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两个数的和（或差）的平方，等于它们的
$(a-b)^2 =$
两个数的和（或差）的平方，等于它们的
平方和
，加上（或减去）它们的积的2
倍.用符号表示为：$(a+b)^2 =$ $a^2+2ab+b^2$
，$(a-b)^2 =$
$a^2-2ab+b^2$
.答案
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。完全平方公式符号表示：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的基础定义，解题时可先回忆完全平方公式的推导逻辑：将和（或差）的平方转化为多项式乘多项式展开，可发现展开后包含两个数各自的平方项，以及两个数乘积的2倍，仅差的平方展开后乘积项符号为负，再对应填充题目空缺即可。
【解析】
1. 文字表述部分：根据完全平方公式的定义，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，因此前两个空依次填“平方和”、“2”；
2. 符号表示部分：通过多项式乘多项式推导可得：
$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$
因此后两个空分别填$a^2+2ab+b^2$、$a^2-2ab+b^2$。
【答案】
平方和；2；$a^2+2ab+b^2$；$a^2-2ab+b^2$
【知识点】
完全平方公式、多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对完全平方公式的识记，学习过程中要熟练掌握其文字表述和符号形式，注意区分完全平方公式与平方差公式，避免混淆展开后的项数和中间项的符号。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式的基础定义，解题时可先回忆完全平方公式的推导逻辑：将和（或差）的平方转化为多项式乘多项式展开，可发现展开后包含两个数各自的平方项，以及两个数乘积的2倍，仅差的平方展开后乘积项符号为负，再对应填充题目空缺即可。
【解析】
1. 文字表述部分：根据完全平方公式的定义，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，因此前两个空依次填“平方和”、“2”；
2. 符号表示部分：通过多项式乘多项式推导可得：
$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$
因此后两个空分别填$a^2+2ab+b^2$、$a^2-2ab+b^2$。
【答案】
平方和；2；$a^2+2ab+b^2$；$a^2-2ab+b^2$
【知识点】
完全平方公式、多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对完全平方公式的识记，学习过程中要熟练掌握其文字表述和符号形式，注意区分完全平方公式与平方差公式，避免混淆展开后的项数和中间项的符号。
【难度系数】
0.9
1. 根据完全平方公式填空：
(1) $(x-2)^2 = \_\_\_\_\_\_^2 - 2 · \_\_\_\_\_\_ · \_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_^2 = \_\_\_\_\_\_;$
(2) $(-a+b)^2 = \_\_\_\_\_\_^2 + 2 · \_\_\_\_\_\_ · \_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_^2 = \_\_\_\_\_\_;$
(3) $(-a-b)^2 = \_\_\_\_\_\_^2 - 2 · \_\_\_\_\_\_ · \_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_^2 = \_\_\_\_\_\_.$
(1) $(x-2)^2 = \_\_\_\_\_\_^2 - 2 · \_\_\_\_\_\_ · \_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_^2 = \_\_\_\_\_\_;$
(2) $(-a+b)^2 = \_\_\_\_\_\_^2 + 2 · \_\_\_\_\_\_ · \_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_^2 = \_\_\_\_\_\_;$
(3) $(-a-b)^2 = \_\_\_\_\_\_^2 - 2 · \_\_\_\_\_\_ · \_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_^2 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
解：
(1) $(x-2)^2 = \underline{x}^2 - 2 · \underline{x} · \underline{2} + \underline{2}^2 = \underline{x^2 - 4x + 4}$；
(2) $(-a+b)^2 = \underline{-a}^2 + 2 · \underline{-a} · \underline{b} + \underline{b}^2 = \underline{a^2 - 2ab + b^2}$；
