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8. 如图6，AB是$\odot O$的直径，$∠ ACD = ∠ CAB$，$AD=2$，$AC=4$，则$\odot O$的半径为（）
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，因此连接BC可得到直角三角形ACB；再根据相等的圆周角所对的弧相等，推导得到弧AD=弧BC，因此对应弦BC的长度等于AD的长度；最后在直角三角形ACB中用勾股定理求出直径AB的长度，除以2即可得到圆的半径。
【解析】
连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$。
∵$∠ ACD=∠ CAB$，且$∠ ACD$对应弧$AD$，$∠ CAB$对应弧$BC$，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可得弧$AD$=弧$BC$，因此对应弦长$BC=AD=2$。
在$Rt△ ACB$中，$AC=4$，$BC=2$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
∴$\odot O$的半径为$AB÷2=2\sqrt{5}÷2=\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等弧对等弦
【点评】
本题是圆的基本性质与勾股定理的综合应用题，解题的关键是通过圆周角相等推导出对应弦长相等，再结合直径对应的直角三角形计算，解题思路清晰，属于圆章节的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，因此连接BC可得到直角三角形ACB；再根据相等的圆周角所对的弧相等，推导得到弧AD=弧BC，因此对应弦BC的长度等于AD的长度；最后在直角三角形ACB中用勾股定理求出直径AB的长度，除以2即可得到圆的半径。
【解析】
连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$。
∵$∠ ACD=∠ CAB$，且$∠ ACD$对应弧$AD$，$∠ CAB$对应弧$BC$，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可得弧$AD$=弧$BC$，因此对应弦长$BC=AD=2$。
在$Rt△ ACB$中，$AC=4$，$BC=2$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
∴$\odot O$的半径为$AB÷2=2\sqrt{5}÷2=\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等弧对等弦
【点评】
本题是圆的基本性质与勾股定理的综合应用题，解题的关键是通过圆周角相等推导出对应弦长相等，再结合直径对应的直角三角形计算，解题思路清晰，属于圆章节的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
9. 如图7，PA，PB分别与$\odot O$相切于点A，B，连接PO并延长与$\odot O$交于点C，D。若$CD=12$，$PA=8$，则$\sin∠ ADB$的值为（）
A.$\dfrac{4}{5}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{3}$
A.$\dfrac{4}{5}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{3}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先利用切线的性质构造直角三角形，结合已知直径求出圆的半径，再用勾股定理计算线段OP的长度；随后利用圆周角定理以及切线的对称性，将待求的∠ADB转化为直角三角形OPA中的∠AOP，最后根据正弦的定义计算即可得到结果。具体思考路径：①连接OA，由切线垂直过切点的半径得直角三角形OPA；②由直径CD=12得半径OA=6，结合PA=8用勾股定理求OP；③推导∠ADB与∠AOP相等，将求sin∠ADB转化为求sin∠AOP。
【解析】
解：连接OA，
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∵CD为⊙O的直径，CD=12，
∴⊙O的半径OA=6，
在Rt△OAP中，OA=6，PA=8，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵PA、PB均为⊙O的切线，
∴OP平分∠AOB，即弧AC=弧BC，
∵∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOP是弧AC所对的圆心角，
∴$∠ ADB=\frac{1}{2}×$弧AB的度数=弧AC的度数=$∠ AOP$，
∴$\sin∠ ADB=\sin∠ AOP=\frac{PA}{OP}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角函数结合的典型题型，解题核心是通过圆周角定理实现未知角到已知直角三角形内角的转化，既考查了基础概念的掌握，也考验了角度转化的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用切线的性质构造直角三角形，结合已知直径求出圆的半径，再用勾股定理计算线段OP的长度；随后利用圆周角定理以及切线的对称性，将待求的∠ADB转化为直角三角形OPA中的∠AOP，最后根据正弦的定义计算即可得到结果。具体思考路径：①连接OA，由切线垂直过切点的半径得直角三角形OPA；②由直径CD=12得半径OA=6，结合PA=8用勾股定理求OP；③推导∠ADB与∠AOP相等，将求sin∠ADB转化为求sin∠AOP。
【解析】
解：连接OA，
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∵CD为⊙O的直径，CD=12，
