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1. 垂径定理:垂直于弦的直径
推论:平分弦(不是直径)的直径
平分
弦,并且平分弦所对的两条弧
.推论:平分弦(不是直径)的直径
垂直
于弦,并且平分弦所对的两条弧
.答案
1. 平分 弧 垂直 弧
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其推论的基础概念识记。解题时首先回忆垂径定理的核心内容：垂直于弦的直径具有两个性质，一是平分这条弦，二是平分弦所对的两条弧；再回忆推论的内容，要注意推论有个前提是被平分的弦不是直径，此时平分这条弦的直径会垂直于弦，同时也平分弦所对的两条弧，准确记忆定理表述即可完成填空。
【解析】
根据垂径定理的定义：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
根据垂径定理的推论定义：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
因此四个空依次对应填入：平分、弧、垂直、弧。
【答案】
平分 弧 垂直 弧
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对垂径定理及推论内容的准确记忆，学习时要注意推论中“被平分的弦不是直径”这一限制条件，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
本题考查垂径定理及其推论的基础概念识记。解题时首先回忆垂径定理的核心内容：垂直于弦的直径具有两个性质，一是平分这条弦，二是平分弦所对的两条弧；再回忆推论的内容，要注意推论有个前提是被平分的弦不是直径，此时平分这条弦的直径会垂直于弦，同时也平分弦所对的两条弧，准确记忆定理表述即可完成填空。
【解析】
根据垂径定理的定义：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
根据垂径定理的推论定义：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
因此四个空依次对应填入：平分、弧、垂直、弧。
【答案】
平分 弧 垂直 弧
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对垂径定理及推论内容的准确记忆，学习时要注意推论中“被平分的弦不是直径”这一限制条件，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
2. 圆的对称性:圆是
轴对称
图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
。答案
2. 轴对称 对称轴
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线是该图形的对称轴。再结合圆的特征思考：将圆沿着任意一条直径所在的直线对折，直线两侧的半圆可以完全重合，由此就能对应填出两个空，同时要注意对称轴是直线，因此不能直接说直径是对称轴，必须是直径所在的直线。
【解析】
根据轴对称图形的定义：若一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，该图形为轴对称图形，这条直线为它的对称轴。
把圆沿任意一条直径所在的直线折叠，直线两侧的部分能完全重合，因此圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
【答案】
轴对称 对称轴
【知识点】
轴对称图形的概念；圆的对称性
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对轴对称图形定义和圆的对称性质的识记，解题时要注意对称轴为直线，避免出现“直径是圆的对称轴”的错误表述。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线是该图形的对称轴。再结合圆的特征思考：将圆沿着任意一条直径所在的直线对折，直线两侧的半圆可以完全重合，由此就能对应填出两个空，同时要注意对称轴是直线，因此不能直接说直径是对称轴，必须是直径所在的直线。
【解析】
根据轴对称图形的定义：若一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，该图形为轴对称图形，这条直线为它的对称轴。
把圆沿任意一条直径所在的直线折叠，直线两侧的部分能完全重合，因此圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
【答案】
轴对称 对称轴
【知识点】
轴对称图形的概念；圆的对称性
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对轴对称图形定义和圆的对称性质的识记，解题时要注意对称轴为直线，避免出现“直径是圆的对称轴”的错误表述。
【难度系数】
0.9
例 如图29.2-1，$\odot O$的直径$AB$和弦$CD$相交于点$E$，$AE=2$，$EB=6$，$∠ DEB=30°$，求弦$CD$的长。
解 如图29.2-2，过点$O$作$OF ⊥ CD$于点$F$，连接$OD$，则$CD=2DF$。
$\because AE=2$，$EB=6$，
$\therefore AB=AE+EB=8$。
$\therefore OA=OB=4$。
$\therefore OE=OA-AE=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，$∠ DEB=30°$，
$\therefore OF=1$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，
$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{15}$，
$\therefore CD=2\sqrt{15}$。
图29.2-1
图29.2-2
方法感悟 垂径定理联系着圆的半径（直径）、弦长、弦心距，通常结合勾股定理来寻找三者之间的等量关系.所以，在求解圆中相关线段的长度时，常作的辅助线是过圆心作弦的垂线段，连接半径，从而构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来。
解 如图29.2-2，过点$O$作$OF ⊥ CD$于点$F$，连接$OD$，则$CD=2DF$。
$\because AE=2$，$EB=6$，
$\therefore AB=AE+EB=8$。
$\therefore OA=OB=4$。
$\therefore OE=OA-AE=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，$∠ DEB=30°$，