(3) $(-a-b)^2 = \underline{-a}^2 - 2 · \underline{-a} · \underline{b} + \underline{b}^2 = \underline{a^2 + 2ab + b^2}$。
(1) $(x-2)^2 = \underline{x}^2 - 2 · \underline{x} · \underline{2} + \underline{2}^2 = \underline{x^2 - 4x + 4}$；
(2) $(-a+b)^2 = \underline{-a}^2 + 2 · \underline{-a} · \underline{b} + \underline{b}^2 = \underline{a^2 - 2ab + b^2}$；
(3) $(-a-b)^2 = \underline{-a}^2 - 2 · \underline{-a} · \underline{b} + \underline{b}^2 = \underline{a^2 + 2ab + b^2}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的结构：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们乘积的2倍，即$(A\pm B)^2=A^2\pm2AB+B^2$。我们只需要先确定每道小题中等式左边括号内的两项分别对应公式里的$A$和$B$，再区分是“和”还是“差”的形式，对应填入公式结构，最后化简计算得到展开结果即可。
【解析】
我们依据完全平方公式$(A\pm B)^2=A^2\pm2· A· B+B^2$逐一计算：
(1) 式子$(x-2)^2$是差的平方形式，对应公式中$A=x$，$B=2$，代入得：
$(x-2)^2 = x^2 - 2· x·2 + 2^2$，化简计算得$x^2-4x+4$；
(2) 式子$(-a+b)^2$可以写成$[(-a)+b]^2$，是和的平方形式，对应公式中$A=-a$，$B=b$，代入得：
$(-a+b)^2 = (-a)^2 + 2· (-a)· b + b^2$，化简计算得$a^2-2ab+b^2$；
(3) 式子$(-a-b)^2$可以写成$[(-a)-b]^2$，是差的平方形式，对应公式中$A=-a$，$B=b$，代入得：
$(-a-b)^2 = (-a)^2 - 2· (-a)· b + b^2$，化简计算得$a^2+2ab+b^2$。
【答案】
(1) $x$；$x$；$2$；$2$；$x^2 - 4x + 4$
(2) $-a$；$-a$；$b$；$b$；$a^2 - 2ab + b^2$
(3) $-a$；$-a$；$b$；$b$；$a^2 + 2ab + b^2$
【知识点】
完全平方公式；整式化简
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题的核心是准确匹配公式中对应的两个项，注意项的符号不要出错，熟练掌握公式结构后可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆完全平方公式的结构：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们乘积的2倍，即$(A\pm B)^2=A^2\pm2AB+B^2$。我们只需要先确定每道小题中等式左边括号内的两项分别对应公式里的$A$和$B$，再区分是“和”还是“差”的形式，对应填入公式结构，最后化简计算得到展开结果即可。
【解析】
我们依据完全平方公式$(A\pm B)^2=A^2\pm2· A· B+B^2$逐一计算：
(1) 式子$(x-2)^2$是差的平方形式，对应公式中$A=x$，$B=2$，代入得：
$(x-2)^2 = x^2 - 2· x·2 + 2^2$，化简计算得$x^2-4x+4$；
(2) 式子$(-a+b)^2$可以写成$[(-a)+b]^2$，是和的平方形式，对应公式中$A=-a$，$B=b$，代入得：
$(-a+b)^2 = (-a)^2 + 2· (-a)· b + b^2$，化简计算得$a^2-2ab+b^2$；
(3) 式子$(-a-b)^2$可以写成$[(-a)-b]^2$，是差的平方形式，对应公式中$A=-a$，$B=b$，代入得：
$(-a-b)^2 = (-a)^2 - 2· (-a)· b + b^2$，化简计算得$a^2+2ab+b^2$。
【答案】
(1) $x$；$x$；$2$；$2$；$x^2 - 4x + 4$
(2) $-a$；$-a$；$b$；$b$；$a^2 - 2ab + b^2$
(3) $-a$；$-a$；$b$；$b$；$a^2 + 2ab + b^2$
【知识点】
完全平方公式；整式化简
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题的核心是准确匹配公式中对应的两个项，注意项的符号不要出错，熟练掌握公式结构后可快速解答。
【难度系数】
0.9
2.【教材P115“思考”变式】如图，
，图中阴影部分面积可以表示为，还可表示为，由此可得到数学公式为。
，图中阴影部分面积可以表示为，还可表示为，由此可得到数学公式为。答案
解：
阴影部分为边长为$(a-b)$的正方形，直接计算面积可得$(a-b)^2$；
用边长为$a$的大正方形面积减去两个长为$a$、宽为$b$的长方形面积，补回重复减去的边长为$b$的小正方形面积，可得$a^2-2ab+b^2$；
