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一、选择题
1. 如图，直线 $ l_{1} // l_{2} $，直线 $ l_{3} $ 交 $ l_{1} $ 于点 $ A $，交 $ l_{2} $ 于点 $ B $。过点 $ B $ 的直线 $ l_{4} $ 交 $ l_{1} $ 于点 $ C $。若 $ ∠ 3 = 50^{\circ} $，$ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 240^{\circ} $，则 $ ∠ 4 $ 等于(
A.$ 80^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 50^{\circ} $
1. 如图，直线 $ l_{1} // l_{2} $，直线 $ l_{3} $ 交 $ l_{1} $ 于点 $ A $，交 $ l_{2} $ 于点 $ B $。过点 $ B $ 的直线 $ l_{4} $ 交 $ l_{1} $ 于点 $ C $。若 $ ∠ 3 = 50^{\circ} $，$ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 240^{\circ} $，则 $ ∠ 4 $ 等于(
B
)。A.$ 80^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 50^{\circ} $
答案
1. B
解析
解：
∵ $ l_{1} // l_{2} $，
∴ $ ∠1 = ∠3 + ∠2 $（两直线平行，同位角相等）。
∵ $ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 240^{\circ} $，$ ∠3 = 50^{\circ} $，
∴ $ (∠3 + ∠2) + ∠2 + ∠3 = 240^{\circ} $，
即 $ 2∠2 + 2∠3 = 240^{\circ} $，
$ ∠2 + ∠3 = 120^{\circ} $，
$ ∠2 = 120^{\circ} - 50^{\circ} = 70^{\circ} $。
∵ $ l_{1} // l_{2} $，
∴ $ ∠4 = ∠2 = 70^{\circ} $（两直线平行，内错角相等）。
答案：B
∵ $ l_{1} // l_{2} $，
∴ $ ∠1 = ∠3 + ∠2 $（两直线平行，同位角相等）。
∵ $ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 240^{\circ} $，$ ∠3 = 50^{\circ} $，
∴ $ (∠3 + ∠2) + ∠2 + ∠3 = 240^{\circ} $，
即 $ 2∠2 + 2∠3 = 240^{\circ} $，
$ ∠2 + ∠3 = 120^{\circ} $，
$ ∠2 = 120^{\circ} - 50^{\circ} = 70^{\circ} $。
∵ $ l_{1} // l_{2} $，
∴ $ ∠4 = ∠2 = 70^{\circ} $（两直线平行，内错角相等）。
答案：B
2. 如图，如果 $ AB // CD $，$ CD // EF $，那么 $ ∠ BCE $ 等于(
A.$ ∠ 1 + ∠ 2 $
B.$ ∠ 2 - ∠ 1 $
C.$ 180^{\circ} - ∠ 2 + ∠ 1 $
D.$ 180^{\circ} - ∠ 1 + ∠ 2 $
C
)。A.$ ∠ 1 + ∠ 2 $
B.$ ∠ 2 - ∠ 1 $
C.$ 180^{\circ} - ∠ 2 + ∠ 1 $
D.$ 180^{\circ} - ∠ 1 + ∠ 2 $
答案
2. C
解析
解：
∵ $ AB // CD $，
∴ $ ∠1 = ∠BCD $（两直线平行，内错角相等）。
∵ $ CD // EF $，
∴ $ ∠DCE + ∠2 = 180° $（两直线平行，同旁内角互补），
∴ $ ∠DCE = 180° - ∠2 $。
∵ $ ∠BCE = ∠BCD + ∠DCE $，
∴ $ ∠BCE = ∠1 + (180° - ∠2) = 180° - ∠2 + ∠1 $。
答案：C
∵ $ AB // CD $，
∴ $ ∠1 = ∠BCD $（两直线平行，内错角相等）。
∵ $ CD // EF $，
∴ $ ∠DCE + ∠2 = 180° $（两直线平行，同旁内角互补），
∴ $ ∠DCE = 180° - ∠2 $。
∵ $ ∠BCE = ∠BCD + ∠DCE $，
∴ $ ∠BCE = ∠1 + (180° - ∠2) = 180° - ∠2 + ∠1 $。
答案：C
3. 如图，已知 $ AB // CD // EF $，$ BC // AD $，$ AC $ 平分 $ ∠ BAD $，那么图中与 $ ∠ AGE $ 相等的角有(
A.$ 5 $ 个
B.$ 4 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 2 $ 个
A
)。A.$ 5 $ 个
B.$ 4 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 2 $ 个
答案
3. A
解析
证明：
∵ $AB // CD // EF$，$BC // AD$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $∠BAD = ∠BCD$，$∠B = ∠D$，$AD // BC$。
∵ $AC$ 平分 $∠BAD$，
∴ $∠BAC = ∠DAC$。
∵ $AB // EF$，
∴ $∠AGE = ∠BAC$（内错角相等）。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠DAC = ∠ACB$（内错角相等），
∴ $∠AGE = ∠BAC = ∠DAC = ∠ACB$。
∵ $CD // EF$，
