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22. (10分)数学实验室：
如图11,点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB,则在数轴上A,B两点之间的距离AB=|a−b|.
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是.数轴上表示1和−3的两点之间的距离是.
(2)数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为.数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为.
(3)若x表示一个有理数,则|x−1|+|x+3|的最小值=.
如图11,点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB,则在数轴上A,B两点之间的距离AB=|a−b|.
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是.数轴上表示1和−3的两点之间的距离是.
(2)数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为.数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为.
(3)若x表示一个有理数,则|x−1|+|x+3|的最小值=.
答案
解析
【分析】
本题考查数轴上两点距离与绝对值的对应关系，解题时结合题干给出的距离公式和数形结合思想逐步分析：①第(1)问直接将对应数值代入距离公式$AB=|a-b|$计算即可；②第(2)问把对应字母和数值代入公式，化简绝对值内的表达式即可；③第(3)问将两个绝对值分别转化为数轴上x到1、x到-3的距离，根据“两点之间线段最短”，当x在两个点之间时，距离和最小，最小值就是这两个点之间的距离。
【解析】
解：根据题干给出的数轴上两点距离公式$AB = |a - b|$计算：
(1) 数轴上表示2和5的两点之间的距离为$|2 - 5| = |-3| = 3$；
数轴上表示1和$-3$的两点之间的距离为$|1 - (-3)| = |4| = 4$。
(2) 数轴上表示x和$-2$的两点之间的距离为$|x - (-2)| = |x + 2|$；
数轴上表示x和5的两点之间的距离为$|x - 5|$。
(3) 由绝对值的几何意义可知：
$|x - 1|$表示数轴上x对应的点到1对应的点的距离，
$|x + 3| = |x - (-3)|$表示数轴上x对应的点到$-3$对应的点的距离，
当x对应的点在$-3$和1对应的点之间（包含端点）时，两个距离的和最小，
最小值为1到$-3$的距离：$|1 - (-3)| = 4$，即$|x - 1| + |x + 3|$的最小值为4。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；$\boxed{4}$
(2) $\boxed{|x+2|}$；$\boxed{|x-5|}$
(3) $\boxed{4}$
【知识点】
数轴两点距离公式；绝对值的几何意义；数形结合思想
【点评】
本题将绝对值运算和数轴距离相结合，侧重考察数形结合思想的应用，前两问为基础公式的直接应用，第三问借助几何意义求最值比代数分段计算更简便，熟练掌握绝对值与数轴距离的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题考查数轴上两点距离与绝对值的对应关系，解题时结合题干给出的距离公式和数形结合思想逐步分析：①第(1)问直接将对应数值代入距离公式$AB=|a-b|$计算即可；②第(2)问把对应字母和数值代入公式，化简绝对值内的表达式即可；③第(3)问将两个绝对值分别转化为数轴上x到1、x到-3的距离，根据“两点之间线段最短”，当x在两个点之间时，距离和最小，最小值就是这两个点之间的距离。
【解析】
解：根据题干给出的数轴上两点距离公式$AB = |a - b|$计算：
(1) 数轴上表示2和5的两点之间的距离为$|2 - 5| = |-3| = 3$；
数轴上表示1和$-3$的两点之间的距离为$|1 - (-3)| = |4| = 4$。
(2) 数轴上表示x和$-2$的两点之间的距离为$|x - (-2)| = |x + 2|$；
数轴上表示x和5的两点之间的距离为$|x - 5|$。
(3) 由绝对值的几何意义可知：
$|x - 1|$表示数轴上x对应的点到1对应的点的距离，
$|x + 3| = |x - (-3)|$表示数轴上x对应的点到$-3$对应的点的距离，
当x对应的点在$-3$和1对应的点之间（包含端点）时，两个距离的和最小，
最小值为1到$-3$的距离：$|1 - (-3)| = 4$，即$|x - 1| + |x + 3|$的最小值为4。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；$\boxed{4}$
(2) $\boxed{|x+2|}$；$\boxed{|x-5|}$
(3) $\boxed{4}$
【知识点】
数轴两点距离公式；绝对值的几何意义；数形结合思想
【点评】
本题将绝对值运算和数轴距离相结合，侧重考察数形结合思想的应用，前两问为基础公式的直接应用，第三问借助几何意义求最值比代数分段计算更简便，熟练掌握绝对值与数轴距离的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
23. (10分)如图12,已知数轴上两点A,B对应的数分别为-8和4,P为数轴上一动点,若规定:点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍时,我们就称点P是关于A→B的“好点”.
