11 如图，我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形的内切圆的半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为.

11.289

12 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，点E是$△ ABC$的内心，AE的延长线交BC于点F，交$\odot O$于点D，连结BD，BE.
(1) 求证:$DB=DE$；
(2) 若$AE=3$，$DF=4$，求BD的长.

12. (1) 因为点 E 是$△ ABC$的内心,所以 AE 平分$∠BAC$,BE 平分$∠ABC$. 所以$∠BAD=∠CAD$,$∠ABE=∠CBE$. 又因为$∠CAD=∠CBD$,所以$∠CBD=∠BAD$. 因为$∠BED=∠ABE+∠BAD$,$∠DBE=∠CBE+∠CBD$,所以$∠BED=∠DBE$. 所以$DB=DE$ (2) 因为$∠D=∠D$,$∠BAD=∠FBD$,所以$△ ABD ∽ △ BFD$. 所以$\dfrac{BD}{FD}=\dfrac{AD}{BD}$. 设$EF=x$. 因为$DF=4$,$AE=3$,所以$BD=DE=DF+EF=4+x$,$AD=AE+DF+EF=3+4+x=7+x$. 所以$\dfrac{4+x}{4}=\dfrac{7+x}{4+x}$,解得$x_1=2$,$x_2=-6$(不合题意,舍去). 经检验,$x=2$是原分式方程的解,且符合题意. 所以$BD=4+2=6$

13 如图，$\odot O$是以原点O为圆心，1为半径的圆，$∠ AOB=45°$，点P在x轴上运动.若过点P且与OA平行的直线与$\odot O$有公共点，设$OP=x$，则x的取值范围是（）

A.$0＜x≤\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}≤ x≤\sqrt{2}$
C.$-1≤ x≤1$
D.$x＞\sqrt{2}$

13.A

14 如图，OA是$\odot O$的半径，BC是$\odot O$的弦，OA⊥BC于点D，AE是$\odot O$的切线，AE交OC的延长线于点E。若$∠ AOC=45°$，BC=2，则线段AE的长为。

14.$\sqrt{2}$

15 如图，在平面直角坐标系中，以点$M(2,3)$为圆心，$AB$为直径的圆与$x$轴相切，与$y$轴交于$A$，$C$两点，则点$B$的坐标为。

15.$(4,3-\sqrt{5})$

16 [2026金华婺城期中]如图，AB是$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，点D在AB的延长线上，$∠ BCD=∠ A$。
(1)求证:$CD$是$\odot O$的切线；
(2)若$∠ D=30°,\odot O$的半径为6 cm,求涂色部分的面积.

16. (1) 如图,连结 CO. 因为 AB 是$\odot O$的直径,所以$∠ACB=90°$. 所以$∠ACO+∠BCO=90°$. 因为$OA=OC$,所以$∠ACO=∠A$. 因为$∠BCD=∠A$,所以$∠ACO=∠BCD$. 所以$∠BCD+∠BCO=90°$,即$∠OCD=90°$. 所以$OC⊥CD$. 因为 OC 是$\odot O$的半径,所以 CD 是$\odot O$的切线 (2) 如图,过点 C 作$CE⊥AB$于点 E. 因为$∠D=30°$,$∠OCD=90°$,所以$∠COD=60°$,$∠AOC=∠D+∠OCD=120°$. 因为$CE⊥AB$,所以在$Rt△OCE$中,$CE=OC·\sin60°=3\sqrt{3}$ cm. 所以$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$,$S_{扇形OAC}=\dfrac{120π·6^2}{360}=12π(\mathrm{cm}^2)$. 所以涂色部分的面积$=S_{扇形OAC}-S_{△ AOC}=(12π-9\sqrt{3})\mathrm{cm}^2$