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1.若圆内接正多边形的一个中心角是40°,则这个正多边形的边数是 （）
A.5
B.6
C.8
D.9
A.5
B.6
C.8
D.9
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆正多边形中心角的相关性质：任意正多边形的所有中心角之和为周角360°，且正多边形的每个中心角度数相等。要求正多边形的边数，只需用中心角总度数360°除以单个中心角的度数即可，代入题目给出的40°计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵ 正多边形的所有中心角之和为360°，且正多边形的每个中心角大小相等，
设该正多边形的边数为$n$，已知单个中心角为40°，
∴ 边数 $n = \frac{360°}{40°} = 9$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 正多边形中心角性质
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查正多边形中心角和边数的对应关系，熟记正多边形中心角总和为360°的性质即可快速得出答案，解题难度低。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正多边形中心角的相关性质：任意正多边形的所有中心角之和为周角360°，且正多边形的每个中心角度数相等。要求正多边形的边数，只需用中心角总度数360°除以单个中心角的度数即可，代入题目给出的40°计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵ 正多边形的所有中心角之和为360°，且正多边形的每个中心角大小相等，
设该正多边形的边数为$n$，已知单个中心角为40°，
∴ 边数 $n = \frac{360°}{40°} = 9$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 正多边形中心角性质
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查正多边形中心角和边数的对应关系，熟记正多边形中心角总和为360°的性质即可快速得出答案，解题难度低。
【难度系数】
0.9
2.(2025·云南)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为$90°$,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为 ()
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
B
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图（扇形）与圆锥本身的参数对应关系：①扇形的半径等于圆锥的母线长；②扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先根据已知的圆心角和母线长，用弧长公式算出侧面展开图的弧长，再利用弧长等于底面圆周长的等量关系，列方程求解底面半径即可。
【解析】
设该圆锥的底面圆半径为$r\ \mathrm{cm}$。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径即圆锥母线长），代入$n=90°$，$R=40\ \mathrm{cm}$得：
$l=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm}$
2. 根据“扇形弧长=圆锥底面圆周长”列方程：
圆的周长公式为$C=2π r$，因此有：
$2π r=20π$
两边同时除以$2π$，解得$r=10$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥与展开图的对应关系；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题型，解题关键是牢记圆锥侧面展开图和圆锥各参数的等量对应关系，熟练运用弧长、圆周长公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图（扇形）与圆锥本身的参数对应关系：①扇形的半径等于圆锥的母线长；②扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先根据已知的圆心角和母线长，用弧长公式算出侧面展开图的弧长，再利用弧长等于底面圆周长的等量关系，列方程求解底面半径即可。
【解析】
设该圆锥的底面圆半径为$r\ \mathrm{cm}$。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径即圆锥母线长），代入$n=90°$，$R=40\ \mathrm{cm}$得：
$l=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm}$
2. 根据“扇形弧长=圆锥底面圆周长”列方程：
圆的周长公式为$C=2π r$，因此有：
$2π r=20π$
两边同时除以$2π$，解得$r=10$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥与展开图的对应关系；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题型，解题关键是牢记圆锥侧面展开图和圆锥各参数的等量对应关系，熟练运用弧长、圆周长公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. (2025·新疆)如图1, CD是$\odot O$的直径, AB是弦, $AB ⊥ CD$, $∠ ADC=30°$, 则$∠ BOC=$ ()
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：CD是⊙O的直径且AB⊥CD，可联想到垂径定理，得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，即两段弧对应的圆心角相等；再结合给出的圆周角∠ADC=30°，利用圆周角定理求出$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角度数，即可得出∠BOC的度数。
【解析】
解：
1. 因为CD是$\odot O$的直径，$AB ⊥ CD$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，因此两段弧对应的圆心角$∠ AOC=∠ BOC$。
2. $∠ ADC$是$\odot O$的圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可得$∠ AOC=2∠ ADC$。
3. 已知$∠ ADC=30°$，代入得$∠ AOC=2×30°=60°$，因此$∠ BOC=∠ AOC=60°$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，只要熟练掌握垂径定理和圆周角定理，准确找到弧、圆周角、圆心角的对应关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：CD是⊙O的直径且AB⊥CD，可联想到垂径定理，得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，即两段弧对应的圆心角相等；再结合给出的圆周角∠ADC=30°，利用圆周角定理求出$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角度数，即可得出∠BOC的度数。
【解析】
解：
