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【例1】单项式$6a^3b$与$9a^2b^3$的公因式是().
A.$a^2b$
B.$3a^3b^3$
C.$3a^2b$
D.$18a^3b^3$
A.$a^2b$
B.$3a^3b^3$
C.$3a^2b$
D.$18a^3b^3$
答案
C
解析
【分析】
要确定两个单项式的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步先找两个单项式系数的最大公约数，第二步找两个单项式都含有的相同字母，第三步对相同字母取次数最低的幂，最后将系数最大公约数和各字母的最低次幂相乘，得到的结果就是公因式，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：①确定系数的最大公约数：6和9的最大公约数是3；
②确定相同字母：两个单项式$6a^3b$和$9a^2b^3$中都含有的字母是a和b；
③确定相同字母的最低次幂：a的次数分别是3和2，最低次幂是$a^2$；b的次数分别是1和3，最低次幂是$b$；
④组合得到公因式：将系数与各字母最低次幂相乘，得公因式为$3a^2b$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、最大公约数、单项式概念
【点评】
本题属于因式分解模块的基础题型，重点考查公因式的确定规则，只要熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的方法，就能快速得出答案，是后续学习提公因式法分解因式的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要确定两个单项式的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步先找两个单项式系数的最大公约数，第二步找两个单项式都含有的相同字母，第三步对相同字母取次数最低的幂，最后将系数最大公约数和各字母的最低次幂相乘，得到的结果就是公因式，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：①确定系数的最大公约数：6和9的最大公约数是3；
②确定相同字母：两个单项式$6a^3b$和$9a^2b^3$中都含有的字母是a和b；
③确定相同字母的最低次幂：a的次数分别是3和2，最低次幂是$a^2$；b的次数分别是1和3，最低次幂是$b$；
④组合得到公因式：将系数与各字母最低次幂相乘，得公因式为$3a^2b$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、最大公约数、单项式概念
【点评】
本题属于因式分解模块的基础题型，重点考查公因式的确定规则，只要熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的方法，就能快速得出答案，是后续学习提公因式法分解因式的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
【变式1】多项式$9a^2x^2 - 18a^4x^3$各项的公因式是（）.
A.$9ax$
B.$9a^2x^2$
C.$a^2x^2$
D.$9a^4x^3$
A.$9ax$
B.$9a^2x^2$
C.$a^2x^2$
D.$9a^4x^3$
答案
B
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按照“先定系数，再定字母及对应指数”的思路求解：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的，最后将系数和字母部分相乘就能得到公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
解：多项式$9a^2x^2 - 18a^4x^3$包含两项，分别为$9a^2x^2$和$-18a^4x^3$。
1. 确定系数部分：两项系数分别为9和18，二者的最大公约数是9；
2. 确定字母及指数部分：两项都含有的字母为$a$和$x$，其中$a$的次数分别是2和4，取最低次2，即$a^2$；$x$的次数分别是2和3，取最低次2，即$x^2$；
3. 组合两部分可得公因式为$9a^2x^2$。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题考查公因式的确定方法，解题核心是牢记公因式的确定规则：系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂，属于基础题型，熟练掌握规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要确定多项式的公因式，需按照“先定系数，再定字母及对应指数”的思路求解：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的，最后将系数和字母部分相乘就能得到公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
解：多项式$9a^2x^2 - 18a^4x^3$包含两项，分别为$9a^2x^2$和$-18a^4x^3$。
1. 确定系数部分：两项系数分别为9和18，二者的最大公约数是9；
2. 确定字母及指数部分：两项都含有的字母为$a$和$x$，其中$a$的次数分别是2和4，取最低次2，即$a^2$；$x$的次数分别是2和3，取最低次2，即$x^2$；
3. 组合两部分可得公因式为$9a^2x^2$。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题考查公因式的确定方法，解题核心是牢记公因式的确定规则：系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂，属于基础题型，熟练掌握规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
【例2】分解因式:(1)$3x^2 -6x +12xy$；(2)$(x-1)^2 +3(x-1)$.
