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1.在配紫色游戏中，转盘被平均分成“红”“黄”“蓝”“白”四部分，转动转盘两次，配成紫色（也就是转盘停止后指针指向的一次是红，一次是蓝）的概率为（$\quad\quad$）。
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{5}$
D.$\dfrac{1}{8}$
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{5}$
D.$\dfrac{1}{8}$
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道两步随机事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确转动转盘两次属于独立重复试验，每次转动都有4种等可能的结果；我们可以通过列表法或树状图法列举出两次转动的所有等可能结果，再从中找出“一次指向红、一次指向蓝”的符合条件的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数/所有等可能的结果数）计算即可得到答案。
【解析】
我们用列表法列举两次转动转盘的所有等可能结果：
| 第一次\第二次 | 红 | 黄 | 蓝 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | （红，红） | （红，黄） | （红，蓝） | （红，白） |
| 黄 | （黄，红） | （黄，黄） | （黄，蓝） | （黄，白） |
| 蓝 | （蓝，红） | （蓝，黄） | （蓝，蓝） | （蓝，白） |
| 白 | （白，红） | （白，黄） | （白，蓝） | （白，白） |
由表格可知，所有等可能的结果共有16种，其中能配成紫色（一次红、一次蓝）的结果有（红，蓝）、（蓝，红）共2种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{配成紫色})=\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
列表法求概率，概率公式，两步试验概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的关键是准确列举出两次转动转盘的所有等可能结果，同时要注意配成紫色包含“先红后蓝”和“先蓝后红”两种情况，避免漏算符合条件的事件。
【难度系数】
0.7
这是一道两步随机事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确转动转盘两次属于独立重复试验，每次转动都有4种等可能的结果；我们可以通过列表法或树状图法列举出两次转动的所有等可能结果，再从中找出“一次指向红、一次指向蓝”的符合条件的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数/所有等可能的结果数）计算即可得到答案。
【解析】
我们用列表法列举两次转动转盘的所有等可能结果：
| 第一次\第二次 | 红 | 黄 | 蓝 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | （红，红） | （红，黄） | （红，蓝） | （红，白） |
| 黄 | （黄，红） | （黄，黄） | （黄，蓝） | （黄，白） |
| 蓝 | （蓝，红） | （蓝，黄） | （蓝，蓝） | （蓝，白） |
| 白 | （白，红） | （白，黄） | （白，蓝） | （白，白） |
由表格可知，所有等可能的结果共有16种，其中能配成紫色（一次红、一次蓝）的结果有（红，蓝）、（蓝，红）共2种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{配成紫色})=\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
列表法求概率，概率公式，两步试验概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的关键是准确列举出两次转动转盘的所有等可能结果，同时要注意配成紫色包含“先红后蓝”和“先蓝后红”两种情况，避免漏算符合条件的事件。
【难度系数】
0.7
2.“红色 + 黄色”可以配出“橘黄色”，若将两个转盘各转一次，则配成橘黄色的概率是（
A.$\frac{5}{16}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{9}{16}$
A
）。A.$\frac{5}{16}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{9}{16}$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确配成橘黄色的条件是两次转动转盘得到的颜色为1个红色和1个黄色，分两种情况讨论：①第一个转盘转出红色、第二个转盘转出黄色；②第一个转盘转出黄色、第二个转盘转出红色。两个转盘都被平均分成4等份，各转一次总共有4×4=16种等可能的结果，分别计算两种符合条件的情况的数量，相加后除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