由此得到数学公式为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
答案依次为：$\boldsymbol{(a-b)^2}$；$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2}$；$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$。
阴影部分为边长为$(a-b)$的正方形，直接计算面积可得$(a-b)^2$；
用边长为$a$的大正方形面积减去两个长为$a$、宽为$b$的长方形面积，补回重复减去的边长为$b$的小正方形面积，可得$a^2-2ab+b^2$；
由此得到数学公式为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
答案依次为：$\boldsymbol{(a-b)^2}$；$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2}$；$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以用两种思路计算阴影部分面积：第一种是直接法，先确定阴影部分的形状和边长，直接代入面积公式计算；第二种是间接法，用大正方形的总面积减去空白部分的面积，注意减去空白时重复减掉的部分需要补回。两种方法计算的是同一个阴影的面积，结果相等，就能得到对应的数学公式。
【解析】
1. 直接计算阴影面积：观察图形可知阴影部分是正方形，它的边长为$a - b$，根据正方形面积公式$面积=边长×边长$，可得阴影面积为$(a - b)^2$。
2. 间接计算阴影面积：边长为$a$的大正方形面积为$a^2$；空白部分是2个长为$a$、宽为$b$的长方形，每个长方形面积为$ab$，两个总面积为$2ab$；两个长方形重叠的部分是边长为$b$的小正方形，面积为$b^2$，计算空白面积时这部分被重复减去了1次，因此需要补回。所以阴影面积为$a^2 - 2ab + b^2$。
3. 推导公式：由于两种方法计算的是同一个阴影的面积，因此结果相等，可得公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
【答案】
$\boldsymbol{(a-b)^2}$；$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2}$；$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$
【知识点】
完全平方差公式；正方形面积计算；面积法推导公式
【点评】
本题利用数形结合的思想，通过几何图形面积的不同表示方法推导代数公式，能帮助我们更直观地理解完全平方差公式的结构，加深对公式来源的认识。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以用两种思路计算阴影部分面积：第一种是直接法，先确定阴影部分的形状和边长，直接代入面积公式计算；第二种是间接法，用大正方形的总面积减去空白部分的面积，注意减去空白时重复减掉的部分需要补回。两种方法计算的是同一个阴影的面积，结果相等，就能得到对应的数学公式。
【解析】
1. 直接计算阴影面积：观察图形可知阴影部分是正方形，它的边长为$a - b$，根据正方形面积公式$面积=边长×边长$，可得阴影面积为$(a - b)^2$。
2. 间接计算阴影面积：边长为$a$的大正方形面积为$a^2$；空白部分是2个长为$a$、宽为$b$的长方形，每个长方形面积为$ab$，两个总面积为$2ab$；两个长方形重叠的部分是边长为$b$的小正方形，面积为$b^2$，计算空白面积时这部分被重复减去了1次，因此需要补回。所以阴影面积为$a^2 - 2ab + b^2$。
3. 推导公式：由于两种方法计算的是同一个阴影的面积，因此结果相等，可得公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
【答案】
$\boldsymbol{(a-b)^2}$；$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2}$；$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$
【知识点】
完全平方差公式；正方形面积计算；面积法推导公式
【点评】
本题利用数形结合的思想，通过几何图形面积的不同表示方法推导代数公式，能帮助我们更直观地理解完全平方差公式的结构，加深对公式来源的认识。
【难度系数】
0.8
3. 下列变形中,正确的是（）
A.$(b-4c)^2 = b^2 -16c^2$
B.$(a-2b)^2 = a^2 +4ab +4b^2$
C.$(x+y)^2 = x^2 +xy + y^2$
D.$(4m-n)^2 =16m^2 -8mn +n^2$
A.$(b-4c)^2 = b^2 -16c^2$
B.$(a-2b)^2 = a^2 +4ab +4b^2$
C.$(x+y)^2 = x^2 +xy + y^2$
