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9.学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示.某班学生在一节数学课中的注意力指数y关于上课时间x(单位:min)的变化图象如图所示.上课开始时注意力指数为30,第2 min时注意力指数为40,前10 min内注意力指数y是时间x的一次函数.10 min以后注意力指数y是x的反比例函数.
(1)当0≤x≤10时,求y关于x的函数解析式.
(2)当10≤x≤40时,求y关于x的函数解析式.
(3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50,为了保证教学效果,本节课应该在哪个时间段讲完这道题？
(1)当0≤x≤10时,求y关于x的函数解析式.
(2)当10≤x≤40时,求y关于x的函数解析式.
(3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50,为了保证教学效果,本节课应该在哪个时间段讲完这道题？
答案
(1) $y=5x+30$
(2) $y=\frac{800}{x}$
(3) 第4 min至第16 min
(2) $y=\frac{800}{x}$
(3) 第4 min至第16 min
解析
【分析】
本题分三小问求解，解题思路如下：
(1) 已知0≤x≤10时y是x的一次函数，且函数过(0,30)、(2,40)两个点，采用待定系数法设一次函数解析式为y=kx+b，代入两点坐标求出k、b的值，即可得到对应解析式。
(2) 已知10≤x≤40时y是x的反比例函数，首先通过第一问的一次函数求出x=10时的y值，得到反比例函数经过的点坐标，再设反比例函数解析式为y=k/x，代入点坐标求出k值，即可得到反比例函数解析式。
(3) 要求注意力指数不小于50，即y≥50，分别在两个函数的取值范围内列不等式求解，再将两个解的范围合并，即可得到符合要求的时间段。
【解析】
(1) 当$0≤x≤10$时，设y关于x的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$
由题意知函数图象过点$(0,30)$和$(2,40)$，代入得：
$\begin{cases} b=30 \\ 2k+b=40 \end{cases}$
把$b=30$代入$2k+b=40$，得$2k+30=40$，解得$k=5$
∴当$0≤x≤10$时，函数解析式为$y=5x+30$。
(2) 先求$x=10$时的注意力指数，把$x=10$代入$y=5x+30$，得：
$y=5×10+30=80$
即反比例函数图象过点$(10,80)$，当$10≤x≤40$时，设y关于x的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$
将$(10,80)$代入得：$80=\frac{k}{10}$，解得$k=800$
∴当$10≤x≤40$时，函数解析式为$y=\frac{800}{x}$。
(3) 由题意要求注意力指数不小于50，即$y≥50$：
① 当$0≤x≤10$时，令$5x+30≥50$，解得$x≥4$，结合取值范围得$4≤x≤10$；
② 当$10≤x≤40$时，令$\frac{800}{x}≥50$，因$x＞0$，两边同乘x得$800≥50x$，解得$x≤16$，结合取值范围得$10≤x≤16$。
综合①②得$4≤x≤16$，即本节课应在第4 min至第16 min讲完这道题。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=5x+30(0≤x≤10)}$
(2) $\boldsymbol{y=\frac{800}{x}(10≤x≤40)}$
(3) 第4 min至第16 min
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；函数不等式的实际应用
【点评】
本题是一次函数与反比例函数结合的实际应用问题，核心考查待定系数法求函数解析式的能力，以及结合题意列不等式求解实际问题的能力。解题时要注意不同函数对应的自变量取值范围，避免取值范围出错导致结果错误，题目结合学习场景设计，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
本题分三小问求解，解题思路如下：
(1) 已知0≤x≤10时y是x的一次函数，且函数过(0,30)、(2,40)两个点，采用待定系数法设一次函数解析式为y=kx+b，代入两点坐标求出k、b的值，即可得到对应解析式。
(2) 已知10≤x≤40时y是x的反比例函数，首先通过第一问的一次函数求出x=10时的y值，得到反比例函数经过的点坐标，再设反比例函数解析式为y=k/x，代入点坐标求出k值，即可得到反比例函数解析式。
