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实践.
【实践主题】
从“图形”的角度研究问题.
【问题情境】
某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系.他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它.
【构建模型】
(1)当$m=10$时，设矩形的长和宽分别为$x,y$，则$xy=4,2(x+y)=10$，满足要求的$(x,y)$可以看成反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$与一次函数$y=-x+5$的图象在第一象限内的交点坐标，从图1观察到，交点坐标为
【问题探究】
(2)根据(1)的结论，当$xy=4,2(x+y)=m$时，满足要求的$(x,y)$可以看成反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$与一次函数
【拓展应用】
(3)写出周长$m$的取值范围.
【实践主题】
从“图形”的角度研究问题.
【问题情境】
某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系.他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它.
【构建模型】
(1)当$m=10$时，设矩形的长和宽分别为$x,y$，则$xy=4,2(x+y)=10$，满足要求的$(x,y)$可以看成反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$与一次函数$y=-x+5$的图象在第一象限内的交点坐标，从图1观察到，交点坐标为
(1,4),(4,1)
，即面积为4，周长为10的矩形是存在的.【问题探究】
(2)根据(1)的结论，当$xy=4,2(x+y)=m$时，满足要求的$(x,y)$可以看成反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$与一次函数
$y=-x+\frac{1}{2}m$
的图象在第一象限内的交点坐标，而此一次函数图象可由直线$y=-x$平移得到.请在图2的平面直角坐标系中直接画出直线$y=-x$.当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，求周长$m$的值.【拓展应用】
(3)写出周长$m$的取值范围.
答案
1. (1,4),(4,1)
2. $y=-x+\frac{1}{2}m$ 图略 8
3. $m≥8$
2. $y=-x+\frac{1}{2}m$ 图略 8
3. $m≥8$
解析
【分析】
本题可通过数形结合思想逐步求解：
1. 第(1)问：函数图象交点坐标就是对应两个函数解析式联立组成的方程组的解，联立反比例函数和一次函数解析式求解即可得到交点坐标。
2. 第(2)问：先对周长公式$2(x+y)=m$变形，整理为$y$关于$x$的表达式即可得到对应一次函数解析式；当直线与反比例函数有唯一交点时，联立两个解析式得到的一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0即可求出$m$的值。
3. 第(3)问：存在满足条件的矩形即两个函数在第一象限有交点，联立得到的一元二次方程有正实数根，结合根的判别式大于等于0、周长为正数即可求出$m$的取值范围。
【解析】
(1) 联立方程组$\begin{cases}y=\frac{4}{x}\\y=-x+5\end{cases}$，将$y=-x+5$代入$y=\frac{4}{x}$得：
$-x+5=\frac{4}{x}$，两边同乘$x(x＞0)$整理得$x^2-5x+4=0$，
因式分解得$(x-1)(x-4)=0$，解得$x_1=1,x_2=4$，
对应$y_1=4,y_2=1$，即交点坐标为$(1,4),(4,1)$。
(2) 由$2(x+y)=m$得$x+y=\frac{m}{2}$，整理得$y=-x+\frac{1}{2}m$，即对应一次函数为$y=-x+\frac{1}{2}m$。
联立$\begin{cases}y=\frac{4}{x}\\y=-x+\frac{m}{2}\end{cases}$，消去$y$整理得$x^2-\frac{m}{2}x+4=0$，
当直线与反比例函数图象有唯一交点时，该一元二次方程有两个相等的实数根，
则判别式$\Delta=(\frac{m}{2})^2-4×1×4=0$，即$\frac{m^2}{4}=16$，
解得$m=\pm8$，因周长$m＞0$，故$m=8$。
（$y=-x$的图象为过原点、斜率为$-1$的直线，画图略）
(3) 要存在满足条件的矩形，即一次函数与反比例函数在第一象限有交点，
则联立得到的一元二次方程$x^2-\frac{m}{2}x+4=0$有正实数根，
首先判别式$\Delta≥0$，即$(\frac{m}{2})^2-16≥0$，解得$m≥8$或$m≤-8$，
又周长$m＞0$，因此$m$的取值范围为$m≥8$。
【答案】
1. $(1,4),(4,1)$
2. $y=-x+\frac{1}{2}m$ 图略 $8$
3. $m≥8$
【知识点】
函数图象交点的意义；一元二次方程根的判别式；一次函数平移
【点评】
本题将矩形的周长、面积问题转化为函数图象交点问题，实现了代数与几何知识的融合，渗透了数形结合、转化的数学思想，能够有效锻炼学生的问题建模能力和综合运用知识解题的能力。
【难度系数】
0.7
本题可通过数形结合思想逐步求解：
1. 第(1)问：函数图象交点坐标就是对应两个函数解析式联立组成的方程组的解，联立反比例函数和一次函数解析式求解即可得到交点坐标。
2. 第(2)问：先对周长公式$2(x+y)=m$变形，整理为$y$关于$x$的表达式即可得到对应一次函数解析式；当直线与反比例函数有唯一交点时，联立两个解析式得到的一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0即可求出$m$的值。
3. 第(3)问：存在满足条件的矩形即两个函数在第一象限有交点，联立得到的一元二次方程有正实数根，结合根的判别式大于等于0、周长为正数即可求出$m$的取值范围。
【解析】
(1) 联立方程组$\begin{cases}y=\frac{4}{x}\\y=-x+5\end{cases}$，将$y=-x+5$代入$y=\frac{4}{x}$得：
$-x+5=\frac{4}{x}$，两边同乘$x(x＞0)$整理得$x^2-5x+4=0$，
因式分解得$(x-1)(x-4)=0$，解得$x_1=1,x_2=4$，
对应$y_1=4,y_2=1$，即交点坐标为$(1,4),(4,1)$。
(2) 由$2(x+y)=m$得$x+y=\frac{m}{2}$，整理得$y=-x+\frac{1}{2}m$，即对应一次函数为$y=-x+\frac{1}{2}m$。
联立$\begin{cases}y=\frac{4}{x}\\y=-x+\frac{m}{2}\end{cases}$，消去$y$整理得$x^2-\frac{m}{2}x+4=0$，
当直线与反比例函数图象有唯一交点时，该一元二次方程有两个相等的实数根，
则判别式$\Delta=(\frac{m}{2})^2-4×1×4=0$，即$\frac{m^2}{4}=16$，
解得$m=\pm8$，因周长$m＞0$，故$m=8$。
（$y=-x$的图象为过原点、斜率为$-1$的直线，画图略）
(3) 要存在满足条件的矩形，即一次函数与反比例函数在第一象限有交点，
则联立得到的一元二次方程$x^2-\frac{m}{2}x+4=0$有正实数根，
首先判别式$\Delta≥0$，即$(\frac{m}{2})^2-16≥0$，解得$m≥8$或$m≤-8$，
又周长$m＞0$，因此$m$的取值范围为$m≥8$。
【答案】
1. $(1,4),(4,1)$
2. $y=-x+\frac{1}{2}m$ 图略 $8$
3. $m≥8$
【知识点】
函数图象交点的意义；一元二次方程根的判别式；一次函数平移
【点评】
本题将矩形的周长、面积问题转化为函数图象交点问题，实现了代数与几何知识的融合，渗透了数形结合、转化的数学思想，能够有效锻炼学生的问题建模能力和综合运用知识解题的能力。
【难度系数】
0.7
