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3.如图所示，平面上的四边形ABCD是一个“风筝”的骨架，其中AC是∠BAD的平分线，∠ABC=∠ADC=90°。
求证：AC垂直平分BD。
求证：AC垂直平分BD。
答案
3. 证明:因为 AC 是$∠BAD$ 的平分线，
所以$∠BAC=∠DAC.$
在$△ABC$ 和$△ADC$ 中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠DAC,\\ ∠ABC=∠ADC,\\ AC=AC, \end{cases}$
所以$△ABC≌△ADC(\mathrm{AAS}),$
所以$AB=AD,BC=DC,$
所以 A,C 两点都在线段 BD 的垂直平分线上，
所以 AC 垂直平分 BD.
所以$∠BAC=∠DAC.$
在$△ABC$ 和$△ADC$ 中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠DAC,\\ ∠ABC=∠ADC,\\ AC=AC, \end{cases}$
所以$△ABC≌△ADC(\mathrm{AAS}),$
所以$AB=AD,BC=DC,$
所以 A,C 两点都在线段 BD 的垂直平分线上，
所以 AC 垂直平分 BD.
【例3】下列命题的逆命题是真命题的是
（
A.对顶角相等
B.全等三角形的面积相等
C.如果 $a＞0,b＞0$，那么 $ab＞0$
D.两直线平行，内错角相等
【规律方法】
（1）所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理.
（2）真命题的逆命题不一定是真命题.
（
D
）A.对顶角相等
B.全等三角形的面积相等
C.如果 $a＞0,b＞0$，那么 $ab＞0$
D.两直线平行，内错角相等
【规律方法】
（1）所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理.
（2）真命题的逆命题不一定是真命题.
答案
【例3】 D
4.定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是
有两个角互余的三角形是直角三角形
。答案
4. 有两个角互余的三角形是直角三角形
5.写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题.
(1)若$ac^2＞bc^2$，则$a＞b$；
(2)角平分线上的点到角的两边的距离相等；
(3)若$ab=0$，则$a=0$.
(1)若$ac^2＞bc^2$，则$a＞b$；
(2)角平分线上的点到角的两边的距离相等；
(3)若$ab=0$，则$a=0$.
答案
(1) 逆命题:若 $a＞b$, 则 $ac^2＞bc^2$.假命题.
(2) 逆命题:到角的两边距离相等的点在角平分线上.假命题.
(3) 逆命题:若 $a=0$, 则 $ab=0$.真命题.
(2) 逆命题:到角的两边距离相等的点在角平分线上.假命题.
(3) 逆命题:若 $a=0$, 则 $ab=0$.真命题.
【例4】如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于某条直线对称，请作出它们的对称轴。
解:
【规律方法】
利用尺规作图作线段的垂直平分线的应用
利用作线段的垂直平分线的方法和步骤，可以解决与线段的垂直、平分有关的作图问题，例如，作垂线、作直角三角形、找线段中点、作对称轴等。
解:
【规律方法】
利用尺规作图作线段的垂直平分线的应用
利用作线段的垂直平分线的方法和步骤，可以解决与线段的垂直、平分有关的作图问题，例如，作垂线、作直角三角形、找线段中点、作对称轴等。
答案
(作法不唯一)如图.(1)连接AE.
(2)分别以点 A 和点 E 为圆心,以大于$\frac{1}{2}AE$的长为半径作弧,两弧相交于点 M,点 N.
(3)作直线 MN,直线 MN 就是所求作的对称轴。
6.按下列要求作图.
已知:如图,线段AB.
求作:等腰直角三角形ABC,使AB=AC,∠BAC=90°.(不写作法,保留作图痕迹)
已知:如图,线段AB.
求作:等腰直角三角形ABC,使AB=AC,∠BAC=90°.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
6. 如图，△ABC为所求作的三角形。
综合与实践——知识建构与应用
利用线段垂直平分线确定位置
某数学实践小组开展“学数学，用数学”实践活动.
【知识准备】
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
(2)角的平分线上的点到角两边的距离
【确定位置】
数学实践小组要在公路$l$上找一点修建公交车站点，按设计要求，该站点到公路同侧的两个村庄$M$，$N$的距离相等，如图.该站点应建在
(
A.$A$处 B.$B$处 C.$C$处 D.$D$处
【拓展探究】
如图，两条公路$OA$和$OB$相交于点$O$，在$∠ AOB$的内部有工厂$C$和$D$.现要修建一个货站$P$到两条公路$OA$，$OB$的距离相等，且到两工厂$C$，$D$的距离相等.用尺规作出货站$P$的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)
利用线段垂直平分线确定位置
某数学实践小组开展“学数学，用数学”实践活动.
【知识准备】
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等
.(2)角的平分线上的点到角两边的距离
相等
.【确定位置】
数学实践小组要在公路$l$上找一点修建公交车站点，按设计要求，该站点到公路同侧的两个村庄$M$，$N$的距离相等，如图.该站点应建在
(
C
)A.$A$处 B.$B$处 C.$C$处 D.$D$处
【拓展探究】
如图，两条公路$OA$和$OB$相交于点$O$，在$∠ AOB$的内部有工厂$C$和$D$.现要修建一个货站$P$到两条公路$OA$，$OB$的距离相等，且到两工厂$C$，$D$的距离相等.用尺规作出货站$P$的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)
答案
(1). 相等
(2). 相等
【确定位置】
C
【拓展探究】
如图所示，连接CD，作线段CD的垂直平分线，作∠AOB的平分线以及∠AOB邻补角的平分线，交点分别为P和P₁，此时货站P和P₁到两条公路OA，OB的距离分别相等，且到两工厂C，D的距离也分别相等，故P和P₁都是所求作的点。
