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20. (9分)在一个$3×3$的方格中填写了9个不同的数字,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等,得到的$3×3$的方格称为一个三阶幻方(如图10).在图中空格处填上合适的数字,使它构成一个三阶幻方.
答案
解：
由右上到左下的对角线三数之和，可得三阶幻方的幻和为：
$2+3+4=9$
依次计算各空格：
1. 第一行第二格：$9-6-2=1$
2. 第二行第一格：$9-3-7=-1$
3. 第三行第三格：$9-2-7=0$
4. 第三行第二格：$9-4-0=5$
验证：
第一行：$6+1+2=9$，第二行：$-1+3+7=9$，第三行：$4+5+0=9$
第一列：$6+(-1)+4=9$，第二列：$1+3+5=9$，第三列：$2+7+0=9$
主对角线：$6+3+0=9$，副对角线：$2+3+4=9$
所有9个数字互不相同，符合要求。
最终构成的三阶幻方为：
| 6 | 1 | 2 |
|----|---|---|
| -1 | 3 | 7 |
| 4 | 5 | 0 |
由右上到左下的对角线三数之和，可得三阶幻方的幻和为：
$2+3+4=9$
依次计算各空格：
1. 第一行第二格：$9-6-2=1$
2. 第二行第一格：$9-3-7=-1$
3. 第三行第三格：$9-2-7=0$
4. 第三行第二格：$9-4-0=5$
验证：
第一行：$6+1+2=9$，第二行：$-1+3+7=9$，第三行：$4+5+0=9$
第一列：$6+(-1)+4=9$，第二列：$1+3+5=9$，第三列：$2+7+0=9$
主对角线：$6+3+0=9$，副对角线：$2+3+4=9$
所有9个数字互不相同，符合要求。
最终构成的三阶幻方为：
| 6 | 1 | 2 |
|----|---|---|
| -1 | 3 | 7 |
| 4 | 5 | 0 |
解析
【分析】
解决三阶幻方填数问题，首先要明确三阶幻方的核心性质：每行、每列、每条对角线上的三个数之和（也称幻和）都相等。首先观察已知数字，可发现右上到左下的对角线上2、3、4三个数是完整的，因此可以先通过这三个数算出幻和。得到幻和后，对其余行、列、对角线，只要已知两个数，就可以用幻和减去这两个数得到第三个数，最后验证所有行、列、对角线的和均等于幻和，且9个数字互不相同即可。
【解析】
第一步：计算幻和。观察右上到左下的对角线，三个数分别为2、3、4，因此幻和为：
$2+3+4=9$
第二步：依次计算各空格数字：
1. 第一行已有数字6和2，第一行第二格的数字为：$9-6-2=1$
2. 第二行已有数字3和7，第二行第一格的数字为：$9-3-7=-1$
3. 第三列已有数字2和7，第三行第三格的数字为：$9-2-7=0$
4. 第三行已有数字4和0，第三行第二格的数字为：$9-4-0=5$
第三步：验证：
每行和：$6+1+2=9$，$-1+3+7=9$，$4+5+0=9$
每列和：$6+(-1)+4=9$，$1+3+5=9$，$2+7+0=9$
对角线和：$6+3+0=9$，$2+3+4=9$
且9个数字互不相同，符合三阶幻方要求。
【答案】
| 6 | 1 | 2 |
|----|---|---|
| -1 | 3 | 7 |
| 4 | 5 | 0 |
【知识点】
1. 三阶幻方性质
2. 有理数加减运算
【点评】
本题核心考查三阶幻方的基本规律，解题的突破口是先找到已知三个数的对角线求出幻和，再以此为基础逐步推导其余未知数字，最后注意验证所有行、列、对角线的和相等，且所有数字互不相同即可，解题思路清晰，规律性较强。
【难度系数】
0.7
解决三阶幻方填数问题，首先要明确三阶幻方的核心性质：每行、每列、每条对角线上的三个数之和（也称幻和）都相等。首先观察已知数字，可发现右上到左下的对角线上2、3、4三个数是完整的，因此可以先通过这三个数算出幻和。得到幻和后，对其余行、列、对角线，只要已知两个数，就可以用幻和减去这两个数得到第三个数，最后验证所有行、列、对角线的和均等于幻和，且9个数字互不相同即可。