1. 因为CD是$\odot O$的直径，$AB ⊥ CD$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，因此两段弧对应的圆心角$∠ AOC=∠ BOC$。
2. $∠ ADC$是$\odot O$的圆周角，它所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可得$∠ AOC=2∠ ADC$。
3. 已知$∠ ADC=30°$，代入得$∠ AOC=2×30°=60°$，因此$∠ BOC=∠ AOC=60°$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，只要熟练掌握垂径定理和圆周角定理，准确找到弧、圆周角、圆心角的对应关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
4. (2024·甘肃)如图2,点A,B,C在$\odot O$上,$AC ⊥ OB$,垂足为D,若$∠ A=35°$,则$∠ C$的度数是 ()
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先∠A是弧BC对应的圆周角，可根据圆周角定理求出该弧对应的圆心角∠BOC的度数；再结合AC⊥OB得到△ODC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠C的度数。
【解析】
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，且∠BAC=35°
∴根据圆周角定理，弧BC所对的圆心角∠BOC=2∠BAC=2×35°=70°
∵AC⊥OB，垂足为D
∴∠ODC=90°，即△ODC为直角三角形
在Rt△ODC中，∠C + ∠BOC = 90°
∴∠C=90° - ∠BOC=90° - 70°=20°
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是准确找到同弧所对的圆周角和圆心角的对应关系，再结合直角三角形的角度关系计算，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先∠A是弧BC对应的圆周角，可根据圆周角定理求出该弧对应的圆心角∠BOC的度数；再结合AC⊥OB得到△ODC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠C的度数。
【解析】
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，且∠BAC=35°
∴根据圆周角定理，弧BC所对的圆心角∠BOC=2∠BAC=2×35°=70°
∵AC⊥OB，垂足为D
∴∠ODC=90°，即△ODC为直角三角形
在Rt△ODC中，∠C + ∠BOC = 90°
∴∠C=90° - ∠BOC=90° - 70°=20°
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是准确找到同弧所对的圆周角和圆心角的对应关系，再结合直角三角形的角度关系计算，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
5. (2024·泸州)如图3,EA,ED是$\odot O$的切线,切点为A,D,点B,C在$\odot O$上,若$∠ BAE+∠ BCD=236°$,则$∠ E=$ ()
A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：①EA、ED是⊙O的切线，优先联想到切线长定理，可得EA=ED，即△EAD是等腰三角形，两底角∠EAD=∠EDA；②点A、B、C、D都在⊙O上，可知四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形性质得对角互补，即∠BAD+∠BCD=180°。再看已知的角度和∠BAE+∠BCD=236°，拆分∠BAE=∠EAD+∠BAD，将两个角度和的式子结合，就能先求出∠EAD的度数，最后利用三角形内角和算出∠E即可。
【解析】
1. 由切线长定理可知：EA、ED是⊙O的切线，故$EA=ED$，因此$∠ EAD=∠ EDA$。
2. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BAD+∠ BCD=180°$。
3. 已知$∠ BAE+∠ BCD=236°$，且$∠ BAE=∠ EAD+∠ BAD$，代入得：
$∠ EAD+∠ BAD+∠ BCD=236°$
将$∠ BAD+∠ BCD=180°$代入上式，得$∠ EAD+180°=236°$，解得$∠ EAD=56°$，因此$∠ EDA=∠ EAD=56°$。
4. 在$△ EAD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ E=180°-∠ EAD-∠ EDA=180°-56°-56°=68°$。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理；圆内接四边形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查角度的转化推导能力，解题关键是结合切线性质和圆内接四边形的性质，找到已知角度和待求角度的关系，熟练掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：①EA、ED是⊙O的切线，优先联想到切线长定理，可得EA=ED，即△EAD是等腰三角形，两底角∠EAD=∠EDA；②点A、B、C、D都在⊙O上，可知四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形性质得对角互补，即∠BAD+∠BCD=180°。再看已知的角度和∠BAE+∠BCD=236°，拆分∠BAE=∠EAD+∠BAD，将两个角度和的式子结合，就能先求出∠EAD的度数，最后利用三角形内角和算出∠E即可。
【解析】
1. 由切线长定理可知：EA、ED是⊙O的切线，故$EA=ED$，因此$∠ EAD=∠ EDA$。
2. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BAD+∠ BCD=180°$。
3. 已知$∠ BAE+∠ BCD=236°$，且$∠ BAE=∠ EAD+∠ BAD$，代入得：
$∠ EAD+∠ BAD+∠ BCD=236°$
将$∠ BAD+∠ BCD=180°$代入上式，得$∠ EAD+180°=236°$，解得$∠ EAD=56°$，因此$∠ EDA=∠ EAD=56°$。
4. 在$△ EAD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ E=180°-∠ EAD-∠ EDA=180°-56°-56°=68°$。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理；圆内接四边形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查角度的转化推导能力，解题关键是结合切线性质和圆内接四边形的性质，找到已知角度和待求角度的关系，熟练掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图4,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则$\sin∠ ADC$的值为（）
A.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
B.$\frac{3\sqrt{13}}{13}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{2}$
A.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
