登录
19. (14分)如图16,已知AC是⊙O的直径,点B在⊙O上。
(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD,交AC于点E,交⊙O于点D,连接AD,CD。(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图形中,
①若∠ACB=30°,求△ABE与△CDE的面积之比;
②试探究线段AB,BC,BD之间满足的等量关系,并证明你的结论。
(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD,交AC于点E,交⊙O于点D,连接AD,CD。(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图形中,
①若∠ACB=30°,求△ABE与△CDE的面积之比;
②试探究线段AB,BC,BD之间满足的等量关系,并证明你的结论。
答案
解：
(1) 按尺规作角平分线的方法作出∠ABC的平分线BD，保留作图痕迹，连接AD、CD，图形符合要求即可。
(2) ①
∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC=∠ADC=90°，
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD=45°，
∴ 弧AD = 弧CD，
∴ AD=CD，即△ADC为等腰直角三角形。
设⊙O半径为R，则AC=2R，
∴ AD=CD=AC·sin45°=√2 R。
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴ AB=AC·sin30°=R。
又∵ ∠BAE=∠CDE，∠ABE=∠DCE=45°，
∴ △ABE∽△DCE，
∴ $\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ CDE}}=(\frac{AB}{CD})^2=(\frac{R}{\sqrt{2}R})^2=\frac{1}{2}$，
即△ABE与△CDE的面积之比为$1:2$。
② 结论：$AB + BC = \sqrt{2}BD$，证明如下：
过点D作$DF⊥ BD$，交BC的延长线于点F。
∵ ∠CBD=45°，∠BDF=90°，
∴ ∠F=45°，
∴ BD=DF。
∵ AD=CD，∠ADC=90°，
∴ ∠ADC - ∠EDC = ∠BDF - ∠EDC，
即∠ADB=∠CDF。
在△ABD和△CFD中：
$\begin{cases}AD=CD \\∠ADB=∠CDF \\BD=DF\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CFD (SAS)，
∴ AB=CF。
在Rt△BDF中，∠BDF=90°，BD=DF，
∴ $BF=\sqrt{BD^2 + DF^2}=\sqrt{2}BD$。
又∵ $BF=BC + CF=BC + AB$，
∴ $AB + BC = \sqrt{2}BD$。
(1) 按尺规作角平分线的方法作出∠ABC的平分线BD，保留作图痕迹，连接AD、CD，图形符合要求即可。
(2) ①
∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC=∠ADC=90°，
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD=45°，
∴ 弧AD = 弧CD，
∴ AD=CD，即△ADC为等腰直角三角形。
设⊙O半径为R，则AC=2R，
∴ AD=CD=AC·sin45°=√2 R。
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴ AB=AC·sin30°=R。
又∵ ∠BAE=∠CDE，∠ABE=∠DCE=45°，
∴ △ABE∽△DCE，
∴ $\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ CDE}}=(\frac{AB}{CD})^2=(\frac{R}{\sqrt{2}R})^2=\frac{1}{2}$，
即△ABE与△CDE的面积之比为$1:2$。
② 结论：$AB + BC = \sqrt{2}BD$，证明如下：
过点D作$DF⊥ BD$，交BC的延长线于点F。
∵ ∠CBD=45°，∠BDF=90°，
∴ ∠F=45°，
∴ BD=DF。
∵ AD=CD，∠ADC=90°，
∴ ∠ADC - ∠EDC = ∠BDF - ∠EDC，
即∠ADB=∠CDF。
在△ABD和△CFD中：
$\begin{cases}AD=CD \\∠ADB=∠CDF \\BD=DF\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CFD (SAS)，
∴ AB=CF。
在Rt△BDF中，∠BDF=90°，BD=DF，
∴ $BF=\sqrt{BD^2 + DF^2}=\sqrt{2}BD$。
又∵ $BF=BC + CF=BC + AB$，
∴ $AB + BC = \sqrt{2}BD$。
解析
【分析】
(1) 本问考查尺规作角平分线，按照角平分线的标准尺规作图步骤操作，作出∠ABC的平分线后按要求连接AD、CD，保留作图痕迹即可。
(2) ①解题时首先利用“直径所对的圆周角为直角”得到∠ABC=∠ADC=90°，结合角平分线的性质得到45°角，由圆周角与弧的关系推出AD=CD，得到等腰直角△ADC；再结合30°角的直角三角形性质求出AB的长度，最后证明△ABE∽△DCE，利用“相似三角形面积比等于相似比的平方”计算面积比。
②探究线段和的关系可采用截长补短的思路，通过作DF⊥BD交BC延长线于F，构造等腰直角△BDF，再证明△ABD≌△CFD，将AB转化为CF，最后结合等腰直角三角形的三边关系推导三条线段的等量关系。
【解析】
(1) 按照尺规作角平分线的方法作出∠ABC的平分线BD，保留作图痕迹，连接AD、CD，图形符合要求即可。