(1)当点P到点A的距离等于点P到点B的距离时,求点P表示的数是多少;
(2)若点P运动到原点O时,此时点P关于A→B的“好点”;(填“是”或“不是”)
(3)若点P以每秒1个单位长度的速度从原点O开始向右运动,当点P是关于A→B的“好点”时,求点P的运动时间.
(1)当点P到点A的距离等于点P到点B的距离时,求点P表示的数是多少;
(2)若点P运动到原点O时,此时点P关于A→B的“好点”;(填“是”或“不是”)
(3)若点P以每秒1个单位长度的速度从原点O开始向右运动,当点P是关于A→B的“好点”时,求点P的运动时间.
答案
解：(1) 设点P表示的数为x，
根据题意得：$|x - (-8)| = |x - 4|$，
即$|x + 8| = |x - 4|$，
点P在A、B之间，因此$x+8 = 4 - x$，
移项得$2x = -4$，
解得$x = -2$。
所以点P表示的数是$-2$。
(2) 当点P运动到原点O时，$PA = |0 - (-8)| = 8$，$PB = |0 - 4| = 4$，
因为$8 ≠ 3×4$，所以此时点P不是关于$A\rightarrow B$的“好点”。
(3) 设点P的运动时间为$t$秒，由题意得点P表示的数为$t$（$t≥0$），
则$PA = |t + 8| = t + 8$，$PB = |t - 4|$。
根据“好点”定义得：$t + 8 = 3|t - 4|$。
① 当$0 ≤ t ≤ 4$时，$t-4 ≤ 0$，方程化为：
$t + 8 = 3(4 - t)$
$t + 8 = 12 - 3t$
$4t = 4$
解得$t=1$，符合题意。
② 当$t ＞ 4$时，$t-4 ＞ 0$，方程化为：
$t + 8 = 3(t - 4)$
$t + 8 = 3t - 12$
$2t = 20$
解得$t=10$，符合题意。
综上，点P的运动时间为1秒或10秒。
根据题意得：$|x - (-8)| = |x - 4|$，
即$|x + 8| = |x - 4|$，
点P在A、B之间，因此$x+8 = 4 - x$，
移项得$2x = -4$，
解得$x = -2$。
所以点P表示的数是$-2$。
(2) 当点P运动到原点O时，$PA = |0 - (-8)| = 8$，$PB = |0 - 4| = 4$，
因为$8 ≠ 3×4$，所以此时点P不是关于$A\rightarrow B$的“好点”。
(3) 设点P的运动时间为$t$秒，由题意得点P表示的数为$t$（$t≥0$），
则$PA = |t + 8| = t + 8$，$PB = |t - 4|$。
根据“好点”定义得：$t + 8 = 3|t - 4|$。
① 当$0 ≤ t ≤ 4$时，$t-4 ≤ 0$，方程化为：
$t + 8 = 3(4 - t)$
$t + 8 = 12 - 3t$
$4t = 4$
解得$t=1$，符合题意。
② 当$t ＞ 4$时，$t-4 ＞ 0$，方程化为：
$t + 8 = 3(t - 4)$
$t + 8 = 3t - 12$
$2t = 20$
解得$t=10$，符合题意。
综上，点P的运动时间为1秒或10秒。
解析
【分析】
(1) 求解到A、B距离相等的点P时，先设点P表示的数为x，根据数轴上两点距离等于对应数差的绝对值，列出距离相等的方程，由于P在A、B之间，可直接去绝对值化简求解。
(2) 判断原点是否为“好点”，只需计算P在原点时PA、PB的长度，验证PA是否等于3倍PB即可。
(3) 点P从原点向右运动，t秒后对应数为t（t≥0），先表示出PA、PB的长度，其中PA恒为正可直接去绝对值，PB需根据t和4的大小关系分情况去绝对值，再结合“好点”定义列方程求解，最后验证解是否符合取值范围。
【解析】
(1) 设点P表示的数为x，
根据题意得：$|x - (-8)| = |x - 4|$，
即$|x + 8| = |x - 4|$，
此时点P在A、B之间，因此$x+8 = 4 - x$，
移项得$2x = -4$，
解得$x = -2$。