【解析】
第一步：计算幻和。观察右上到左下的对角线，三个数分别为2、3、4，因此幻和为：
$2+3+4=9$
第二步：依次计算各空格数字：
1. 第一行已有数字6和2，第一行第二格的数字为：$9-6-2=1$
2. 第二行已有数字3和7，第二行第一格的数字为：$9-3-7=-1$
3. 第三列已有数字2和7，第三行第三格的数字为：$9-2-7=0$
4. 第三行已有数字4和0，第三行第二格的数字为：$9-4-0=5$
第三步：验证：
每行和：$6+1+2=9$，$-1+3+7=9$，$4+5+0=9$
每列和：$6+(-1)+4=9$，$1+3+5=9$，$2+7+0=9$
对角线和：$6+3+0=9$，$2+3+4=9$
且9个数字互不相同，符合三阶幻方要求。
【答案】
| 6 | 1 | 2 |
|----|---|---|
| -1 | 3 | 7 |
| 4 | 5 | 0 |
【知识点】
1. 三阶幻方性质
2. 有理数加减运算
【点评】
本题核心考查三阶幻方的基本规律，解题的突破口是先找到已知三个数的对角线求出幻和，再以此为基础逐步推导其余未知数字，最后注意验证所有行、列、对角线的和相等，且所有数字互不相同即可，解题思路清晰，规律性较强。
【难度系数】
0.7
21. (9分)数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础.我们知道,|a|可以理解为|a-0|,它表示:数轴上表示数a的点到原点的距离,这是绝对值的几何意义.进一步地,数轴上的两个点A,B,分别用数a,b表示,那么A,B两点之间的距离为AB=|a-b|,反过来,式子|a-b|的几何意义是:数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离.
若数轴上点A表示数a,请回答下列问题:
(1)如果|a|=5,那么a的值是;
(2)如果|a-3|=5,那么a的值是;
(3)满足|a+2|+|a-3|=5整数a有个;
(4)如果|a+2|+|a-3|=8,那么a的值是;
(5)请计算|a+1|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|的最小值.
若数轴上点A表示数a,请回答下列问题:
(1)如果|a|=5,那么a的值是;
(2)如果|a-3|=5,那么a的值是;
(3)满足|a+2|+|a-3|=5整数a有个;
(4)如果|a+2|+|a-3|=8,那么a的值是;
(5)请计算|a+1|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|的最小值.
答案
解：
(1) 根据绝对值的几何意义，数轴上到原点距离为5的点对应的数为±5，所以a的值是$\boldsymbol{5或-5}$；
(2) $|a-3|=5$表示数轴上表示$a$的点到表示3的点的距离为5，因此$a-3=5$或$a-3=-5$，解得$a=8$或$a=-2$，即$a$的值是$\boldsymbol{8或-2}$；
(3) $|a+2|+|a-3|=5$的几何意义是数轴上表示$a$的点到表示$-2$和3的点的距离之和为5，而数轴上$-2$到3的距离恰好为5，因此$a$的取值范围是$-2≤ a≤ 3$，其中整数$a$为$-2、-1、0、1、2、3$，共6个，即整数$a$有$\boldsymbol{6}$个；
(4) 分三种情况讨论：
① 当$a＞3$时，原式可化为$(a+2)+(a-3)=8$，即$2a-1=8$，解得$a=4.5$；
② 当$a＜-2$时，原式可化为$-(a+2)-(a-3)=8$，即$-2a+1=8$，解得$a=-3.5$；
③ 当$-2≤ a≤ 3$时，原式$=(a+2)+(3-a)=5≠8$，此情况无解。