D.$(4m-n)^2 =16m^2 -8mn +n^2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路是先牢记完全平方公式的结构：$(a±b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2$，可简记为“首平方、尾平方，乘积的2倍放中央，符号与前方一致”，再将每个选项中的式子对应公式里的$a$和$b$，展开后和选项给出的结果对比，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确完全平方公式：$\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$，$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$，逐一分析选项：
选项A：$(b-4c)^2 = b^2 - 2· b· 4c + (4c)^2 = b^2-8bc+16c^2$，与选项给出的$b^2-16c^2$不符，A错误；
选项B：$(a-2b)^2 = a^2 - 2· a· 2b + (2b)^2 = a^2-4ab+4b^2$，与选项给出的$a^2+4ab+4b^2$不符，B错误；
选项C：$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，与选项给出的$x^2+xy+y^2$不符，C错误；
选项D：$(4m-n)^2 = (4m)^2 - 2· 4m· n + n^2 = 16m^2-8mn+n^2$，与选项结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式的乘法运算
【点评】
本题是基础题，核心考查完全平方公式的应用，解题时需注意不要遗漏中间项、混淆中间项的符号或系数，熟练掌握公式结构是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路是先牢记完全平方公式的结构：$(a±b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2$，可简记为“首平方、尾平方，乘积的2倍放中央，符号与前方一致”，再将每个选项中的式子对应公式里的$a$和$b$，展开后和选项给出的结果对比，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确完全平方公式：$\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$，$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$，逐一分析选项：
选项A：$(b-4c)^2 = b^2 - 2· b· 4c + (4c)^2 = b^2-8bc+16c^2$，与选项给出的$b^2-16c^2$不符，A错误；
选项B：$(a-2b)^2 = a^2 - 2· a· 2b + (2b)^2 = a^2-4ab+4b^2$，与选项给出的$a^2+4ab+4b^2$不符，B错误；
选项C：$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，与选项给出的$x^2+xy+y^2$不符，C错误；
选项D：$(4m-n)^2 = (4m)^2 - 2· 4m· n + n^2 = 16m^2-8mn+n^2$，与选项结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式的乘法运算
【点评】
本题是基础题，核心考查完全平方公式的应用，解题时需注意不要遗漏中间项、混淆中间项的符号或系数，熟练掌握公式结构是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.【教材P115例3变式】计算：
(1)$(3+5x)^2$；
(2)$(b-\frac{1}{2}a)^2$；
(3)$(-2m-n)^2$。
(1)$(3+5x)^2$；
(2)$(b-\frac{1}{2}a)^2$；
(3)$(-2m-n)^2$。
答案
解：
(1) 原式$=3^2 + 2×3×5x + (5x)^2$
$=9 + 30x + 25x^2$
$=25x^2 + 30x + 9$
(2) 原式$=b^2 - 2· b· \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2$
$=b^2 - ab + \frac{1}{4}a^2$
$=\frac{1}{4}a^2 - ab + b^2$
(3) 原式$=(-2m)^2 + 2·(-2m)·(-n) + (-n)^2$
$=4m^2 + 4mn + n^2$
(1) 原式$=3^2 + 2×3×5x + (5x)^2$
$=9 + 30x + 25x^2$
$=25x^2 + 30x + 9$
(2) 原式$=b^2 - 2· b· \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2$
$=b^2 - ab + \frac{1}{4}a^2$
$=\frac{1}{4}a^2 - ab + b^2$
(3) 原式$=(-2m)^2 + 2·(-2m)·(-n) + (-n)^2$
$=4m^2 + 4mn + n^2$
解析
【分析】
这三道题均是完全平方公式的应用类计算，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：两数和的平方$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，两数差的平方$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；其次逐个分析每个式子，确定公式里的$a$、$b$分别对应哪个代数式，尤其要注意带负号的项的符号也要代入公式；然后严格按照公式展开计算，注意系数也要平方，中间项的系数2不要遗漏；最后将结果按照字母的降幂排列整理即可。
