7. 已知$(-3a+m)(4b+n)=16b^2 - 9a^2$，则$m,n$的值分别是（）

A.$-4b,3a$
B.$4b,-3a$
C.$4b,3a$
D.$3a,4b$

7. C

【分析】
本题可通过平方差公式求解，首先观察等式右侧是两个平方项的差，符合平方差公式的展开结构，因此先将等式右侧的多项式利用平方差公式逆运算进行因式分解，再将分解后的结果与等式左侧的两个因式一一对应，即可求出m、n的取值。
【解析】
根据平方差公式：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，逆用该公式对等式右侧因式分解：
$16b^2 - 9a^2=(4b)^2-(3a)^2=(4b+3a)(4b-3a)$
将分解后的式子调整顺序，与左侧$(-3a+m)(4b+n)$对应：
$(4b-3a)(4b+3a)=(-3a+4b)(4b+3a)$
对比左右两个因式的对应项，可得：$m=4b$，$n=3a$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的正逆运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键，此类题型是整式乘法章节的常考题型。
【难度系数】
0.8

8. 对于任意正整数$n$,能整除式子$(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)$的整数是（）

A.3
B.6
C.10
D.9

8. C

【分析】
解题时首先观察原式的结构，两个乘积项均符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，因此先利用平方差公式分别展开两个乘积项，再去括号合并同类项将整式化简，最后提取公因式把式子变形为整数与整式乘积的形式，即可判断能整除式子的整数。
【解析】
先利用平方差公式展开原式：
$\begin{aligned}&(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)\\=&[(3n)^2 - 1^2] - (3^2 - n^2)\\=&9n^2 - 1 - (9 - n^2)\end{aligned}$
去括号（注意括号前为负号，括号内各项要变号）、合并同类项：
$\begin{aligned}=&9n^2 - 1 -9 + n^2\\=&10n^2 - 10\end{aligned}$
提取公因式10可得：
$=10(n^2 - 1)$
因为$n$是正整数，所以$n^2-1$为整数，因此原式是10的整数倍，能被10整除。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；整式化简；因式分解
【点评】
本题核心考查整式的运算与整除判断，熟练掌握平方差公式的应用、去括号规则和合并同类项方法是解题的关键，将原式化简为乘积形式后即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8

9.【整体思想】若$x^2 - y^2 = -1$，则$(x - y)^{200} · (x + y)^{200}$的值是。

9. 1

【分析】
首先观察所求代数式的结构：两个幂相乘且指数相同，可逆用积的乘方运算法则，将两个底数先相乘再乘相同指数；其次两个底数相乘恰好是平方差公式的展开形式，和已知条件$x^2-y^2=-1$完全匹配，可整体代入已知值，最后计算负数的偶次幂即可得到结果。
【解析】
解：逆用积的乘方运算法则$a^n· b^n=(ab)^n$，可得：
$\begin{aligned}(x - y)^{200} · (x + y)^{200}&=[(x-y)(x+y)]^{200}\\\end{aligned}$
根据平方差公式得$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$，将$x^2 - y^2 = -1$整体代入得：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^{200}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
积的乘方逆运算，平方差公式，有理数乘方
【点评】
本题考查整式运算法则的灵活运用和整体代入思想，解题核心是通过运算法则将所求代数式变形，匹配已知条件的结构后整体代入计算，属于基础代数运算题。
【难度系数】
0.85

10. 用简便方法计算：
(1) $\frac{2024}{2024^2 - $$}$；
(2) $9 × 11 × 101$。

10. (1)解:原式$=\dfrac{2024}{2024^2-(2024-1)(2024+1)}=\dfrac{2024}{2024^2-2024^2+1}=2024$. (2)解:原式$=99×101=(100-1)×(100+1)=100^2-1=9999$.

【分析】
(1)观察算式分母的数字特征，2023和2025分别是2024相邻的两个整数，可变形为2024-1和2024+1，因此可利用平方差公式计算2023×2025，简化分母的计算，快速求出结果。
(2)观察算式可先计算前两个数的乘积9×11=99，此时99和101可变形为100-1和100+1，再利用平方差公式计算即可，避免多位数乘法的繁琐运算。
【解析】
(1) 先将分母中2023×2025改写为(2024-1)(2024+1)，再根据平方差公式展开计算：
原式$=\dfrac{2024}{2024^2-(2024-1)(2024+1)}$
$=\dfrac{2024}{2024^2-(2024^2-1^2)}$
$=\dfrac{2024}{2024^2-2024^2+1}$
$=\dfrac{2024}{1}=2024$
(2) 先计算9×11的结果，再改写为平方差的形式计算：
原式$=(9×11)×101$
$=99×101$
$=(100-1)×(100+1)$
$=100^2-1^2$
$=10000-1=9999$
【答案】
(1) $\boxed{2024}$；(2) $\boxed{9999}$
【知识点】
平方差公式；有理数简便运算
【点评】
本题属于简便运算类题目，核心是通过观察数字的特征，将接近整十、整百、整千的数拆成整十/整百/整千数与一个较小数的和或差的形式，再利用平方差公式简化计算，大幅降低计算量，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8

11.(1)(2024·南宁月考)先化简,再求值:
$(a+b)(a-b)+b(2a+b)$,其中$a=1,b=-2$;
(2)【整体思想】已知$3x^2 - x - 1 = 0$,求式子$(2x + 5)(2x - 5) + 2x(x - 1)$的值.
03 素养练 学科素养培育

11. (1)解:原式$=a^2 - b^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2ab$. 当$a=1$,$b=-2$时,原式$=1^2 + 2×1×(-2)=1-4=-3$. (2)解:原式$=4x^2 -25 + 2x^2 -2x=6x^2 -2x -25$. $\because 3x^2 -x -1=0$,$\therefore 3x^2 -x=1$. $\therefore$原式$=2(3x^2 -x)-25=2×1 -25=-23$.

