整式的加法与减法
同类项
所含字母相同
相同字母的⑥相同
合并同类项
同类项的系数相加
字母连同它的指数⑦

逆用分配律
去括号:用括号外的数乘括号内的每一项,再把所得的积相加
分配律

⑥ 指数
⑦ 不变

【典题6】用代数式表示图中阴影部分面积正确的是 （）


A.$ab - \frac{π}{4}a^2 - \frac{π}{4}b^2$
B.$ab - \frac{π}{2}a^2$
C.$ab - \frac{π}{2}b^2$
D.$\frac{π}{4}a^2 + \frac{π}{4}b^2$
【解题技巧】当阴影部分的图形不规则时，运用转化思想，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差来求解。

C

【融会贯通】
(1)下列四个代数式中,不能表示图中阴影部分面积的是 ()
A. $5a+6$
B. $2(a+3)+3a$
C. $a^2+12$
D. $(a+3)(a+2)-a^2$

(2)若某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时$8\ \mathrm{m}^3$,则$6\ \mathrm{h}$可以将满池水全部排空.现在排水量为平均每小时$Q\ \mathrm{m}^3$,那么将满池水排空所需要的时间为$t(\mathrm{h})$,用式子表示$t$与$Q$之间的关系是,$t$与$Q$之间成比例关系.

(1) C
(2) $t=\frac{48}{Q}$ 反

【典题7】已知多项式$(3mx^2 - 2x^2 + 3x + 2) - (4x^2 - 3y^2 + 2x)$化简后不含$x^2$项，求多项式$4m^3 - [2m^3 - (3m + 1) + m]$的值。
【解题技巧】在整式加减运算的过程中，若涉及“不含$x$项”或“与$x$项无关”，其实质是指合并同类项后，“不含项”或“无关项”的系数为0。
【融会贯通】
(1)$2(x^2 - 2x) - (3x^2 + 5x)$，其中$x = -2$；
(2)先化简，再求值：$2(-2x^2 + xy - y^2) - (-4x^2 + 4xy - 2y^2)$，其中$x = 3, y = -1$；
(3)已知关于$x$的多项式$x^3 + ax^2 + 2x - 3 - bx - 5x^2$中，不含$x$和$x^2$项，求代数式$3(a^2 - 2b^2 + 3) - 2(a^2 - 3b^2 + ab - 4)$的值。

解:$(3mx^2 - 2x^2 + 3x + 2) - (4x^2 - 3y^2 + 2x)=3mx^2 - 2x^2 + 3x + 2 - 4x^2 + 3y^2 - 2x=(3m-6)x^2 + 3y^2 + x + 2$.因为化简后不含$x^2$项,所以$3m-6=0$,解得$m=2$.所以$4m^3 - [2m^3 - (3m + 1) + m]=4m^3 - 2m^3 + 3m + 1 - m=2m^3 + 2m + 1=2×2^3 + 2×2 + 1=21$.
(1) 原式=$2x^2 - 4x - 3x^2 - 5x=-x^2 - 9x$.当$x=-2$时,原式=$-(-2)^2 -9×(-2)=14$.
(2) 原式=$-4x^2 + 2xy - 2y^2 + 4x^2 - 4xy + 2y^2=-2xy$.当$x=3,y=-1$时,原式=$-2×3×(-1)=6$.
(3) $x^3 + ax^2 + 2x - 3 - bx -5x^2=x^3 + (a-5)x^2 + (2-b)x -3$,由题意,得$a-5=0,2-b=0$,解得$a=5,b=2$.所以$3(a^2 - 2b^2 + 3) - 2(a^2 - 3b^2 + ab - 4)=3a^2 -6b^2 +9 -2a^2 +6b^2 -2ab +8=a^2 -2ab +17=5^2 -2×5×2 +17=22$.