∴⊙O的半径OA=6，
在Rt△OAP中，OA=6，PA=8，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵PA、PB均为⊙O的切线，
∴OP平分∠AOB，即弧AC=弧BC，
∵∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOP是弧AC所对的圆心角，
∴$∠ ADB=\frac{1}{2}×$弧AB的度数=弧AC的度数=$∠ AOP$，
∴$\sin∠ ADB=\sin∠ AOP=\frac{PA}{OP}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角函数结合的典型题型，解题核心是通过圆周角定理实现未知角到已知直角三角形内角的转化，既考查了基础概念的掌握，也考验了角度转化的思维能力。
【难度系数】
0.7
10. (2025·南充) 如图8,AB是$\odot O$的直径,AD⊥AB于点A,OD交$\odot O$于点C,AE⊥OD于点E,交$\odot O$于点F,F为$\overset{\frown}{BC}$的中点,P为线段AB上一动点。若CD=4,则PE+PF的最小值是 ()
A.4
B.$2\sqrt{7}$
C.6
D.$4\sqrt{3}$
A.4
B.$2\sqrt{7}$
C.6
D.$4\sqrt{3}$
答案
C
解析
【分析】
本题是圆的性质与最短路径结合的综合题，解题思路如下：①先利用垂径定理和弧中点的性质，推出三段弧相等，得到各段弧对应的圆心角为60°；②结合直角三角形30°角的性质求出圆的半径，进而得到OE的长度；③PE+PF的最小值符合将军饮马模型，作F关于AB的对称点F'，则最小值等于EF'的长度，结合角度关系计算EF'即可。
【解析】
1. 求⊙O的半径：
∵AD⊥AB，AE⊥OD，
∴∠D + ∠DOA = 90°，∠OAE + ∠DOA = 90°，
∴∠D=∠OAE。
∵AE⊥OC，OC为⊙O的半径，由垂径定理得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$。
又
∵F是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$，故$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$。
∵AB是⊙O的直径，三段弧之和为半圆，
∴对应的圆心角∠AOC=∠COF=∠FOB=60°。
在Rt△DAO中，∠DAO=90°，∠AOD=60°，
∴∠D=30°，则OD=2OA。
∵OD=OC+CD=OA+4，
∴OA+4=2OA，解得OA=4，即⊙O半径为4。
2. 求OE的长度：
在Rt△AEO中，∠AOE=60°，OA=4，
∴$OE=OA·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$。
3. 求PE+PF的最小值：
作点F关于AB的对称点F'，由圆的对称性可知F'在⊙O上，且OF'=OF=4，∠BOF'=∠BOF=60°。
连接EF'，交AB于点P，此时PE+PF=PE+PF'=EF'，值最小（两点之间线段最短）。
∵∠COB=180°-∠AOC=120°，
∴∠COF'=∠COB + ∠BOF'=120°+60°=180°，即E、O、F'三点共线。
∴$EF'=OE + OF'=2+4=6$，即PE+PF的最小值为6。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，将军饮马模型，圆的基本性质
【点评】
本题将圆的性质与最短路径问题结合，需要学生熟练掌握垂径定理、圆心角与弧的关系，以及将军饮马模型的转化方法，能较好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是圆的性质与最短路径结合的综合题，解题思路如下：①先利用垂径定理和弧中点的性质，推出三段弧相等，得到各段弧对应的圆心角为60°；②结合直角三角形30°角的性质求出圆的半径，进而得到OE的长度；③PE+PF的最小值符合将军饮马模型，作F关于AB的对称点F'，则最小值等于EF'的长度，结合角度关系计算EF'即可。
【解析】
1. 求⊙O的半径：
∵AD⊥AB，AE⊥OD，
∴∠D + ∠DOA = 90°，∠OAE + ∠DOA = 90°，
∴∠D=∠OAE。
∵AE⊥OC，OC为⊙O的半径，由垂径定理得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$。
又
∵F是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$，故$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$。
∵AB是⊙O的直径，三段弧之和为半圆，
∴对应的圆心角∠AOC=∠COF=∠FOB=60°。
在Rt△DAO中，∠DAO=90°，∠AOD=60°，
∴∠D=30°，则OD=2OA。
∵OD=OC+CD=OA+4，
∴OA+4=2OA，解得OA=4，即⊙O半径为4。
2. 求OE的长度：
在Rt△AEO中，∠AOE=60°，OA=4，
∴$OE=OA·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$。
3. 求PE+PF的最小值：
作点F关于AB的对称点F'，由圆的对称性可知F'在⊙O上，且OF'=OF=4，∠BOF'=∠BOF=60°。
连接EF'，交AB于点P，此时PE+PF=PE+PF'=EF'，值最小（两点之间线段最短）。
∵∠COB=180°-∠AOC=120°，
∴∠COF'=∠COB + ∠BOF'=120°+60°=180°，即E、O、F'三点共线。
∴$EF'=OE + OF'=2+4=6$，即PE+PF的最小值为6。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，将军饮马模型，圆的基本性质
【点评】