(3) 要求注意力指数不小于50，即y≥50，分别在两个函数的取值范围内列不等式求解，再将两个解的范围合并，即可得到符合要求的时间段。
【解析】
(1) 当$0≤x≤10$时，设y关于x的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$
由题意知函数图象过点$(0,30)$和$(2,40)$，代入得：
$\begin{cases} b=30 \\ 2k+b=40 \end{cases}$
把$b=30$代入$2k+b=40$，得$2k+30=40$，解得$k=5$
∴当$0≤x≤10$时，函数解析式为$y=5x+30$。
(2) 先求$x=10$时的注意力指数，把$x=10$代入$y=5x+30$，得：
$y=5×10+30=80$
即反比例函数图象过点$(10,80)$，当$10≤x≤40$时，设y关于x的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$
将$(10,80)$代入得：$80=\frac{k}{10}$，解得$k=800$
∴当$10≤x≤40$时，函数解析式为$y=\frac{800}{x}$。
(3) 由题意要求注意力指数不小于50，即$y≥50$：
① 当$0≤x≤10$时，令$5x+30≥50$，解得$x≥4$，结合取值范围得$4≤x≤10$；
② 当$10≤x≤40$时，令$\frac{800}{x}≥50$，因$x＞0$，两边同乘x得$800≥50x$，解得$x≤16$，结合取值范围得$10≤x≤16$。
综合①②得$4≤x≤16$，即本节课应在第4 min至第16 min讲完这道题。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=5x+30(0≤x≤10)}$
(2) $\boldsymbol{y=\frac{800}{x}(10≤x≤40)}$
(3) 第4 min至第16 min
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；函数不等式的实际应用
【点评】
本题是一次函数与反比例函数结合的实际应用问题，核心考查待定系数法求函数解析式的能力，以及结合题意列不等式求解实际问题的能力。解题时要注意不同函数对应的自变量取值范围，避免取值范围出错导致结果错误，题目结合学习场景设计，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
10.【背景】在一次物理实验中，小冉用一固定电压为12 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值$R_{L}=2\ \Omega$)亮度的实验(
)。已知串联电路中，电流与电阻$R,R_{L}$之间的关系式为$I=\frac{U}{R+R_{L}}$，通过实验得出如下数据：
(1)$a=$
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$，结合表格信息，探究函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$的图象与性质。
①在如图2所示的平面直角坐标系中画出函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$的图象；
②随着自变量$x$的不断增大，函数值$y$的变化趋势是
(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当$x≥0$时，$\frac{12}{x+2}＜-\frac{3}{2}x+6$的解集为
)。已知串联电路中，电流与电阻$R,R_{L}$之间的关系式为$I=\frac{U}{R+R_{L}}$，通过实验得出如下数据：(1)$a=$
2
，$b=$1.5
。(2)【探究】根据以上实验，构建出函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$，结合表格信息，探究函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$的图象与性质。
①在如图2所示的平面直角坐标系中画出函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$的图象；
②随着自变量$x$的不断增大，函数值$y$的变化趋势是
逐渐减小
。(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当$x≥0$时，$\frac{12}{x+2}＜-\frac{3}{2}x+6$的解集为
$0＜x＜2$
。答案
(1) 2，1.5
(2) ① 图略
② 逐渐减小
(3) $0＜x＜2$
(2) ① 图略
② 逐渐减小
(3) $0＜x＜2$