(2) 当点P运动到原点O时，$PA = |0 - (-8)| = 8$，$PB = |0 - 4| = 4$，
因为$8 ≠ 3×4=12$，所以此时点P不是关于$A\rightarrow B$的“好点”。
(3) 设点P的运动时间为$t$秒，由题意得点P表示的数为$t$（$t≥0$），
则$PA = |t + 8| = t + 8$，$PB = |t - 4|$。
根据“好点”定义得：$t + 8 = 3|t - 4|$。
① 当$0 ≤ t ≤ 4$时，$t-4 ≤ 0$，方程化为：
$t + 8 = 3(4 - t)$
$t + 8 = 12 - 3t$
$4t = 4$
解得$t=1$，符合题意。
② 当$t ＞ 4$时，$t-4 ＞ 0$，方程化为：
$t + 8 = 3(t - 4)$
$t + 8 = 3t - 12$
$2t = 20$
解得$t=10$，符合题意。
综上，点P的运动时间为1秒或10秒。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{不是}$；(3) $\boldsymbol{1秒或10秒}$
【知识点】
数轴两点距离，绝对值方程，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查数轴相关知识，前两问侧重基础的距离运算，第三问为动态问题，需要根据绝对值的性质分情况求解，能很好地锻炼思维的严谨性，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求解到A、B距离相等的点P时，先设点P表示的数为x，根据数轴上两点距离等于对应数差的绝对值，列出距离相等的方程，由于P在A、B之间，可直接去绝对值化简求解。
(2) 判断原点是否为“好点”，只需计算P在原点时PA、PB的长度，验证PA是否等于3倍PB即可。
(3) 点P从原点向右运动，t秒后对应数为t（t≥0），先表示出PA、PB的长度，其中PA恒为正可直接去绝对值，PB需根据t和4的大小关系分情况去绝对值，再结合“好点”定义列方程求解，最后验证解是否符合取值范围。
【解析】
(1) 设点P表示的数为x，
根据题意得：$|x - (-8)| = |x - 4|$，
即$|x + 8| = |x - 4|$，
此时点P在A、B之间，因此$x+8 = 4 - x$，
移项得$2x = -4$，
解得$x = -2$。
(2) 当点P运动到原点O时，$PA = |0 - (-8)| = 8$，$PB = |0 - 4| = 4$，
因为$8 ≠ 3×4=12$，所以此时点P不是关于$A\rightarrow B$的“好点”。
(3) 设点P的运动时间为$t$秒，由题意得点P表示的数为$t$（$t≥0$），
则$PA = |t + 8| = t + 8$，$PB = |t - 4|$。
根据“好点”定义得：$t + 8 = 3|t - 4|$。
① 当$0 ≤ t ≤ 4$时，$t-4 ≤ 0$，方程化为：
$t + 8 = 3(4 - t)$
$t + 8 = 12 - 3t$
$4t = 4$
解得$t=1$，符合题意。
② 当$t ＞ 4$时，$t-4 ＞ 0$，方程化为：
$t + 8 = 3(t - 4)$
$t + 8 = 3t - 12$
$2t = 20$
解得$t=10$，符合题意。
综上，点P的运动时间为1秒或10秒。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{不是}$；(3) $\boldsymbol{1秒或10秒}$
【知识点】
数轴两点距离，绝对值方程，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查数轴相关知识，前两问侧重基础的距离运算，第三问为动态问题，需要根据绝对值的性质分情况求解，能很好地锻炼思维的严谨性，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