【解析】
(1) 计算$(3+5x)^2$，属于两数和的平方，其中$a=3$，$b=5x$，代入和的完全平方公式：
原式$=3^2 + 2×3×5x + (5x)^2$
$=9 + 30x + 25x^2$
$=25x^2 + 30x + 9$
(2) 计算$(b-\frac{1}{2}a)^2$，属于两数差的平方，其中$a=b$，$b=\frac{1}{2}a$，代入差的完全平方公式：
原式$=b^2 - 2· b· \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2$
$=b^2 - ab + \frac{1}{4}a^2$
$=\frac{1}{4}a^2 - ab + b^2$
(3) 计算$(-2m-n)^2$，可看成$[(-2m)+(-n)]^2$，属于两数和的平方，其中$a=-2m$，$b=-n$，代入和的完全平方公式：
原式$=(-2m)^2 + 2·(-2m)·(-n) + (-n)^2$
$=4m^2 + 4mn + n^2$
【答案】
(1) $25x^2 + 30x + 9$
(2) $\frac{1}{4}a^2 - ab + b^2$
(3) $4m^2 + 4mn + n^2$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式化简
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需准确匹配公式中的对应项，注意符号运算、系数平方以及中间项的2倍关系，避免出现漏项、算错符号的常见错误。
【难度系数】
0.85
这三道题均是完全平方公式的应用类计算，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：两数和的平方$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，两数差的平方$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；其次逐个分析每个式子，确定公式里的$a$、$b$分别对应哪个代数式，尤其要注意带负号的项的符号也要代入公式；然后严格按照公式展开计算，注意系数也要平方，中间项的系数2不要遗漏；最后将结果按照字母的降幂排列整理即可。
【解析】
(1) 计算$(3+5x)^2$，属于两数和的平方，其中$a=3$，$b=5x$，代入和的完全平方公式：
原式$=3^2 + 2×3×5x + (5x)^2$
$=9 + 30x + 25x^2$
$=25x^2 + 30x + 9$
(2) 计算$(b-\frac{1}{2}a)^2$，属于两数差的平方，其中$a=b$，$b=\frac{1}{2}a$，代入差的完全平方公式：
原式$=b^2 - 2· b· \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2$
$=b^2 - ab + \frac{1}{4}a^2$
$=\frac{1}{4}a^2 - ab + b^2$
(3) 计算$(-2m-n)^2$，可看成$[(-2m)+(-n)]^2$，属于两数和的平方，其中$a=-2m$，$b=-n$，代入和的完全平方公式：
原式$=(-2m)^2 + 2·(-2m)·(-n) + (-n)^2$
$=4m^2 + 4mn + n^2$
【答案】
(1) $25x^2 + 30x + 9$
(2) $\frac{1}{4}a^2 - ab + b^2$
(3) $4m^2 + 4mn + n^2$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式化简
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需准确匹配公式中的对应项，注意符号运算、系数平方以及中间项的2倍关系，避免出现漏项、算错符号的常见错误。
【难度系数】
0.85
5. 将$9.7^2$变形正确的是（）
A.$9.7^2=9^2+0.7^2$
B.$9.7^2=9^2-9×0.7+0.7^2$
C.$9.7^2=(10+0.3)×(10-0.3)$
D.$9.7^2=10^2-2×10×0.3+0.3^2$
A.$9.7^2=9^2+0.7^2$
B.$9.7^2=9^2-9×0.7+0.7^2$
C.$9.7^2=(10+0.3)×(10-0.3)$
D.$9.7^2=10^2-2×10×0.3+0.3^2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查乘法公式的应用，解题思路如下：第一步，将9.7合理拆分为两个数的和或差，为了计算简便，优先拆为整十数与较小数的差：9.7=10-0.3，也可拆为9+0.7；第二步，回忆完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$、平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征；第三步，逐一核对每个选项的变形是否符合对应公式的结构，判断正误即可。
【解析】