首先确定两个转盘的颜色分布：
左边转盘共4等份，其中红色占2份，黄色占1份，蓝色占1份；
右边转盘共4等份，其中红色占1份，黄色占2份，蓝色占1份。
两个转盘各转一次，所有等可能的结果总数为：$4×4=16$种。
配成橘黄色的情况有两类：
1. 左盘转红，右盘转黄：左盘转红有2种可能，右盘转黄有2种可能，共$2×2=4$种结果；
2. 左盘转黄，右盘转红：左盘转黄有1种可能，右盘转红有1种可能，共$1×1=1$种结果。
因此符合条件的结果共有$4+1=5$种，配成橘黄色的概率$P=\frac{5}{16}$。
【答案】
A
【知识点】
概率的计算，列表法求概率
【点评】
本题是概率在实际生活中的应用问题，解题的关键是不要遗漏“左黄右红”和“左红右黄”两种符合要求的情况，计算时要准确统计总事件数和符合条件的事件数。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确配成橘黄色的条件是两次转动转盘得到的颜色为1个红色和1个黄色，分两种情况讨论：①第一个转盘转出红色、第二个转盘转出黄色；②第一个转盘转出黄色、第二个转盘转出红色。两个转盘都被平均分成4等份，各转一次总共有4×4=16种等可能的结果，分别计算两种符合条件的情况的数量，相加后除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
首先确定两个转盘的颜色分布：
左边转盘共4等份，其中红色占2份，黄色占1份，蓝色占1份；
右边转盘共4等份，其中红色占1份，黄色占2份，蓝色占1份。
两个转盘各转一次，所有等可能的结果总数为：$4×4=16$种。
配成橘黄色的情况有两类：
1. 左盘转红，右盘转黄：左盘转红有2种可能，右盘转黄有2种可能，共$2×2=4$种结果；
2. 左盘转黄，右盘转红：左盘转黄有1种可能，右盘转红有1种可能，共$1×1=1$种结果。
因此符合条件的结果共有$4+1=5$种，配成橘黄色的概率$P=\frac{5}{16}$。
【答案】
A
【知识点】
概率的计算，列表法求概率
【点评】
本题是概率在实际生活中的应用问题，解题的关键是不要遗漏“左黄右红”和“左红右黄”两种符合要求的情况，计算时要准确统计总事件数和符合条件的事件数。
【难度系数】
0.7
3.将图中的两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所在的区域，则这两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于（
A.$\frac{3}{16}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{5}{8}$
D.$\frac{13}{16}$
C
）。A.$\frac{3}{16}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{5}{8}$
D.$\frac{13}{16}$
答案
3.C
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：1. 先确定两个转盘自由转动一次的所有等可能结果总数，两个转盘各有4个区域，因此总结果数为4×4=16种；2. 逐一计算每组数字的和，筛选出和为2的倍数或3的倍数的结果数，注意只要满足其中一个条件就算符合要求；3. 最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：两个转盘分别自由转动一次，所有等可能的结果共有$4×4=16$种，分别计算每组数的和：
第一个转盘数字为1时，和分别为：$1+1=2$，$1+2=3$，$1+3=4$，$1+4=5$，其中符合“和是2的倍数或3的倍数”的有2、3、4，共3种；
第一个转盘数字为2时，和分别为：$2+1=3$，$2+2=4$，$2+3=5$，$2+4=6$，其中符合的有3、4、6，共3种；
第一个转盘数字为3时，和分别为：$3+1=4$，$3+2=5$，$3+3=6$，$3+4=7$，其中符合的有4、6，共2种；
第一个转盘数字为4时，和分别为：$4+1=5$，$4+2=6$，$4+3=7$，$4+4=8$，其中符合的有6、8，共2种；
综上，符合条件的结果共有$3+3+2+2=10$种，因此所求概率为$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
【答案】
C
【知识点】
列表法求概率，2、3的倍数特征，概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，解题时要注意明确“或”条件的判断规则，即只需满足两个条件之一即可，枚举结果时要做到不重不漏，才能准确算出概率。
【难度系数】
0.7
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：1. 先确定两个转盘自由转动一次的所有等可能结果总数，两个转盘各有4个区域，因此总结果数为4×4=16种；2. 逐一计算每组数字的和，筛选出和为2的倍数或3的倍数的结果数，注意只要满足其中一个条件就算符合要求；3. 最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可得到答案。
【解析】
解：两个转盘分别自由转动一次，所有等可能的结果共有$4×4=16$种，分别计算每组数的和：