因此$a$的值是$\boldsymbol{4.5或-3.5}$；
(5) 式子$|a+1|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|$的几何意义是：数轴上表示数$a$的点到表示$-1、-2、-3、-4、-5$的五个点的距离之和。
当$a$取这五个点的中间值$-3$时，距离之和最小，代入计算：
$|-3+1|+|-3+2|+|-3+3|+|-3+4|+|-3+5| = 2+1+0+1+2 = 6$。
所以该式的最小值为6。
(1) 根据绝对值的几何意义，数轴上到原点距离为5的点对应的数为±5，所以a的值是$\boldsymbol{5或-5}$；
(2) $|a-3|=5$表示数轴上表示$a$的点到表示3的点的距离为5，因此$a-3=5$或$a-3=-5$，解得$a=8$或$a=-2$，即$a$的值是$\boldsymbol{8或-2}$；
(3) $|a+2|+|a-3|=5$的几何意义是数轴上表示$a$的点到表示$-2$和3的点的距离之和为5，而数轴上$-2$到3的距离恰好为5，因此$a$的取值范围是$-2≤ a≤ 3$，其中整数$a$为$-2、-1、0、1、2、3$，共6个，即整数$a$有$\boldsymbol{6}$个；
(4) 分三种情况讨论：
① 当$a＞3$时，原式可化为$(a+2)+(a-3)=8$，即$2a-1=8$，解得$a=4.5$；
② 当$a＜-2$时，原式可化为$-(a+2)-(a-3)=8$，即$-2a+1=8$，解得$a=-3.5$；
③ 当$-2≤ a≤ 3$时，原式$=(a+2)+(3-a)=5≠8$，此情况无解。
因此$a$的值是$\boldsymbol{4.5或-3.5}$；
(5) 式子$|a+1|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|$的几何意义是：数轴上表示数$a$的点到表示$-1、-2、-3、-4、-5$的五个点的距离之和。
当$a$取这五个点的中间值$-3$时，距离之和最小，代入计算：
$|-3+1|+|-3+2|+|-3+3|+|-3+4|+|-3+5| = 2+1+0+1+2 = 6$。
所以该式的最小值为6。
解析
【分析】
本题全部围绕绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）展开解题，思路如下：(1) |a|表示数a到原点的距离，距离为5的点在原点两侧，对应两个数；(2) |a-3|表示数a到3的距离为5，在3的左右两侧各有一个符合条件的数；(3) |a+2|+|a-3|是数a到-2和3的距离之和，先计算得-2到3的距离恰好为5，说明a在-2和3之间（含端点），再数出区间内的整数即可；(4) 距离和为8大于-2到3的距离5，说明a在-2左侧或3右侧，分情况去掉绝对值符号解方程即可，中间区间距离和恒为5不符合题意；(5) 多个绝对值的和表示数a到多个定点的距离之和，当a取这几个定点的中间位置的数时，距离和最小，代入计算即可。
【解析】
(1) |a|的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，到原点距离为5的点对应的数是5和-5，故a=±5；
(2) |a-3|的几何意义是数轴上表示数a的点到表示3的点的距离为5，因此$a-3=5$或$a-3=-5$，分别解得$a=8$或$a=-2$；
(3) |a+2|+|a-3|的几何意义是数轴上表示数a的点到表示-2和3的点的距离之和，数轴上-2到3的距离为$|3-(-2)|=5$，因此当a在-2和3之间（含-2和3）时，距离和恰好为5，即$-2≤a≤3$，其中整数a有-2、-1、0、1、2、3，共6个；
(4) 分三种情况讨论：
① 当$a＞3$时，$a+2＞0$，$a-3＞0$，原式可化为$(a+2)+(a-3)=8$，化简得$2a-1=8$，解得$a=4.5$；