本题将圆的性质与最短路径问题结合，需要学生熟练掌握垂径定理、圆心角与弧的关系，以及将军饮马模型的转化方法，能较好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(2024·青海)如图9,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$∠A=50°$,则$∠C$的度数是。
11.(2024·青海)如图9,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$∠A=50°$,则$∠C$的度数是。
答案
$\boldsymbol{130°}$
解析
【分析】
题目已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，给出了∠A的度数，要求∠C的度数，首先回忆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即对角的和为180°，∠C和∠A是内接四边形的一组对角，因此只需用180°减去已知的∠A的度数，就能求出∠C的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴根据圆内接四边形对角互补的性质可得：$∠ A + ∠ C = 180°$，
又
∵$∠ A=50°$，
∴$∠ C=180° - 50°=130°$。
【答案】
$\boldsymbol{130°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、补角的运算
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆内接四边形的核心性质，只要熟记相关性质即可快速计算出结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
题目已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，给出了∠A的度数，要求∠C的度数，首先回忆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即对角的和为180°，∠C和∠A是内接四边形的一组对角，因此只需用180°减去已知的∠A的度数，就能求出∠C的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴根据圆内接四边形对角互补的性质可得：$∠ A + ∠ C = 180°$，
又
∵$∠ A=50°$，
∴$∠ C=180° - 50°=130°$。
【答案】
$\boldsymbol{130°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、补角的运算
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆内接四边形的核心性质，只要熟记相关性质即可快速计算出结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
12.(2025·上海)已知平面内有一个角,一个圆与这个角的两边都有两个交点,若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边,那么这个角的度数为度。
答案
$\boldsymbol{36}$
解析
【分析】
解题时首先回忆正多边形的基本性质：正五边形各边相等，各内角也相等。题目中圆截角的两边得到的弦都是正五边形的边，说明这两条弦是正五边形的两条边，它们所在的直线就是已知角的两边，交点就是角的顶点。我们可以先算出正五边形的内角度数，再通过三角形内角和推导所求角的度数，思路清晰且符合九年级知识要求。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，正五边形的内角和为$\boldsymbol{(5-2)×180°=540°}$，因此正五边形每个内角的度数为$540°÷5=108°$。
2. 分析相关外角的度数：
两条截得的弦是正五边形的两条边，这两条边所在直线的交点就是所求角的顶点。两条边分别与正五边形的公共邻边形成外角，每个外角的度数为$\boldsymbol{180°-108°=72°}$。
3. 利用三角形内角和计算所求角：
两个72°的外角和所求角构成三角形的三个内角，根据三角形内角和为180°，可得所求角的度数为$180°-72°×2=36°$。
【答案】
$\boldsymbol{36}$
【知识点】
正多边形的性质、三角形内角和定理、弦的性质
【点评】
本题综合考查正多边形和圆的相关知识，解题的核心是建立正五边形的边与圆截得的弦的对应关系，对基础概念的理解和综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆正多边形的基本性质：正五边形各边相等，各内角也相等。题目中圆截角的两边得到的弦都是正五边形的边，说明这两条弦是正五边形的两条边，它们所在的直线就是已知角的两边，交点就是角的顶点。我们可以先算出正五边形的内角度数，再通过三角形内角和推导所求角的度数，思路清晰且符合九年级知识要求。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，正五边形的内角和为$\boldsymbol{(5-2)×180°=540°}$，因此正五边形每个内角的度数为$540°÷5=108°$。
2. 分析相关外角的度数：
两条截得的弦是正五边形的两条边，这两条边所在直线的交点就是所求角的顶点。两条边分别与正五边形的公共邻边形成外角，每个外角的度数为$\boldsymbol{180°-108°=72°}$。
3. 利用三角形内角和计算所求角：
两个72°的外角和所求角构成三角形的三个内角，根据三角形内角和为180°，可得所求角的度数为$180°-72°×2=36°$。
【答案】
$\boldsymbol{36}$
【知识点】
正多边形的性质、三角形内角和定理、弦的性质
【点评】
