$，即$x + 1＞0$，解得$x＞-1$。
- 求$l_2$中$y＞0$时$x$的取值范围：
对于$y=\frac{5}{2}x-2$，令$y＞0$，即$\frac{5}{2}x-2＞0$，$\frac{5}{2}x＞2$，解得$x＞\frac{4}{5}$。
取两者的交集，可得当$x＞\frac{4}{5}$时，$l_1$、$l_2$表示的两个函数的函数值都大于$0$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{3}$；
$(2)$$\boldsymbol{y=\frac{5}{2}x - 2}$；
$(3)$$\boldsymbol{x＞\frac{4}{5}}$。