我们先将9.7变形为$10-0.3$，根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入$a=10$，$b=0.3$可得：
$9.7^2=(10-0.3)^2=10^2-2×10×0.3+0.3^2$
接下来逐一分析选项：
选项A：若将9.7拆为$9+0.7$，根据完全平方和公式，$(9+0.7)^2=9^2+2×9×0.7+0.7^2$，选项缺少交叉项$2×9×0.7$，变形错误；
选项B：不符合完全平方公式的结构特征，交叉项系数和符号均错误，变形错误；
选项C：$(10+0.3)×(10-0.3)$是平方差公式的形式，计算结果为$10^2-0.3^2=99.91$，和$9.7^2$的结果不相等，变形错误；
选项D：和完全平方差公式展开的结果一致，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 平方差公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查整式乘法公式的灵活运用，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，合理拆分数字，避免混淆两种公式的结构导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查乘法公式的应用，解题思路如下：第一步，将9.7合理拆分为两个数的和或差，为了计算简便，优先拆为整十数与较小数的差：9.7=10-0.3，也可拆为9+0.7；第二步，回忆完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$、平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征；第三步，逐一核对每个选项的变形是否符合对应公式的结构，判断正误即可。
【解析】
我们先将9.7变形为$10-0.3$，根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入$a=10$，$b=0.3$可得：
$9.7^2=(10-0.3)^2=10^2-2×10×0.3+0.3^2$
接下来逐一分析选项：
选项A：若将9.7拆为$9+0.7$，根据完全平方和公式，$(9+0.7)^2=9^2+2×9×0.7+0.7^2$，选项缺少交叉项$2×9×0.7$，变形错误；
选项B：不符合完全平方公式的结构特征，交叉项系数和符号均错误，变形错误；
选项C：$(10+0.3)×(10-0.3)$是平方差公式的形式，计算结果为$10^2-0.3^2=99.91$，和$9.7^2$的结果不相等，变形错误；
选项D：和完全平方差公式展开的结果一致，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 平方差公式
【点评】
本题属于基础题，核心考查整式乘法公式的灵活运用，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，合理拆分数字，避免混淆两种公式的结构导致出错。
【难度系数】
0.8
6.若$(y-1)^2=2$，则$y^2-2y+4$的值是。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和待求代数式的结构特征，我们学过完全平方公式，已知的$(y-1)^2$展开后会出现$y^2-2y$的项，刚好是待求式中的前两项，因此不需要直接求出y的值，采用整体代入的方法更简便。第一步先展开完全平方式，求出$y^2-2y$的值，第二步将该值整体代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
首先利用完全平方公式展开已知条件：
$(y-1)^2 = y^2 - 2y + 1 = 2$
整理可得：$y^2 - 2y = 2 - 1 = 1$
再将$y^2 - 2y = 1$整体代入待求代数式：
$y^2 - 2y + 4 = 1 + 4 = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查整体代入的数学思想，避免了求解未知数的繁琐步骤，解题关键是找到已知条件和待求式之间的共同部分，灵活变形已知条件代入计算。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和待求代数式的结构特征，我们学过完全平方公式，已知的$(y-1)^2$展开后会出现$y^2-2y$的项，刚好是待求式中的前两项，因此不需要直接求出y的值，采用整体代入的方法更简便。第一步先展开完全平方式，求出$y^2-2y$的值，第二步将该值整体代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
首先利用完全平方公式展开已知条件：
$(y-1)^2 = y^2 - 2y + 1 = 2$
整理可得：$y^2 - 2y = 2 - 1 = 1$
再将$y^2 - 2y = 1$整体代入待求代数式：
$y^2 - 2y + 4 = 1 + 4 = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查整体代入的数学思想，避免了求解未知数的繁琐步骤，解题关键是找到已知条件和待求式之间的共同部分，灵活变形已知条件代入计算。
【难度系数】
0.8
7.【教材P115例4变式】运用完全平方公式计算：
(1)$(60 \frac{1}{60})^2$；