(2) ①
∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC=∠ADC=90°，
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD=45°，
∴ 弧AD = 弧CD，
∴ AD=CD，即△ADC为等腰直角三角形。
设⊙O半径为R，则AC=2R，
∴ AD=CD=AC·sin45°=√2 R。
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴ AB=AC·sin30°=R。
又
∵ ∠BAE=∠CDE，∠ABE=∠DCE=45°，
∴ △ABE∽△DCE，
∴ $\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ CDE}}=(\frac{AB}{CD})^2=(\frac{R}{\sqrt{2}R})^2=\frac{1}{2}$，
即△ABE与△CDE的面积之比为$1:2$。
② 结论：$AB + BC = \sqrt{2}BD$，证明如下：
过点D作$DF⊥ BD$，交BC的延长线于点F。
∵ ∠CBD=45°，∠BDF=90°，
∴ ∠F=45°，
∴ BD=DF。
∵ AD=CD，∠ADC=90°，
∴ ∠ADC - ∠EDC = ∠BDF - ∠EDC，
即∠ADB=∠CDF。
在△ABD和△CFD中：
$\begin{cases}AD=CD \\∠ADB=∠CDF \\BD=DF\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CFD (SAS)，
∴ AB=CF。
在Rt△BDF中，∠BDF=90°，BD=DF，
∴ $BF=\sqrt{BD^2 + DF^2}=\sqrt{2}BD$。
又
∵ $BF=BC + CF=BC + AB$，
∴ $AB + BC = \sqrt{2}BD$。
【答案】
(1) 作图见解析（保留符合要求的作图痕迹即可）；
(2) ①$\boxed{1:2}$；②$\boxed{AB + BC = \sqrt{2}BD}$，证明见解析。
【知识点】
圆周角定理；相似三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图、圆的基本性质、相似三角形与全等三角形的应用，线段和差关系的探究需要掌握截长补短的辅助线构造方法，对逻辑推理能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.6
(1) 本问考查尺规作角平分线，按照角平分线的标准尺规作图步骤操作，作出∠ABC的平分线后按要求连接AD、CD，保留作图痕迹即可。
(2) ①解题时首先利用“直径所对的圆周角为直角”得到∠ABC=∠ADC=90°，结合角平分线的性质得到45°角，由圆周角与弧的关系推出AD=CD，得到等腰直角△ADC；再结合30°角的直角三角形性质求出AB的长度，最后证明△ABE∽△DCE，利用“相似三角形面积比等于相似比的平方”计算面积比。
②探究线段和的关系可采用截长补短的思路，通过作DF⊥BD交BC延长线于F，构造等腰直角△BDF，再证明△ABD≌△CFD，将AB转化为CF，最后结合等腰直角三角形的三边关系推导三条线段的等量关系。
【解析】
(1) 按照尺规作角平分线的方法作出∠ABC的平分线BD，保留作图痕迹，连接AD、CD，图形符合要求即可。
(2) ①
∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC=∠ADC=90°，
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD=45°，
∴ 弧AD = 弧CD，
∴ AD=CD，即△ADC为等腰直角三角形。
设⊙O半径为R，则AC=2R，
∴ AD=CD=AC·sin45°=√2 R。
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴ AB=AC·sin30°=R。
又
∵ ∠BAE=∠CDE，∠ABE=∠DCE=45°，
∴ △ABE∽△DCE，
∴ $\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ CDE}}=(\frac{AB}{CD})^2=(\frac{R}{\sqrt{2}R})^2=\frac{1}{2}$，
即△ABE与△CDE的面积之比为$1:2$。
② 结论：$AB + BC = \sqrt{2}BD$，证明如下：
过点D作$DF⊥ BD$，交BC的延长线于点F。
∵ ∠CBD=45°，∠BDF=90°，
∴ ∠F=45°，
∴ BD=DF。
∵ AD=CD，∠ADC=90°，
∴ ∠ADC - ∠EDC = ∠BDF - ∠EDC，
即∠ADB=∠CDF。
在△ABD和△CFD中：
$\begin{cases}AD=CD \\∠ADB=∠CDF \\BD=DF\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CFD (SAS)，
∴ AB=CF。
在Rt△BDF中，∠BDF=90°，BD=DF，
∴ $BF=\sqrt{BD^2 + DF^2}=\sqrt{2}BD$。
又
∵ $BF=BC + CF=BC + AB$，
∴ $AB + BC = \sqrt{2}BD$。
【答案】
(1) 作图见解析（保留符合要求的作图痕迹即可）；
(2) ①$\boxed{1:2}$；②$\boxed{AB + BC = \sqrt{2}BD}$，证明见解析。
【知识点】
圆周角定理；相似三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图、圆的基本性质、相似三角形与全等三角形的应用，线段和差关系的探究需要掌握截长补短的辅助线构造方法，对逻辑推理能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.6