第一个转盘数字为1时，和分别为：$1+1=2$，$1+2=3$，$1+3=4$，$1+4=5$，其中符合“和是2的倍数或3的倍数”的有2、3、4，共3种；
第一个转盘数字为2时，和分别为：$2+1=3$，$2+2=4$，$2+3=5$，$2+4=6$，其中符合的有3、4、6，共3种；
第一个转盘数字为3时，和分别为：$3+1=4$，$3+2=5$，$3+3=6$，$3+4=7$，其中符合的有4、6，共2种；
第一个转盘数字为4时，和分别为：$4+1=5$，$4+2=6$，$4+3=7$，$4+4=8$，其中符合的有6、8，共2种；
综上，符合条件的结果共有$3+3+2+2=10$种，因此所求概率为$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
【答案】
C
【知识点】
列表法求概率，2、3的倍数特征，概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，解题时要注意明确“或”条件的判断规则，即只需满足两个条件之一即可，枚举结果时要做到不重不漏，才能准确算出概率。
【难度系数】
0.7
4.某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队。若小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是
$\dfrac{1}{3}$
。答案
4.$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道两步随机事件的概率计算问题，所有选择结果均为等可能结果，适合用列表法或树状图法求解。解题思路为：①先列举出小华、小丽两人选择宣传队的所有等可能结果；②统计出两人恰好选到同一个宣传队的结果数；③根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算即可。
【解析】
将三个宣传队分别记为A（垃圾分类）、B（文明出行）、C（低碳环保），用列表法列举所有可能的选择情况：
|小华的选择|小丽的选择|
| ---- | ---- |
|A|A|
|A|B|
|A|C|
|B|A|
|B|B|
|B|C|
|C|A|
|C|B|
|C|C|
由表可得，总共有9种等可能的结果，其中小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，分别是(A,A)、(B,B)、(C,C)。
根据概率公式计算：$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 列表法求概率 2. 古典概型概率计算
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查两步等可能事件的概率计算能力，解题的关键是能通过列表或树状图不重不漏地列举出所有等可能的结果。
【难度系数】
0.8
这是一道两步随机事件的概率计算问题，所有选择结果均为等可能结果，适合用列表法或树状图法求解。解题思路为：①先列举出小华、小丽两人选择宣传队的所有等可能结果；②统计出两人恰好选到同一个宣传队的结果数；③根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算即可。
【解析】
将三个宣传队分别记为A（垃圾分类）、B（文明出行）、C（低碳环保），用列表法列举所有可能的选择情况：
|小华的选择|小丽的选择|
| ---- | ---- |
|A|A|
|A|B|
|A|C|
|B|A|
|B|B|
|B|C|
|C|A|
|C|B|
|C|C|
由表可得，总共有9种等可能的结果，其中小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，分别是(A,A)、(B,B)、(C,C)。
根据概率公式计算：$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 列表法求概率 2. 古典概型概率计算
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查两步等可能事件的概率计算能力，解题的关键是能通过列表或树状图不重不漏地列举出所有等可能的结果。
【难度系数】
0.8
5.有6张背面完全相同的卡片，每张正面分别画有三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形和圆，现将其全部正面朝下搅匀，从中任取一张卡片，抽中正面画的图形是中心对称图形的概率为
$\dfrac{2}{3}$
。答案
5.$\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
解题时需要分三步思考：第一步先明确总等可能结果数，本题共有6张背面完全相同的卡片，任取1张，总共有6种等可能的结果；第二步回忆中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形），逐个判断6个图形中属于中心对称图形的个数；第三步利用等可能事件的概率公式：概率=符合条件的结果数÷总结果数，代入计算并化简即可得到答案。
【解析】
解：从6张背面完全相同的卡片中任取1张，共有6种等可能的结果。
根据中心对称图形的定义判断：
