AC。以AC为边作菱形ACDE，CD交$\odot O$于点F，$AB ⊥ CD$，垂足为G。连接AD，交$\odot O$于点H，连接EH。若$AG=12$，$GF=5$，则DF的长度为，EH的长度为。

$\boldsymbol{DF=3}$，$\boldsymbol{EH=\frac{13\sqrt{13}}{4}}$

【分析】
1. 求DF：首先利用菱形四边相等得AC=CD，结合AB⊥CD的条件，△AGC为直角三角形，可通过勾股定理建立AC与CG的等量关系；再结合线段CF=CG+GF、CD=CF+DF，联立化简即可求出CG的长度，进而得到DF的值。
2. 求EH：通过建立平面直角坐标系简化计算，将垂足G设为原点，CD、AB分别为x、y轴，写出各已知点坐标；根据菱形对边平行且相等的性质求出E点坐标，求出AD的直线解析式，结合H在AD及圆上的条件求出H点坐标，最后用两点间距离公式计算得到EH的长度。
【解析】
第一步：求DF的长度
∵ 四边形ACDE是菱形，
∴ AC=CD。
∵ AB⊥CD，垂足为G，
∴ △AGC为直角三角形，设CG=m，已知AG=12，由勾股定理得：
$AC^2 = AG^2 + CG^2 = 12^2 + m^2 = 144 + m^2$，即$AC=\sqrt{144+m^2}$。
由G在C、F之间，GF=5，得$CF=CG+GF=m+5$，又$CD=CF+DF$，且$CD=AC$，因此可得$\sqrt{144+m^2}=m+5+DF$，结合图形性质化简解得$m=5$。
代入得$AC=\sqrt{144+25}=13$，$CF=5+5=10$，因此$DF=CD-CF=13-10=3$。
第二步：求EH的长度
建立平面直角坐标系：设G为原点，直线CD为x轴，直线AB为y轴。
则各点坐标为：$G(0,0)$，$A(0,12)$，$C(-5,0)$，$F(5,0)$，因CD=13，C点x坐标为-5，故D点x坐标为$-5+13=8$，即$D(8,0)$。
由菱形ACDE对边平行且相等，$\overrightarrow{CD}=(13,0)$，故$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CD}=(13,0)$，得E点坐标为$(0+13,12+0)=(13,12)$。
求AD的直线解析式：A(0,12)，D(8,0)，斜率$k=\frac{0-12}{8-0}=-\frac{3}{2}$，故解析式为$y=-\frac{3}{2}x+12$。
联立圆的性质求得AD与圆的非A交点H坐标为$(\frac{13}{2},\frac{9}{4})$。
由两点间距离公式：
$EH=\sqrt{(13-\frac{13}{2})^2 + (12-\frac{9}{4})^2}=\sqrt{(\frac{13}{2})^2 + (\frac{39}{4})^2}=\sqrt{\frac{169}{4}+\frac{1521}{16}}=\sqrt{\frac{2197}{16}}=\frac{13\sqrt{13}}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{DF=3}$，$\boldsymbol{EH=\frac{13\sqrt{13}}{4}}$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；两点间距离公式
【点评】
本题综合考查几何性质与代数计算的结合，解题关键是找准线段间的等量关系，合理建立坐标系可大幅降低第二问的计算难度，要求学生具备较好的数形结合能力。
【难度系数】
0.6

三、解答题(共75分)
16.(8分)如图12，$\odot O$的弦$AB,CD$的延长线相交于点$P$，且$AB=CD$。求证:$PA=PC$。

证明：连接$AC$。
∵ 弦$AB = CD$，
∴ 在同圆中，相等的弦所对的劣弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$，
即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ $∠ PCA = ∠ PAC$，
∴ $PA = PC$。

【分析】
要证明$PA=PC$，可通过证明$△ PAC$是等腰三角形，即证底角$∠PAC=∠PCA$。$∠PAC$和$∠PCA$都是$\odot O$的圆周角，根据圆周角定理，等弧对应的圆周角相等，因此只需证明两角所对的弧$\overset{\frown}{CB}$和$\overset{\frown}{AD}$相等。已知$AB=CD$，结合同圆中等弦对等劣弧的性质可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，两段弧同时加上公共弧$\overset{\frown}{BD}$即可得到$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB}$，进而推出角相等，最终得到边相等。
【解析】
证明：连接$AC$。
∵ 弦$AB = CD$，
∴ 在同圆中，相等的弦所对的劣弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$，
即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ $∠ PCA = ∠ PAC$，
∴ $PA = PC$。
【答案】
证明：连接$AC$。
∵ 弦$AB = CD$，
∴ 在同圆中，相等的弦所对的劣弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$，
即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ $∠ PCA = ∠ PAC$，
∴ $PA = PC$。
【知识点】
等弦对等弧；圆周角定理；等腰三角形判定
【点评】
本题属于圆相关的基础证明题，核心考查弦、弧、圆周角之间的等量转换关系，解题时需将待证的边相等逐步转化为弧相等、角相等，熟练掌握圆的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

17. (9分)如图13，$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径$OA=2$，$OC ⊥ AB$于点C，$∠ AOC=60°$。
(1)求弦AB的长；
(2)求$\overset{\frown}{AB}$的长。

解：
(1) ∵ $OC ⊥ AB$，
∴ 由垂径定理得：$AB = 2AC$，$∠ OCA = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$OA=2$，$∠ AOC=60°$，
$AC = OA · \sin60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
∴ $AB = 2AC = 2\sqrt{3}$。
(2) ∵ $OA=OB$，$OC ⊥ AB$，
∴ $∠ AOB = 2∠ AOC = 120°$，
由弧长公式：
$\overset{\frown}{AB}$的长 $= \frac{nπ R}{180} = \frac{120 × π × 2}{180} = \frac{4π}{3}$。
综上，(1) 弦$AB$的长为$2\sqrt{3}$；(2) $\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{4π}{3}$。

【分析】
(1) 求弦AB的长时，看到OC垂直AB，首先联想垂径定理，可得AB=2AC，将求AB的问题转化为求Rt△AOC中AC的长度；已知OA的长度和∠AOC的度数，利用三角函数即可求出AC，进而得到AB的长。
(2) 求弧$\overset{\frown}{AB}$的长需用弧长公式，公式需要圆心角度数和半径两个条件，半径已知为2，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠AOB=2∠AOC，求出圆心角后代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1)
∵ $OC ⊥ AB$，
由垂径定理得：$AB = 2AC$，$∠ OCA = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$OA=2$，$∠ AOC=60°$，
$AC = OA · \sin60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
∴ $AB = 2AC = 2\sqrt{3}$。
(2)
∵ $OA=OB$，$OC ⊥ AB$，
∴ $∠ AOB = 2∠ AOC = 120°$，
由弧长公式：
$\overset{\frown}{AB}$的长 $= \frac{nπ R}{180} = \frac{120 × π × 2}{180} = \frac{4π}{3}$。
【答案】
(1) 弦$AB$的长为$2\sqrt{3}$；(2) $\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{4π}{3}$
【知识点】
垂径定理、解直角三角形、弧长计算
【点评】
本题是圆的基础计算题，考查核心定理和公式的直接应用，解题关键是熟练掌握垂径定理的用法和弧长公式的代入条件，计算时注意特殊角的三角函数值不要混淆。
【难度系数】
0.7