17 [2025 浙江模拟]如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$,点 $D$ 在 $AB$ 上,以 $CD$ 为直径作$\odot O$,过点 $D$ 作$\odot O$ 的切线交 $AC$ 于点 $E$,且 $AE=DE$.
(1)求证:$CD=BC$;
(2)若 $BC=5$,$BD=6$,求 $DE$ 的长.

17. (1) 因为 DE 是$\odot O$的切线,所以$∠CDE=90°$. 所以$∠ADE+∠CDB=90°$. 因为$AE=DE$,所以$∠A=∠ADE$. 所以$∠A+∠CDB=90°$. 因为$∠ACB=90°$,所以$∠A+∠B=90°$. 所以$∠CDB=∠B$. 所以$CD=BC$ (2) 设 BD 与$\odot O$交于点 F,连结 CF. 因为 CD 为$\odot O$的直径,所以$∠CFD=90°$. 所以$∠BCF+∠B=90°$. 又因为$∠A+∠B=90°$,所以$∠BCF=∠A$. 由(1),知$CD=BC=5$,所以$DF=BF=\dfrac{1}{2}BD=3$. 所以在$Rt△CBF$中,$CF=\sqrt{BC^2-BF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$. 因为$∠CFB=∠ACB=90°$,$∠B=∠B$,所以$△ CFB ∽ △ ACB$. 所以$\dfrac{CF}{AC}=\dfrac{BF}{BC}$,即$\dfrac{4}{AC}=\dfrac{3}{5}$. 所以$AC=\dfrac{20}{3}$. 设$DE=x$,则$AE=x$,所以$CE=\dfrac{20}{3}-x$. 因为$CE^2=DE^2+CD^2$,所以$(\dfrac{20}{3}-x)^2=x^2+5^2$. 所以$x=\dfrac{35}{24}$. 所以$DE=\dfrac{35}{24}$

18 如图，$\odot I$是$△ ABC$的内切圆，与$AB$，$BC$，$CA$分别切于点$F$，$D$，$E$，连结$BI$，$CI$，$FD$，$ED$.
（1）若$∠ A = 40°$，求$∠ BIC$与$∠ FDE$的度数；
（2）若$∠ BIC = α$，$∠ FDE = β$，试猜想$α$，$β$之间的数量关系，并证明你的结论.

18. (1) 连结 IF,IE. 因为$\odot I$是$△ ABC$的内切圆,所以$∠IBC=\dfrac{1}{2}∠ABC$,$∠ICB=\dfrac{1}{2}∠ACB$. 所以$∠IBC+∠ICB=\dfrac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)$. 因为$∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°$,所以$∠IBC+∠ICB=70°$. 所以$∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=110°$. 因为$\odot I$是$△ ABC$的内切圆,所以$∠IFA=∠IEA=90°$. 因为$∠A=40°$,所以$∠FIE=360°-∠IFA-∠IEA-∠A=140°$. 所以$∠FDE=\dfrac{1}{2}∠FIE=70°$ (2) $α+β=180°$ 由(1)易知,$∠A=180°-2∠FDE$. 又因为$∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-\dfrac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=180°-\dfrac{1}{2}(180°-∠A)=90°+\dfrac{1}{2}∠A$,所以$∠BIC=90°+\dfrac{1}{2}(180°-2∠FDE)=180°-∠FDE$,即$∠BIC+∠FDE=180°$. 因为$∠BIC=α$,$∠FDE=β$,所以$α+β=180°$