三角形不是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，矩形是中心对称图形，正方形是中心对称图形，梯形不是中心对称图形，圆是中心对称图形，因此符合条件的结果共有4种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{抽中中心对称图形})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
中心对称图形判定；概率公式应用
【点评】
本题是基础综合题，结合了几何图形性质与概率计算两个考点，解题的核心是准确识别中心对称图形，牢记等可能事件的概率计算方法，注意最终结果要约分为最简分数。
【难度系数】
0.7
解题时需要分三步思考：第一步先明确总等可能结果数，本题共有6张背面完全相同的卡片，任取1张，总共有6种等可能的结果；第二步回忆中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形），逐个判断6个图形中属于中心对称图形的个数；第三步利用等可能事件的概率公式：概率=符合条件的结果数÷总结果数，代入计算并化简即可得到答案。
【解析】
解：从6张背面完全相同的卡片中任取1张，共有6种等可能的结果。
根据中心对称图形的定义判断：
三角形不是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，矩形是中心对称图形，正方形是中心对称图形，梯形不是中心对称图形，圆是中心对称图形，因此符合条件的结果共有4种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{抽中中心对称图形})=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
中心对称图形判定；概率公式应用
【点评】
本题是基础综合题，结合了几何图形性质与概率计算两个考点，解题的核心是准确识别中心对称图形，牢记等可能事件的概率计算方法，注意最终结果要约分为最简分数。
【难度系数】
0.7
6.如图所示的是“配紫色”游戏的两个转盘，你能用列表法求出配成紫色的概率吗？
答案
6.解:
|甲\乙|红|黄|绿|蓝|
|----|----|----|----|----|
|红|(红,红)|(红,黄)|(红,绿)|(红,蓝)|
|绿|(绿,红)|(绿,黄)|(绿,绿)|(绿,蓝)|
|蓝|(蓝,红)|(蓝,黄)|(蓝,绿)|(蓝,蓝)|
$P(配成紫色)=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$。
|甲\乙|红|黄|绿|蓝|
|----|----|----|----|----|
|红|(红,红)|(红,黄)|(红,绿)|(红,蓝)|
|绿|(绿,红)|(绿,黄)|(绿,绿)|(绿,蓝)|
|蓝|(蓝,红)|(蓝,黄)|(蓝,绿)|(蓝,蓝)|
$P(配成紫色)=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$。
解析
【分析】
要计算配成紫色的概率，首先明确配紫色的规则：红色和蓝色组合可配成紫色。第一步先确定两个转盘的等可能结果：甲转盘有红、绿、蓝3种等可能的结果，乙转盘有红、黄、绿、蓝4种等可能的结果，所有等可能的结果共3×4=12种。接下来用列表法列出全部等可能结果，从中找出符合配紫色要求的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：列出两个转盘转出颜色的所有等可能结果如下：
|甲\乙|红|黄|绿|蓝|
|----|----|----|----|----|
|红|(红,红)|(红,黄)|(红,绿)|(红,蓝)|
|绿|(绿,红)|(绿,黄)|(绿,绿)|(绿,蓝)|
|蓝|(蓝,红)|(蓝,黄)|(蓝,绿)|(蓝,蓝)|
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有2种，分别是(红,蓝)和(蓝,红)。
根据概率公式计算：
$P(配成紫色)=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率，概率公式应用
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题核心是明确配紫色的规则，用列表法不重不漏地列出所有等可能结果，再结合概率公式计算即可，主要考查对列表法的掌握程度和基础概率计算能力。
【难度系数】
0.7
要计算配成紫色的概率，首先明确配紫色的规则：红色和蓝色组合可配成紫色。第一步先确定两个转盘的等可能结果：甲转盘有红、绿、蓝3种等可能的结果，乙转盘有红、黄、绿、蓝4种等可能的结果，所有等可能的结果共3×4=12种。接下来用列表法列出全部等可能结果，从中找出符合配紫色要求的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：列出两个转盘转出颜色的所有等可能结果如下：
|甲\乙|红|黄|绿|蓝|
|----|----|----|----|----|
|红|(红,红)|(红,黄)|(红,绿)|(红,蓝)|
|绿|(绿,红)|(绿,黄)|(绿,绿)|(绿,蓝)|
|蓝|(蓝,红)|(蓝,黄)|(蓝,绿)|(蓝,蓝)|
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有2种，分别是(红,蓝)和(蓝,红)。
根据概率公式计算：