(2)$299^2$。
(1)$(60 \frac{1}{60})^2$；
(2)$299^2$。
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}(60\frac{1}{60})^2&=(60+\frac{1}{60})^2\\&=60^2 + 2×60×\frac{1}{60} + (\frac{1}{60})^2\\&=3600 + 2 + \frac{1}{3600}\\&=3602\frac{1}{3600}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}299^2&=(300-1)^2\\&=300^2 - 2×300×1 + 1^2\\&=90000 - 600 + 1\\&=89401\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}(60\frac{1}{60})^2&=(60+\frac{1}{60})^2\\&=60^2 + 2×60×\frac{1}{60} + (\frac{1}{60})^2\\&=3600 + 2 + \frac{1}{3600}\\&=3602\frac{1}{3600}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}299^2&=(300-1)^2\\&=300^2 - 2×300×1 + 1^2\\&=90000 - 600 + 1\\&=89401\end{aligned}$
解析
【分析】
这两道题都是带分数或较大整数的平方运算，直接硬算过程繁琐易出错，因此可以利用完全平方公式简化计算。解题思路如下：首先把底数拆成整十/整百数与一个较小数的和或差的形式，再对应套用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$或者完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开，最后计算得到结果即可。具体来看：(1)的带分数$60\frac{1}{60}$可拆为$60+\frac{1}{60}$，适用完全平方和公式；(2)的299接近300，可拆为$300-1$，适用完全平方差公式。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(60\frac{1}{60})^2&=(60+\frac{1}{60})^2\\&=60^2 + 2×60×\frac{1}{60} + (\frac{1}{60})^2\\&=3600 + 2 + \frac{1}{3600}\\&=3602\frac{1}{3600}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}299^2&=(300-1)^2\\&=300^2 - 2×300×1 + 1^2\\&=90000 - 600 + 1\\&=89401\end{aligned}$
【答案】
(1)$3602\frac{1}{3600}$；(2)$89401$
【知识点】
完全平方公式；有理数简便运算
【点评】
本题是整式乘法公式在简便计算中的典型应用，解题核心是对底数进行合理拆项，将复杂的平方运算转化为简单的四则运算，既降低了计算难度，也能有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
这两道题都是带分数或较大整数的平方运算，直接硬算过程繁琐易出错，因此可以利用完全平方公式简化计算。解题思路如下：首先把底数拆成整十/整百数与一个较小数的和或差的形式，再对应套用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$或者完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开，最后计算得到结果即可。具体来看：(1)的带分数$60\frac{1}{60}$可拆为$60+\frac{1}{60}$，适用完全平方和公式；(2)的299接近300，可拆为$300-1$，适用完全平方差公式。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(60\frac{1}{60})^2&=(60+\frac{1}{60})^2\\&=60^2 + 2×60×\frac{1}{60} + (\frac{1}{60})^2\\&=3600 + 2 + \frac{1}{3600}\\&=3602\frac{1}{3600}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}299^2&=(300-1)^2\\&=300^2 - 2×300×1 + 1^2\\&=90000 - 600 + 1\\&=89401\end{aligned}$
【答案】
(1)$3602\frac{1}{3600}$；(2)$89401$
【知识点】
完全平方公式；有理数简便运算
【点评】
本题是整式乘法公式在简便计算中的典型应用，解题核心是对底数进行合理拆项，将复杂的平方运算转化为简单的四则运算，既降低了计算难度，也能有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
8.若$(2x+a)^2=4x^2+bx+1$,则$a=\_\_\_\_\_\_$,$b=\_\_\_\_\_\_$.