【分析】
第(1)问：首先观察式子结构，第一项$(a+b)(a-b)$符合平方差公式特征，先利用平方差公式展开，第二项$b(2a+b)$按照单项式乘多项式法则展开，再合并同类项得到最简结果，最后将$a$、$b$的取值代入最简式计算即可。
第(2)问：先利用平方差公式和单项式乘多项式法则将原式展开，合并同类项后得到含$x^2$、$x$的式子，再结合已知条件$3x^2 - x -1=0$变形得到$3x^2 -x=1$，将化简后的式子转化为含$3x^2 -x$的形式，整体代入求值即可，无需单独求解$x$的值。
【解析】
(1) 先展开运算：
原式$=a^2 - b^2 + 2ab + b^2$
合并同类项得：原式$=a^2 + 2ab$
当$a=1$，$b=-2$时，代入得：
原式$=1^2 + 2×1×(-2)=1-4=-3$
(2) 先展开运算：
原式$=4x^2 -25 + 2x^2 -2x$
合并同类项得：原式$=6x^2 -2x -25$
由$3x^2 -x -1=0$，移项得$3x^2 -x=1$
将原式变形为：$6x^2 -2x -25=2(3x^2 -x)-25$
代入$3x^2 -x=1$得：原式$=2×1 -25=-23$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{-23}$
【知识点】
平方差公式、整式化简求值、整体代入思想
【点评】
本题属于整式运算的常规考法，第一问侧重基础运算能力的考察，要求熟练掌握整式乘法公式和运算法则；第二问侧重整体思想的应用，通过整体代入可简化计算，避免求解未知数带来的复杂运算，是整式求值类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7

12.【新课标·补充解题过程】数学中的很多问题可以利用合适的方法,将复杂问题简单化.例如化简:$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)$,小刚同学看到这个问题之后想到用一个“引子”就可以使这个式子计算有规律,思路如下:
解:∵$2-1=1$,
∴$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)$
$=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)$
$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)$
$=(\_\_\_\_\_\_)(2^4+1)(2^8+1)$
$=(2^8-1)(2^8+1)$
$=(\_\_\_\_\_\_)$.
(1)根据小刚同学的解题思路,将上述过程补充完整;
(2)计算:$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})(1+\frac{1}{2^{16}})$.

12. 解:(1)$2^4 -1$ $2^{16} -1$ (2)原式$=2×(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2^2})(1+\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})=2×(1-\dfrac{1}{2^2})(1+\dfrac{1}{2^2})(1+\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})=2×(1-\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^4})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})=2×(1-\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^8})(1+\dfrac{1}{2^{16}})=2×(1-\dfrac{1}{2^{16}})(1+\dfrac{1}{2^{16}})=2×(1-\dfrac{1}{2^{32}})=2-\dfrac{1}{2^{31}}$.

【分析】
本题考查平方差公式的巧用，解题核心是构造平方差公式的形式简化连乘运算。(1) 观察解题过程，每一步都利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，将前一步得到的差与后一个和式计算，依次推导即可补全空缺；(2) 类比(1)的思路，原式是多个含$\frac{1}{2}$的和式连乘，缺少对应的差式$(1-\frac{1}{2})$，由于$(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$，因此在原式前乘$2×(1-\frac{1}{2})$（整体值不变），就可以反复利用平方差公式逐步化简得到结果。
【解析】
(1) 根据平方差公式计算：
$(2^2 - 1)(2^2 + 1) = (2^2)^2 - 1^2 = 2^4 - 1$，因此第一个空缺为$2^4 -1$；
后续计算$(2^8 - 1)(2^8 + 1) = (2^8)^2 - 1^2 = 2^{16} - 1$，因此第二个空缺为$2^{16} -1$。
(2) 计算$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})(1+\frac{1}{2^{16}})$：
因为$2×(1-\frac{1}{2})=1$，乘1不改变原式的值，因此构造平方差形式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})(1+\frac{1}{2^{16}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})(1+\frac{1}{2^{16}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})(1+\frac{1}{2^{16}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^8})(1+\frac{1}{2^8})(1+\frac{1}{2^{16}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^{16}})(1+\frac{1}{2^{16}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^{32}})\\&=2-\frac{1}{2^{31}}\end{aligned}$
【答案】
(1) $2^4 -1$；$2^{16} -1$
(2) $2-\dfrac{1}{2^{31}}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式化简
3. 巧算技巧
【点评】
本题属于技巧性运算题，核心是通过观察式子的结构特征，构造平方差公式的形式简化连乘运算，体现了转化的数学思想，能有效提升学生的观察能力和运算灵活性。
【难度系数】
0.7