$\therefore OF=1$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，
$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{15}$，
$\therefore CD=2\sqrt{15}$。
图29.2-1
图29.2-2
方法感悟 垂径定理联系着圆的半径（直径）、弦长、弦心距，通常结合勾股定理来寻找三者之间的等量关系.所以，在求解圆中相关线段的长度时，常作的辅助线是过圆心作弦的垂线段，连接半径，从而构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来。
答案
解析
【分析】
本题要求圆中弦CD的长度，解题核心是运用垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题。首先，看到求弦长时，优先想到过圆心作弦的垂线，利用垂径定理可得弦长为半弦长的2倍，只需算出半弦长即可；其次根据已知的AE、EB长度求出圆的直径、半径，进而得到OE的长度；再结合∠DEB=30°的特殊角，在含30°角的直角三角形OEF中求出弦心距OF的长度；最后在直角三角形ODF中用勾股定理算出半弦长DF，乘2即可得到CD的总长度。
【解析】
过点$O$作$OF ⊥ CD$于点$F$，连接$OD$，根据垂径定理可得$CD=2DF$。
$\because AE=2$，$EB=6$，
$\therefore$ 直径$AB=AE+EB=8$，
$\therefore$ 圆的半径$OA=OB=OD=4$，
$\therefore OE=OA - AE=4 - 2=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，$∠ DEB=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$OF=\frac{1}{2}OE=1$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{OD^2 - OF^2}=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{15}$，
$\therefore CD=2DF=2\sqrt{15}$。
【答案】
$2\sqrt{15}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的常规题型，解题关键是掌握“过圆心作弦的垂线段”这一常用辅助线的作法，将垂径定理与直角三角形的相关性质结合即可快速求解，这类方法是解决圆中线段长度计算问题的核心思路。
【难度系数】
0.7
本题要求圆中弦CD的长度，解题核心是运用垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题。首先，看到求弦长时，优先想到过圆心作弦的垂线，利用垂径定理可得弦长为半弦长的2倍，只需算出半弦长即可；其次根据已知的AE、EB长度求出圆的直径、半径，进而得到OE的长度；再结合∠DEB=30°的特殊角，在含30°角的直角三角形OEF中求出弦心距OF的长度；最后在直角三角形ODF中用勾股定理算出半弦长DF，乘2即可得到CD的总长度。
【解析】
过点$O$作$OF ⊥ CD$于点$F$，连接$OD$，根据垂径定理可得$CD=2DF$。
$\because AE=2$，$EB=6$，
$\therefore$ 直径$AB=AE+EB=8$，
$\therefore$ 圆的半径$OA=OB=OD=4$，
$\therefore OE=OA - AE=4 - 2=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，$∠ DEB=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$OF=\frac{1}{2}OE=1$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{OD^2 - OF^2}=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{15}$，
$\therefore CD=2DF=2\sqrt{15}$。
【答案】
$2\sqrt{15}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的常规题型，解题关键是掌握“过圆心作弦的垂线段”这一常用辅助线的作法，将垂径定理与直角三角形的相关性质结合即可快速求解，这类方法是解决圆中线段长度计算问题的核心思路。
【难度系数】
0.7
1. 如图29.2-3,在$\odot O$中,弦AB的长为6 cm,圆心O到AB的距离为4 cm,则$\odot O$的半径为(
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
C
).A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
1. C
解析
【分析】
求解本题时，首先回忆圆中弦长、弦心距、半径的关系：过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，垂足可平分弦，此时能得到以半径为斜边，弦长的一半、弦心距为两条直角边的直角三角形，再结合勾股定理即可求出半径长度。
【解析】
过点$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$，根据垂径定理可知：
$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$，
由题意得$OC = 4\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，根据勾股定理：
$OA = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{cm}$，
即$\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理、弦心距计算
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的核心是熟练运用垂径定理构造直角三角形，将问题转化为直角三角形的边长计算，这类题型是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
求解本题时，首先回忆圆中弦长、弦心距、半径的关系：过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，垂足可平分弦，此时能得到以半径为斜边，弦长的一半、弦心距为两条直角边的直角三角形，再结合勾股定理即可求出半径长度。
