6 [2025 绍兴新昌期末]如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，AC是直径，D是$\odot O$上的一个点，且$BD=BC$.
(1) 求证：$∠ BCD=∠ A$.
(2) E是DB延长线上的一点，连结CE.若CB恰好平分$∠ DCE$，求证：CE为$\odot O$的切线.

6. (1) 因为$BD=BC$,所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$. 所以$∠BCD=∠A$ (2) 因为$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,AC是直径,所以$∠ABC=90°$. 所以$∠A+∠ACB=90°$. 因为 CB 平分$∠DCE$,所以$∠BCD=∠BCE$. 因为$∠BCD=∠A$,所以$∠A=∠BCE$. 所以$∠BCE+∠ACB=90°$,即$∠ACE=90°$. 又因为 OC 是$\odot O$的半径,所以 CE 为$\odot O$的切线

7 [2025金华义乌期末]如图，AB是半圆O的直径，CD与半圆O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E.
（1）求证：BC是$∠ ABE$的平分线；
（2）若$DC=8$，半圆O的半径$OA=6$，求CE的长.

7. (1) 因为 CD 与半圆 O 相切于点 C,所以$OC⊥DC$. 因为$BE⊥DC$,所以$BE// OC$. 所以$∠EBC=∠OCB$. 因为$OC=OB$,所以$∠OCB=∠OBC$. 所以$∠EBC=∠OBC$,即 BC 是$∠ABE$的平分线 (2) 过点 C 作$CM⊥BD$于点 M. 因为 BC 是$∠ABE$的平分线,$BE⊥CE$,所以$CE=CM$. 因为$OC⊥DC$,所以$∠OCD=90°$. 因为$DC=8$,$OC=OA=6$,所以$OD=\sqrt{DC^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$. 因为$S_{△ DCO}=\dfrac{1}{2}CD·OC=\dfrac{1}{2}OD·CM$,所以$8×6=10CM$,解得$CM=4.8$. 所以$CE=CM=4.8$

8 新考向 探究题 [2025宁波余姚模拟]如图，在$□ ABCD$中，$AB=10$，$AD=m$，$∠ D=60°$，以AB为直径作$\odot O$。
（1）求圆心O到CD的距离（用含m的代数式表示）；
（2）当m取何值时，CD与$\odot O$相切？

8. (1) 如图,分别过 A,O 两点作$AE⊥CD$,$OF⊥CD$,垂足分别为 E,F,所以$AE// OF$,OF 的长就是圆心 O 到 CD 的距离. 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以$AB// CD$. 所以$AE=OF$. 因为在$Rt△ADE$中,$∠D=60°$,$\sin D=\dfrac{AE}{AD}$,所以$\sin60°=\dfrac{AE}{m}$. 所以$\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{AE}{m}$. 所以$AE=\dfrac{\sqrt{3}}{2}m$. 所以$OF=AE=\dfrac{\sqrt{3}}{2}m$. 所以圆心 O 到 CD 的距离为$\dfrac{\sqrt{3}}{2}m$ (2) 因为 AB 为$\odot O$的直径,且$AB=10$,所以$\odot O$的半径为 5. 所以当$OF=5$时,CD 与$\odot O$相切于点 F,即$\dfrac{\sqrt{3}}{2}m=5$,解得$m=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$. 所以当$m=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$时,CD 与$\odot O$相切

9 [2025杭州钱塘模拟]如图，切线PA，PB分别与$\odot O$相切于点A，B，切线EF与$\odot O$相切于点C，且分别交PA，PB于点E，F。若$△ PEF$的周长为12，则线段PA的长为。

9.6

10 如图，正方形ABCD的边长为4，以正方形的一边BC为直径在正方形内作半圆O，再过点A作半圆O的切线，与半圆O切于点F，与DC交于点E。求线段AE的长。

10. 因为四边形 ABCD 是正方形,所以$∠ABC=∠D=90°$. 因为 OB 是半圆 O 的半径,所以 AB 与半圆 O 相切. 因为 AF 与半圆 O 相切,所以$AB=AF=4$. 同理,可得$FE=CE$. 设$FE=x$,则$EC=x$,$DE=4-x$,$AE=4+x$. 在$Rt△ADE$中,$AE^2=AD^2+DE^2$,所以$(4+x)^2=4^2+(4-x)^2$,解得$x=1$. 所以$AE=4+1=5$