【点拨】完全平方公式有两个,可以从右边展开项最后一项“1”入手求$a$的值,再按完全平方公式展开计算$b$的值.
【点拨】完全平方公式有两个,可以从右边展开项最后一项“1”入手求$a$的值,再按完全平方公式展开计算$b$的值.
答案
解：
由完全平方公式将左边展开，得：
$(2x+a)^2=4x^2+4ax+a^2$
因为$(2x+a)^2=4x^2+bx+1$，等式左右两边对应项系数相等，因此：
$a^2=1$，$b=4a$
由$a^2=1$，解得$a=1$或$a=-1$
当$a=1$时，$b=4×1=4$；
当$a=-1$时，$b=4×(-1)=-4$
则$a=\boldsymbol{\pm1}$，$b=\boldsymbol{\pm4}$。
由完全平方公式将左边展开，得：
$(2x+a)^2=4x^2+4ax+a^2$
因为$(2x+a)^2=4x^2+bx+1$，等式左右两边对应项系数相等，因此：
$a^2=1$，$b=4a$
由$a^2=1$，解得$a=1$或$a=-1$
当$a=1$时，$b=4×1=4$；
当$a=-1$时，$b=4×(-1)=-4$
则$a=\boldsymbol{\pm1}$，$b=\boldsymbol{\pm4}$。
解析
【分析】
解题时首先观察到等式左边是完全平方式，首先回忆完全平方公式，将左边展开后，根据两个多项式相等时对应同类项系数相等的性质求解：先通过左右两边常数项相等建立关于a的方程，求出a的取值，再根据一次项系数相等求出对应的b的值，注意完全平方包含和、差两种形式，不要漏了a的负取值。
【解析】
由完全平方公式将左边展开，得：
$(2x+a)^2=4x^2+4ax+a^2$
因为$(2x+a)^2=4x^2+bx+1$，等式左右两边同类项对应系数相等，因此：
$a^2=1$，$b=4a$
由$a^2=1$，解得$a=1$或$a=-1$：
当$a=1$时，$b=4×1=4$；
当$a=-1$时，$b=4×(-1)=-4$。
【答案】
$\boldsymbol{a=\pm1}$，$\boldsymbol{b=\pm4}$
【知识点】
1.完全平方公式 2.多项式对应项系数相等
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查完全平方公式的应用，解题时要注意完全平方公式包含和与差两种形式，避免漏解，通过对应项系数相等建立方程是求解这类问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到等式左边是完全平方式，首先回忆完全平方公式，将左边展开后，根据两个多项式相等时对应同类项系数相等的性质求解：先通过左右两边常数项相等建立关于a的方程，求出a的取值，再根据一次项系数相等求出对应的b的值，注意完全平方包含和、差两种形式，不要漏了a的负取值。
【解析】
由完全平方公式将左边展开，得：
$(2x+a)^2=4x^2+4ax+a^2$
因为$(2x+a)^2=4x^2+bx+1$，等式左右两边同类项对应系数相等，因此：
$a^2=1$，$b=4a$
由$a^2=1$，解得$a=1$或$a=-1$：
当$a=1$时，$b=4×1=4$；
当$a=-1$时，$b=4×(-1)=-4$。
【答案】
$\boldsymbol{a=\pm1}$，$\boldsymbol{b=\pm4}$
【知识点】
1.完全平方公式 2.多项式对应项系数相等
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查完全平方公式的应用，解题时要注意完全平方公式包含和与差两种形式，避免漏解，通过对应项系数相等建立方程是求解这类问题的常用方法。
【难度系数】
0.7