解析
【分析】
(1) 第一问直接代入题干给出的串联电路电流公式$I=\frac{U}{R+R_L}$，将对应电阻值代入即可算出电流$a$、$b$的值；
(2) ①画函数图象遵循列表、描点、连线的步骤，根据数据描点后用平滑曲线连接即可；②判断函数变化趋势时，分析分式的分母变化：$x$增大时分母$x+2$增大，分子12为定值，因此函数值$y$随$x$增大而减小；
(3) 不等式的解集对应$y=\frac{12}{x+2}$的图象在一次函数$y=-\frac{3}{2}x+6$图象下方的$x$取值范围，先联立两个解析式求交点横坐标，再结合$x≥0$的范围即可确定解集。
【解析】
(1) 由题意得电流公式为$I=\frac{12}{R+2}$，代入对应$R$值计算：
若对应$a$的电阻为$4\ \Omega$，则$a=\frac{12}{4+2}=2$；若对应$b$的电阻为$6\ \Omega$，则$b=\frac{12}{6+2}=1.5$。
(2) ①根据表格中$(x,y)$的对应值在坐标系中描点，再用平滑曲线依次连接各点即可（图略）；
②当$x≥0$时，$x$增大则$x+2$不断增大，分子12为定值，因此$y=\frac{12}{x+2}$的函数值逐渐减小。
(3) 联立两个函数解析式：
$\begin{cases} y=\frac{12}{x+2} \\ y=-\frac{3}{2}x+6 \end{cases}$
消去$y$得：$\frac{12}{x+2}=-\frac{3}{2}x+6$，两边同乘$2(x+2)$（$x≥0$，$x+2≠0$）得：
$24 = -3x(x+2) + 12(x+2)$
整理得$3x^2-6x=0$，即$3x(x-2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$。
结合图象可知，当$0＜x＜2$时，$y=\frac{12}{x+2}$的图象在$y=-\frac{3}{2}x+6$图象下方，满足不等式，因此解集为$0＜x＜2$。
【答案】
(1) 2，1.5
(2) ①图略；②逐渐减小
(3) $0＜x＜2$
【知识点】
反比例函数的性质、函数与不等式、函数图象的画法
【点评】
本题结合物理实验背景考查反比例函数的实际应用，融合跨学科知识，既考查了函数图象与性质的基础掌握情况，也考查了利用数形结合思想解不等式的能力，贴合实际应用场景。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问直接代入题干给出的串联电路电流公式$I=\frac{U}{R+R_L}$，将对应电阻值代入即可算出电流$a$、$b$的值；
(2) ①画函数图象遵循列表、描点、连线的步骤，根据数据描点后用平滑曲线连接即可；②判断函数变化趋势时，分析分式的分母变化：$x$增大时分母$x+2$增大，分子12为定值，因此函数值$y$随$x$增大而减小；
(3) 不等式的解集对应$y=\frac{12}{x+2}$的图象在一次函数$y=-\frac{3}{2}x+6$图象下方的$x$取值范围，先联立两个解析式求交点横坐标，再结合$x≥0$的范围即可确定解集。
【解析】
(1) 由题意得电流公式为$I=\frac{12}{R+2}$，代入对应$R$值计算：
若对应$a$的电阻为$4\ \Omega$，则$a=\frac{12}{4+2}=2$；若对应$b$的电阻为$6\ \Omega$，则$b=\frac{12}{6+2}=1.5$。
(2) ①根据表格中$(x,y)$的对应值在坐标系中描点，再用平滑曲线依次连接各点即可（图略）；
②当$x≥0$时，$x$增大则$x+2$不断增大，分子12为定值，因此$y=\frac{12}{x+2}$的函数值逐渐减小。
(3) 联立两个函数解析式：
$\begin{cases} y=\frac{12}{x+2} \\ y=-\frac{3}{2}x+6 \end{cases}$
消去$y$得：$\frac{12}{x+2}=-\frac{3}{2}x+6$，两边同乘$2(x+2)$（$x≥0$，$x+2≠0$）得：
$24 = -3x(x+2) + 12(x+2)$
整理得$3x^2-6x=0$，即$3x(x-2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$。
结合图象可知，当$0＜x＜2$时，$y=\frac{12}{x+2}$的图象在$y=-\frac{3}{2}x+6$图象下方，满足不等式，因此解集为$0＜x＜2$。
【答案】
(1) 2，1.5
(2) ①图略；②逐渐减小
(3) $0＜x＜2$
【知识点】
反比例函数的性质、函数与不等式、函数图象的画法
【点评】
本题结合物理实验背景考查反比例函数的实际应用，融合跨学科知识，既考查了函数图象与性质的基础掌握情况，也考查了利用数形结合思想解不等式的能力，贴合实际应用场景。
【难度系数】
0.65