本题综合考查正多边形和圆的相关知识，解题的核心是建立正五边形的边与圆截得的弦的对应关系，对基础概念的理解和综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13.(2025·齐齐哈尔)已知圆锥的底面半径为40 cm，母线长为90 cm，则它的侧面展开图的圆心角为度。
答案
$\boldsymbol{160}$
解析
【分析】
解题时首先要明确圆锥和其侧面展开图的对应关系：圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径。我们可以设侧面展开图的圆心角为n度，结合弧长公式和上述等量关系列方程，即可求出圆心角的度数。
【解析】
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面周长：
底面周长$C = 2π r = 2π×40 = 80π\ \mathrm{cm}$
2. 圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于底面周长，扇形半径为母线长90cm，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$R$为扇形半径），列等式：
$\frac{nπ×90}{180}=80π$
3. 解方程：
两边同时约去$π$，化简得$\frac{n}{2}=80$，解得$n=160$。
【答案】
$\boldsymbol{160}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥与侧面展开图的等量对应关系，解题的关键是牢记“底面周长等于展开扇形弧长”这一核心等量关系，再结合弧长公式求解即可，是几何中常见的基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确圆锥和其侧面展开图的对应关系：圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径。我们可以设侧面展开图的圆心角为n度，结合弧长公式和上述等量关系列方程，即可求出圆心角的度数。
【解析】
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面周长：
底面周长$C = 2π r = 2π×40 = 80π\ \mathrm{cm}$
2. 圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于底面周长，扇形半径为母线长90cm，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$R$为扇形半径），列等式：
$\frac{nπ×90}{180}=80π$
3. 解方程：
两边同时约去$π$，化简得$\frac{n}{2}=80$，解得$n=160$。
【答案】
$\boldsymbol{160}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥与侧面展开图的等量对应关系，解题的关键是牢记“底面周长等于展开扇形弧长”这一核心等量关系，再结合弧长公式求解即可，是几何中常见的基础考点。
【难度系数】
0.8
14. 如图10,在△ABC中,∠B=90°,⊙O过点A,C,与AB交于点D,与BC相切于点C。若∠A=32°,则∠ADO=。
答案
$\boldsymbol{64}$
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接过切点C的半径OC，得到OC⊥BC；结合∠B=90°可推出OC与AB平行，进而得到内错角∠ADO=∠DOC；再利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠DOC的度数，最终得到∠ADO的结果。
【解析】
解：连接OC，
∵ BC与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥BC，即∠OCB=90°，
又
∵ ∠B=90°，
∴ AB⊥BC，
∴ OC//AB，
∴ ∠ADO=∠DOC（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠A是⊙O中弧DC所对的圆周角，∠DOC是弧DC所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理得：∠DOC=2∠A=2×32°=64°，
∴ ∠ADO=64°。
【答案】
$\boldsymbol{64}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是熟练掌握"遇切线连半径"的辅助线技巧，再结合平行线性质和圆周角定理即可快速求解，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质，连接过切点C的半径OC，得到OC⊥BC；结合∠B=90°可推出OC与AB平行，进而得到内错角∠ADO=∠DOC；再利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠DOC的度数，最终得到∠ADO的结果。
【解析】
解：连接OC，
∵ BC与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥BC，即∠OCB=90°，
又
∵ ∠B=90°，
∴ AB⊥BC，
∴ OC//AB，
∴ ∠ADO=∠DOC（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠A是⊙O中弧DC所对的圆周角，∠DOC是弧DC所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理得：∠DOC=2∠A=2×32°=64°，
∴ ∠ADO=64°。
【答案】
$\boldsymbol{64}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的核心是熟练掌握"遇切线连半径"的辅助线技巧，再结合平行线性质和圆周角定理即可快速求解，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