∴ $∠AGE = ∠ACD$（同位角相等）。
∵ $AB // CD$，
∴ $∠BAC = ∠ACD$（内错角相等），
∴ $∠AGE = ∠ACD$。
综上，与 $∠AGE$ 相等的角有：$∠BAC$、$∠DAC$、$∠ACB$、$∠ACD$、$∠CGF$（对顶角相等），共 5 个。
答案：A
∵ $AB // CD // EF$，$BC // AD$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $∠BAD = ∠BCD$，$∠B = ∠D$，$AD // BC$。
∵ $AC$ 平分 $∠BAD$，
∴ $∠BAC = ∠DAC$。
∵ $AB // EF$，
∴ $∠AGE = ∠BAC$（内错角相等）。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠DAC = ∠ACB$（内错角相等），
∴ $∠AGE = ∠BAC = ∠DAC = ∠ACB$。
∵ $CD // EF$，
∴ $∠AGE = ∠ACD$（同位角相等）。
∵ $AB // CD$，
∴ $∠BAC = ∠ACD$（内错角相等），
∴ $∠AGE = ∠ACD$。
综上，与 $∠AGE$ 相等的角有：$∠BAC$、$∠DAC$、$∠ACB$、$∠ACD$、$∠CGF$（对顶角相等），共 5 个。
答案：A
二、填空题
4. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若 $ ∠ 1 = 20^{\circ} $，则 $ ∠ 2 $ 的度数为
4. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若 $ ∠ 1 = 20^{\circ} $，则 $ ∠ 2 $ 的度数为
140°
。答案
4. 140°
5. 如图，$ AB // EF // CD $，$ ∠ 1 = ∠ B $，$ ∠ 2 = ∠ D $，则 $ ∠ BED = $
90°
。答案
5. 90°
解析
解：因为 $AB // EF$，所以 $∠ 1 = ∠ BEF$（两直线平行，内错角相等）。
又因为 $∠ 1 = ∠ B$，所以 $∠ BEF = ∠ B$。
因为 $CD // EF$，所以 $∠ 2 = ∠ DEF$（两直线平行，内错角相等）。
又因为 $∠ 2 = ∠ D$，所以 $∠ DEF = ∠ D$。
在 $△ ABE$ 中，$∠ A = 90°$，所以 $∠ B + ∠ 1 = 90°$，即 $2∠ BEF = 90°$，故 $∠ BEF = 45°$。
同理，在 $△ CDE$ 中，$∠ C = 90°$，所以 $∠ D + ∠ 2 = 90°$，即 $2∠ DEF = 90°$，故 $∠ DEF = 45°$。
因此，$∠ BED = ∠ BEF + ∠ DEF = 45° + 45° = 90°$。
$90°$
又因为 $∠ 1 = ∠ B$，所以 $∠ BEF = ∠ B$。
因为 $CD // EF$，所以 $∠ 2 = ∠ DEF$（两直线平行，内错角相等）。
又因为 $∠ 2 = ∠ D$，所以 $∠ DEF = ∠ D$。
在 $△ ABE$ 中，$∠ A = 90°$，所以 $∠ B + ∠ 1 = 90°$，即 $2∠ BEF = 90°$，故 $∠ BEF = 45°$。
同理，在 $△ CDE$ 中，$∠ C = 90°$，所以 $∠ D + ∠ 2 = 90°$，即 $2∠ DEF = 90°$，故 $∠ DEF = 45°$。
因此，$∠ BED = ∠ BEF + ∠ DEF = 45° + 45° = 90°$。
$90°$
6. 如图，$ AB // CD $，$ BF $ 平分 $ ∠ ABE $，$ DF $ 平分 $ ∠ CDE $，$ ∠ BED = 75^{\circ} $，则 $ ∠ BFD = $
37.5°
。答案
6. 37.5°
解析
解：过点$E$作$EG// AB$，
因为$AB// CD$，所以$EG// CD$，
则$∠ ABE = ∠ BEG$，$∠ CDE = ∠ DEG$，
所以$∠ BED = ∠ BEG + ∠ DEG = ∠ ABE + ∠ CDE = 75^{\circ}$。
过点$F$作$FH// AB$，
因为$AB// CD$，所以$FH// CD$，
则$∠ ABF = ∠ BFH$，$∠ CDF = ∠ DFH$。
因为$BF$平分$∠ ABE$，$DF$平分$∠ CDE$，
所以$∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABE$，$∠ CDF = \frac{1}{2}∠ CDE$，
所以$∠ BFD = ∠ BFH + ∠ DFH = \frac{1}{2}∠ ABE + \frac{1}{2}∠ CDE = \frac{1}{2}(∠ ABE + ∠ CDE) = \frac{1}{2}×75^{\circ} = 37.5^{\circ}$。
$37.5^{\circ}$
因为$AB// CD$，所以$EG// CD$，
则$∠ ABE = ∠ BEG$，$∠ CDE = ∠ DEG$，
所以$∠ BED = ∠ BEG + ∠ DEG = ∠ ABE + ∠ CDE = 75^{\circ}$。
过点$F$作$FH// AB$，
因为$AB// CD$，所以$FH// CD$，
则$∠ ABF = ∠ BFH$，$∠ CDF = ∠ DFH$。
因为$BF$平分$∠ ABE$，$DF$平分$∠ CDE$，
所以$∠ ABF = \frac{1}{2}∠ ABE$，$∠ CDF = \frac{1}{2}∠ CDE$，
所以$∠ BFD = ∠ BFH + ∠ DFH = \frac{1}{2}∠ ABE + \frac{1}{2}∠ CDE = \frac{1}{2}(∠ ABE + ∠ CDE) = \frac{1}{2}×75^{\circ} = 37.5^{\circ}$。
$37.5^{\circ}$