B.$\frac{3\sqrt{13}}{13}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，观察发现∠ADC和∠ABC都对弧AC，因此∠ADC=∠ABC，可将求sin∠ADC转化为求sin∠ABC，降低解题难度。2. 再根据直径的性质：直径所对的圆周角是直角，可得△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，满足锐角三角函数的求解条件。3. 最后结合网格，用勾股定理计算直角三角形的边长，根据正弦的定义计算即可。
【解析】
∵∠ADC和∠ABC都对应弧AC，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠ADC=∠ABC。
∵AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形。
设小正方形的边长为1，由网格可得：
AC=2，AB=$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，
∴$\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
∴$\sin∠ ADC=\sin∠ ABC=\frac{2\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题主要考查圆周角定理的应用，通过转化思想将未知角转换为直角三角形内的角，结合勾股定理和三角函数定义求解，解题核心是利用同弧所对圆周角相等完成角的转化。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，观察发现∠ADC和∠ABC都对弧AC，因此∠ADC=∠ABC，可将求sin∠ADC转化为求sin∠ABC，降低解题难度。2. 再根据直径的性质：直径所对的圆周角是直角，可得△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，满足锐角三角函数的求解条件。3. 最后结合网格，用勾股定理计算直角三角形的边长，根据正弦的定义计算即可。
【解析】
∵∠ADC和∠ABC都对应弧AC，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠ADC=∠ABC。
∵AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形。
设小正方形的边长为1，由网格可得：
AC=2，AB=$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，
∴$\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
∴$\sin∠ ADC=\sin∠ ABC=\frac{2\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题主要考查圆周角定理的应用，通过转化思想将未知角转换为直角三角形内的角，结合勾股定理和三角函数定义求解，解题核心是利用同弧所对圆周角相等完成角的转化。
【难度系数】
0.7
7. 如图5,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于$\odot O$,则$AD:AB=$ ()
A.$2\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}:\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}:2\sqrt{2}$
图5 图6 图7
A.$2\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}:\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}:2\sqrt{2}$
图5 图6 图7
答案
B
解析
【分析】
本题中等边三角形和正方形同内接于⊙O，二者外接圆半径相等，我们可通过设⊙O半径为r，分别将AD、AB用含r的代数式表示，再计算比值即可。解题思路：1. 先根据正多边形中心角公式（中心角=360°÷边数），分别求出正方形和等边三角形对应的中心角；2. 结合垂径定理和特殊角的三角函数值，推导AD、AB的长度表达式；3. 消去公共参数r，化简得到边长比。
【解析】
设⊙O的半径为r，连接OA、OB、OD。
1. 求AD的长度：
∵正方形ADEF内接于⊙O，
∴圆心角∠AOD=360°÷4=90°
在等腰Rt△AOD中，OA=OD=r，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2}r$
2. 求AB的长度：
∵等边△ABC内接于⊙O，
∴圆心角∠AOB=360°÷3=120°
过点O作OH⊥AB于点H，由垂径定理得$AH=BH=\frac{1}{2}AB$，$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$
在Rt△AOH中，$AH=OA·\sin60°=r·\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴$AB=2AH=2×\frac{\sqrt{3}r}{2}=\sqrt{3}r$
3. 计算比值：
$AD:AB=\sqrt{2}r:\sqrt{3}r=\sqrt{2}:\sqrt{3}$
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，垂径定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是同圆内接正多边形边长比的典型题，解题核心是抓住“外接圆半径相等”这一隐含条件，通过设参数r将两条边的长度统一表示后消参计算，解题过程用到的都是圆与三角函数的基础知识点，方法具有通用性。
【难度系数】
0.7
本题中等边三角形和正方形同内接于⊙O，二者外接圆半径相等，我们可通过设⊙O半径为r，分别将AD、AB用含r的代数式表示，再计算比值即可。解题思路：1. 先根据正多边形中心角公式（中心角=360°÷边数），分别求出正方形和等边三角形对应的中心角；2. 结合垂径定理和特殊角的三角函数值，推导AD、AB的长度表达式；3. 消去公共参数r，化简得到边长比。
【解析】
设⊙O的半径为r，连接OA、OB、OD。
1. 求AD的长度：
∵正方形ADEF内接于⊙O，
∴圆心角∠AOD=360°÷4=90°
在等腰Rt△AOD中，OA=OD=r，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2}r$
2. 求AB的长度：
∵等边△ABC内接于⊙O，
∴圆心角∠AOB=360°÷3=120°
过点O作OH⊥AB于点H，由垂径定理得$AH=BH=\frac{1}{2}AB$，$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$
在Rt△AOH中，$AH=OA·\sin60°=r·\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴$AB=2AH=2×\frac{\sqrt{3}r}{2}=\sqrt{3}r$
3. 计算比值：
$AD:AB=\sqrt{2}r:\sqrt{3}r=\sqrt{2}:\sqrt{3}$
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，垂径定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是同圆内接正多边形边长比的典型题，解题核心是抓住“外接圆半径相等”这一隐含条件，通过设参数r将两条边的长度统一表示后消参计算，解题过程用到的都是圆与三角函数的基础知识点，方法具有通用性。
【难度系数】
0.7