【解析】
过点$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$，根据垂径定理可知：
$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$，
由题意得$OC = 4\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，根据勾股定理：
$OA = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{cm}$，
即$\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理、弦心距计算
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的核心是熟练运用垂径定理构造直角三角形，将问题转化为直角三角形的边长计算，这类题型是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
2. 如图29.2-4，在半径为5 cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3 cm，则弦AB的长是(
A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
C
)。A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
答案
2. C
解析
【分析】
要求弦AB的长度，首先结合已知条件中圆心O到弦AB的垂线OC，联想到垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可知AB=2AC。我们可以连接半径OA，构造出直角三角形OAC，利用勾股定理求出AC的长度，再乘以2即可得到AB的长。
【解析】
解：连接OA，
∵ OC⊥AB，
∴ 由垂径定理可得：$AC = BC = \frac{1}{2}AB$，
在$Rt△ OAC$中，OA为圆的半径，长度为5cm，OC=3cm，
根据勾股定理：$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4\mathrm{cm}$，
因此$AB = 2AC = 2×4 = 8\mathrm{cm}$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，核心解题思路是过圆心作弦的垂线，结合半径构造直角三角形，熟练运用垂径定理和勾股定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要求弦AB的长度，首先结合已知条件中圆心O到弦AB的垂线OC，联想到垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可知AB=2AC。我们可以连接半径OA，构造出直角三角形OAC，利用勾股定理求出AC的长度，再乘以2即可得到AB的长。
【解析】
解：连接OA，
∵ OC⊥AB，
∴ 由垂径定理可得：$AC = BC = \frac{1}{2}AB$，
在$Rt△ OAC$中，OA为圆的半径，长度为5cm，OC=3cm，
根据勾股定理：$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4\mathrm{cm}$，
因此$AB = 2AC = 2×4 = 8\mathrm{cm}$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，核心解题思路是过圆心作弦的垂线，结合半径构造直角三角形，熟练运用垂径定理和勾股定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图29.2-5，$\odot O$的直径为20，弦$AB=16$，$P$是弦$AB$上一动点，则$OP$长的取值范围是(
A.$6＜OP≤10$
B.$6≤ OP＜10$
C.$6＜OP＜10$
D.$6≤ OP≤10$
图29.2-5
D
).A.$6＜OP≤10$
B.$6≤ OP＜10$
C.$6＜OP＜10$
D.$6≤ OP≤10$
图29.2-5
答案
3. D
解析
【分析】
要确定OP的取值范围，需先找到OP的最小值和最大值：①根据垂线段最短，圆心到弦的垂线段是圆心到弦上所有点的线段中最短的，即OP的最小值为O到AB的垂线段长度；②当点P与弦AB的端点A或B重合时，OP的长度等于圆的半径，为最大值。再结合垂径定理、勾股定理计算最值，即可得到取值范围，注意P在弦AB上运动时，最值均可取到。
【解析】
解：
∵⊙O的直径为20，
∴半径$OA=OB=10$，
当点P与A（或B）重合时，OP取得最大值，最大值为10；
过点O作$OM⊥AB$于点M，根据垂径定理可得，M为AB的中点，
∵$AB=16$，
∴$AM=\frac{1}{2}AB=8$，
在$Rt△OAM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为6，
∵P是弦AB上的动点，
∴OP的取值范围是$6≤OP≤10$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题解题的关键是明确弦上动点到圆心的最长距离为半径，最短距离为圆心到弦的垂线段长度，结合相关定理计算即可，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要确定OP的取值范围，需先找到OP的最小值和最大值：①根据垂线段最短，圆心到弦的垂线段是圆心到弦上所有点的线段中最短的，即OP的最小值为O到AB的垂线段长度；②当点P与弦AB的端点A或B重合时，OP的长度等于圆的半径，为最大值。再结合垂径定理、勾股定理计算最值，即可得到取值范围，注意P在弦AB上运动时，最值均可取到。
【解析】
解：
∵⊙O的直径为20，
∴半径$OA=OB=10$，
当点P与A（或B）重合时，OP取得最大值，最大值为10；
过点O作$OM⊥AB$于点M，根据垂径定理可得，M为AB的中点，
∵$AB=16$，
∴$AM=\frac{1}{2}AB=8$，
在$Rt△OAM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为6，
∵P是弦AB上的动点，
∴OP的取值范围是$6≤OP≤10$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题解题的关键是明确弦上动点到圆心的最长距离为半径，最短距离为圆心到弦的垂线段长度，结合相关定理计算即可，是圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
