8.如图 3-4-21,在$△ ABC$中,已知$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$BC=2\sqrt{3}$,$D$为$BC$的中点,$AE=\dfrac{1}{4}AB$,则$△ EBD$的面积为.

8. $\frac{3\sqrt{3}}{8}$

9.如图3-4-22，已知正方形ABCD的边长为8，E是DC上的一个动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF.
(1)求证：$△ ADE ∽ △ ECF$；
(2)若$△ ADE$的周长与$△ ECF$的周长之比为$4:3$，求BF的长.
图3-4-21

图3-4-22

9.(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠D=90°,AD=DC=8.
∵EF⊥AE,
∴∠AEF=90°.
∴∠AED+∠FEC=90°.
在Rt△ADE中,∠EAD+∠AED=90°,
∴∠FEC=∠EAD,且∠C=∠D=90°.
∴△ADE∽△CEF.
(2)解:
∵△ADE∽△ECF,
∴$\frac{AD}{EC}=\frac{DE}{CF}$.
∵△ADE的周长与△ECF的周长之比为4:3，
∴△ADE的边长与△ECF的边长之比为4:3，
即$\frac{AD}{EC}=\frac{DE}{CF}=\frac{4}{3}$.
∵AD=8,
∴EC=6.
∴DE=8-6=2.
∴$\frac{2}{CF}=\frac{4}{3}$.
∴CF=1.5.
∴BF=8-1.5=6.5.

10.如图3-4-23,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=2\sqrt{3}$,$AC=2\sqrt{2}$,$BE⊥ AB$于点$B$,$D$为射线$BE$上的一点,连接$AD$.若$△ ABD$与$△ ABC$相似.
(1)求$AD$的长;
(2)写出$△ ABD$与$△ ABC$的面积比.

10.解:(1)在Rt△ABC中,AB=2√3，
AC=2√2,∠ACB=90°,
∴BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}$=$\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(2\sqrt{2})^2}=2$.
当△ABD∽△ACB时,$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$,即$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{AD}{2\sqrt{3}}$,
解得$AD=3\sqrt{2}$；
当△ABD∽△BCA时,$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BA}$,即$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{2\sqrt{3}}$,解得$AD=6$.
∴AD的长为$3\sqrt{2}$或6.
(2)当△ABD∽△ACB时,面积比为$(\frac{AB}{AC})^2=(\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})^2=\frac{3}{2}$；
当△ABD ∽△BCA 时,面积比为$(\frac{AB}{BC})^2=(\frac{2\sqrt{3}}{2})^2=3$.
∴△ABD与△ABC的面积比为$\frac{3}{2}$或3.