② 当$a＜-2$时，$a+2＜0$，$a-3＜0$，原式可化为$-(a+2)-(a-3)=8$，化简得$-2a+1=8$，解得$a=-3.5$；
③ 当$-2≤a≤3$时，$a+2≥0$，$a-3≤0$，原式可化为$(a+2)+(3-a)=5≠8$，此情况无解。
综上，a的值为4.5或-3.5；
(5) $|a+1|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|$的几何意义是数轴上表示数a的点到表示-1、-2、-3、-4、-5五个点的距离之和，当a取五个点的中间值-3时，距离之和最小，代入计算得：
$|-3+1|+|-3+2|+|-3+3|+|-3+4|+|-3+5|=2+1+0+1+2=6$，故最小值为6。
【答案】
(1) 5或-5；(2) 8或-2；(3) 6；(4) 4.5或-3.5；(5) 6
【知识点】
绝对值的几何意义，数轴两点距离，绝对值最值问题
【点评】
本题依托数轴考查绝对值的几何意义应用，题型设计由浅入深，既考查基础概念的掌握，也考查数形结合思想的灵活运用，能够有效区分学生对绝对值概念的理解深度。
【难度系数】
0.65
本题全部围绕绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）展开解题，思路如下：(1) |a|表示数a到原点的距离，距离为5的点在原点两侧，对应两个数；(2) |a-3|表示数a到3的距离为5，在3的左右两侧各有一个符合条件的数；(3) |a+2|+|a-3|是数a到-2和3的距离之和，先计算得-2到3的距离恰好为5，说明a在-2和3之间（含端点），再数出区间内的整数即可；(4) 距离和为8大于-2到3的距离5，说明a在-2左侧或3右侧，分情况去掉绝对值符号解方程即可，中间区间距离和恒为5不符合题意；(5) 多个绝对值的和表示数a到多个定点的距离之和，当a取这几个定点的中间位置的数时，距离和最小，代入计算即可。
【解析】
(1) |a|的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离，到原点距离为5的点对应的数是5和-5，故a=±5；
(2) |a-3|的几何意义是数轴上表示数a的点到表示3的点的距离为5，因此$a-3=5$或$a-3=-5$，分别解得$a=8$或$a=-2$；
(3) |a+2|+|a-3|的几何意义是数轴上表示数a的点到表示-2和3的点的距离之和，数轴上-2到3的距离为$|3-(-2)|=5$，因此当a在-2和3之间（含-2和3）时，距离和恰好为5，即$-2≤a≤3$，其中整数a有-2、-1、0、1、2、3，共6个；
(4) 分三种情况讨论：
① 当$a＞3$时，$a+2＞0$，$a-3＞0$，原式可化为$(a+2)+(a-3)=8$，化简得$2a-1=8$，解得$a=4.5$；
② 当$a＜-2$时，$a+2＜0$，$a-3＜0$，原式可化为$-(a+2)-(a-3)=8$，化简得$-2a+1=8$，解得$a=-3.5$；
③ 当$-2≤a≤3$时，$a+2≥0$，$a-3≤0$，原式可化为$(a+2)+(3-a)=5≠8$，此情况无解。
综上，a的值为4.5或-3.5；
(5) $|a+1|+|a+2|+|a+3|+|a+4|+|a+5|$的几何意义是数轴上表示数a的点到表示-1、-2、-3、-4、-5五个点的距离之和，当a取五个点的中间值-3时，距离之和最小，代入计算得：
$|-3+1|+|-3+2|+|-3+3|+|-3+4|+|-3+5|=2+1+0+1+2=6$，故最小值为6。
【答案】
(1) 5或-5；(2) 8或-2；(3) 6；(4) 4.5或-3.5；(5) 6
【知识点】
绝对值的几何意义，数轴两点距离，绝对值最值问题
【点评】
本题依托数轴考查绝对值的几何意义应用，题型设计由浅入深，既考查基础概念的掌握，也考查数形结合思想的灵活运用，能够有效区分学生对绝对值概念的理解深度。
【难度系数】
0.65