$P(配成紫色)=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率，概率公式应用
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题核心是明确配紫色的规则，用列表法不重不漏地列出所有等可能结果，再结合概率公式计算即可，主要考查对列表法的掌握程度和基础概率计算能力。
【难度系数】
0.7
7.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－2,1,4。随机摸出一个小球(不放回)其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程$x^2 + px + q = 0$有实数根的概率是(
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
D
)。A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
7.D
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，先明确是不放回摸球，需列出所有（p，q）的等可能结果，可通过枚举法得出总情况数；第二步，回忆一元二次方程有实数根的条件：判别式Δ=p²-4q≥0，将每一组p、q代入判别式判断是否满足条件，统计符合要求的情况数；第三步，根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算最终概率。
【解析】
首先列举不放回摸两次球的所有等可能结果：
第一次摸球p有3种可能，第二次摸球q有2种可能，总共有3×2=6种等可能的（p，q）组合，分别为：
①(-2,1)、②(-2,4)、③(1,-2)、④(1,4)、⑤(4,-2)、⑥(4,1)
一元二次方程$x^2+px+q=0$有实数根的条件是判别式$\Delta = p^2 - 4q ≥ 0$，逐个验证：
①当p=-2，q=1时，$\Delta = (-2)^2 - 4×1 = 0$，满足条件；
②当p=-2，q=4时，$\Delta = 4 - 16 = -12 ＜ 0$，不满足；
③当p=1，q=-2时，$\Delta = 1^2 - 4×(-2) = 9 ≥ 0$，满足条件；
④当p=1，q=4时，$\Delta = 1 - 16 = -15 ＜ 0$，不满足；
⑤当p=4，q=-2时，$\Delta = 4^2 - 4×(-2) = 24 ≥ 0$，满足条件；
⑥当p=4，q=1时，$\Delta = 16 - 4×1 = 12 ≥ 0$，满足条件。
综上，满足条件的情况共有4种，因此所求概率为$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
用列举法求概率；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为概率与一元二次方程的综合题，既需要准确列举所有等可能事件，避免重复或遗漏，又要熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用，能较好考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可分三步思考：第一步，先明确是不放回摸球，需列出所有（p，q）的等可能结果，可通过枚举法得出总情况数；第二步，回忆一元二次方程有实数根的条件：判别式Δ=p²-4q≥0，将每一组p、q代入判别式判断是否满足条件，统计符合要求的情况数；第三步，根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算最终概率。
【解析】
首先列举不放回摸两次球的所有等可能结果：
第一次摸球p有3种可能，第二次摸球q有2种可能，总共有3×2=6种等可能的（p，q）组合，分别为：
①(-2,1)、②(-2,4)、③(1,-2)、④(1,4)、⑤(4,-2)、⑥(4,1)
一元二次方程$x^2+px+q=0$有实数根的条件是判别式$\Delta = p^2 - 4q ≥ 0$，逐个验证：
①当p=-2，q=1时，$\Delta = (-2)^2 - 4×1 = 0$，满足条件；
②当p=-2，q=4时，$\Delta = 4 - 16 = -12 ＜ 0$，不满足；
③当p=1，q=-2时，$\Delta = 1^2 - 4×(-2) = 9 ≥ 0$，满足条件；
④当p=1，q=4时，$\Delta = 1 - 16 = -15 ＜ 0$，不满足；
⑤当p=4，q=-2时，$\Delta = 4^2 - 4×(-2) = 24 ≥ 0$，满足条件；
⑥当p=4，q=1时，$\Delta = 16 - 4×1 = 12 ≥ 0$，满足条件。
综上，满足条件的情况共有4种，因此所求概率为$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
用列举法求概率；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题为概率与一元二次方程的综合题，既需要准确列举所有等可能事件，避免重复或遗漏，又要熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用，能较好考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
