11.如图3-4-24，已知$AB // CD$，$AD$，$BC$相交于点$F$，点$E$在$AD$上，且$∠ ECF = ∠ A$。
(1)求证：$CE^2 = FE · DE$；
(2)若$CE=5$，$EF=3$，求$△ CEF$与$△ CFD$的面积之比。

11.(1)证明:
∵AB//CD,
∴∠A=∠D.
又
∵∠ECF=∠A，
∴∠ECF=∠D.
∵∠CEF=∠DEC，
∴△CEF∽△DEC.
∴$\frac{CE}{DE}=\frac{FE}{EC}$.
∴$CE^2=FE·DE$.
(2)解:
∵$\frac{CE}{DE}=\frac{FE}{EC}$,
∴$CE^2=DE·FE$.
∵CE=5,EF=3,
∴$5^2=3DE$.
∴$DE=\frac{25}{3}$.
∴$DF=DE-EF=\frac{16}{3}$.
∴△CEF与△CFD的面积之比为$EF:DF=3:\frac{16}{3}=9:16$.

12.如图3-4-25，点E，F，G，H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF，CE，交点为M，连接AG，CH，交点为N。
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)若AMCN的面积为4，求平行四边形ABCD的面积。

图3-4-25

12.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AD//BC,AB=CD，AD=BC.
∵E,F,G,H分别是ABCD各边的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=CG$，AE//CG.
∴四边形AECG为平行四边形.
同理,可得四边形AFCH为平行四边形，
∴AM//CN,AN//CM.
∴四边形AMCN是平行四边形.
(2)解:连接HG,AC,EF,如图
∵H,G为AD,CD的中点，
∴HG//AC,$HG=\frac{1}{2}AC$.
∴△HNG∽△CNA.
∴$\frac{HN}{CN}=\frac{HG}{CA}=\frac{1}{2}$.
∴$\frac{S_{△ANH}}{S_{△ANC}}=\frac{HN}{CN}=\frac{1}{2}$.
同理,可得$\frac{S_{△FMC}}{S_{△AMC}}=\frac{1}{2}$，
∴$S_{△ANH}+S_{△FMC}=\frac{1}{2}(S_{△ANC}+S_{△AMC})=\frac{1}{2}S_{▱AMCN}=2$.
∴$S_{▱AFCH}=S_{△ANH}+S_{△FMC}+S_{▱AMCN}=2+4=6$.
∵$AH=\frac{1}{2}AD$，
∴$S_{▱ABCD}=2S_{▱AFCH}=12$.