答案
解：
(1) 原式$=3x· x - 3x· 2 + 3x· 4y$
$=3x(x - 2 + 4y)$
(2) 原式$=(x-1)· (x-1) + 3· (x-1)$
$=(x-1)[(x-1)+3]$
$=(x-1)(x+2)$
(1) 原式$=3x· x - 3x· 2 + 3x· 4y$
$=3x(x - 2 + 4y)$
(2) 原式$=(x-1)· (x-1) + 3· (x-1)$
$=(x-1)[(x-1)+3]$
$=(x-1)(x+2)$
解析
【分析】
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题核心是先确定多项式各项的公因式，再提取公因式将原式转化为几个整式乘积的形式。第(1)题公因式为单项式：先找各项系数的最大公约数为3，再找各项共有的相同字母x，x的最低次数是1，因此公因式为3x，提取后将各项剩余部分相加即可。第(2)题公因式为多项式：把$(x-1)$看作一个整体作为公因式提取，再对剩余部分合并同类项化简即可。
【解析】
(1) 拆分各项找到公因式$3x$：
原式$=3x· x - 3x· 2 + 3x· 4y$
提取公因式$3x$得：$=3x(x - 2 + 4y)$
(2) 将$(x-1)$看作整体作为公因式：
原式$=(x-1)· (x-1) + 3· (x-1)$
提取公因式$(x-1)$得：$=(x-1)[(x-1)+3]$
合并括号内同类项得：$=(x-1)(x+2)$
【答案】
(1)$3x(x - 2 + 4y)$；(2)$(x-1)(x+2)$
【知识点】
1.提公因式法因式分解 2.公因式的确定 3.整体思想因式分解
【点评】
这两道题是提公因式法分解因式的基础典型题，分别对应公因式为单项式、公因式为多项式两种常见考查形式，解题关键是准确识别公因式，提取后要注意检查剩余部分是否化简完全，避免漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.85
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题核心是先确定多项式各项的公因式，再提取公因式将原式转化为几个整式乘积的形式。第(1)题公因式为单项式：先找各项系数的最大公约数为3，再找各项共有的相同字母x，x的最低次数是1，因此公因式为3x，提取后将各项剩余部分相加即可。第(2)题公因式为多项式：把$(x-1)$看作一个整体作为公因式提取，再对剩余部分合并同类项化简即可。
【解析】
(1) 拆分各项找到公因式$3x$：
原式$=3x· x - 3x· 2 + 3x· 4y$
提取公因式$3x$得：$=3x(x - 2 + 4y)$
(2) 将$(x-1)$看作整体作为公因式：
原式$=(x-1)· (x-1) + 3· (x-1)$
提取公因式$(x-1)$得：$=(x-1)[(x-1)+3]$
合并括号内同类项得：$=(x-1)(x+2)$
【答案】
(1)$3x(x - 2 + 4y)$；(2)$(x-1)(x+2)$
【知识点】
1.提公因式法因式分解 2.公因式的确定 3.整体思想因式分解
【点评】
这两道题是提公因式法分解因式的基础典型题，分别对应公因式为单项式、公因式为多项式两种常见考查形式，解题关键是准确识别公因式，提取后要注意检查剩余部分是否化简完全，避免漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.85
【变式2】分解因式:(1)$6a^2m - 3am$；
(2)$m(a - 2) + n(2 - a)$；
(3)$(x - y)^3 + 4x(x - y)^2$。
(2)$m(a - 2) + n(2 - a)$；
(3)$(x - y)^3 + 4x(x - y)^2$。
答案
解：
(1) 原式$=3am· 2a - 3am· 1$
$=3am(2a - 1)$
(2) 原式$=m(a-2) - n(a-2)$
$=(a-2)(m - n)$
(3) 原式$=(x-y)^2· (x-y) + 4x· (x-y)^2$
$=(x-y)^2[(x-y)+4x]$
$=(x-y)^2(5x - y)$
(1) 原式$=3am· 2a - 3am· 1$
$=3am(2a - 1)$
(2) 原式$=m(a-2) - n(a-2)$
$=(a-2)(m - n)$
(3) 原式$=(x-y)^2· (x-y) + 4x· (x-y)^2$
$=(x-y)^2[(x-y)+4x]$
$=(x-y)^2(5x - y)$
解析
【分析】
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题思路可分为三步：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母或相同多项式因式，取其最低次幂，两者结合就是公因式；②提取公因式，把公因式写到括号外，括号内为各项除以公因式得到的式子；③检查括号内的式子，若有同类项要合并，保证分解彻底。其中第(2)题要先把(2-a)变形为-(a-2)，统一公因式后再提取；第(3)题公因式是多项式$(x-y)^2$，提取后要合并括号内的同类项。
【解析】
(1) 原式$=3am· 2a - 3am· 1$
$=3am(2a - 1)$
(2) 原式$=m(a-2) - n(a-2)$
$=(a-2)(m - n)$
(3) 原式$=(x-y)^2· (x-y) + 4x· (x-y)^2$
$=(x-y)^2[(x-y)+4x]$
$=(x-y)^2(5x - y)$
【答案】
(1)$3am(2a - 1)$；(2)$(a-2)(m - n)$；(3)$(x-y)^2(5x - y)$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式符号变换，合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的运用，解题时要注意公因式既可以是单项式也可以是多项式，遇到符号相反的多项式因式要先统一形式，提取公因式后需检查结果是否分解彻底。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题思路可分为三步：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母或相同多项式因式，取其最低次幂，两者结合就是公因式；②提取公因式，把公因式写到括号外，括号内为各项除以公因式得到的式子；③检查括号内的式子，若有同类项要合并，保证分解彻底。其中第(2)题要先把(2-a)变形为-(a-2)，统一公因式后再提取；第(3)题公因式是多项式$(x-y)^2$，提取后要合并括号内的同类项。
【解析】
(1) 原式$=3am· 2a - 3am· 1$
$=3am(2a - 1)$
(2) 原式$=m(a-2) - n(a-2)$
$=(a-2)(m - n)$
(3) 原式$=(x-y)^2· (x-y) + 4x· (x-y)^2$
$=(x-y)^2[(x-y)+4x]$
$=(x-y)^2(5x - y)$
【答案】
(1)$3am(2a - 1)$；(2)$(a-2)(m - n)$；(3)$(x-y)^2(5x - y)$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式符号变换，合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的运用，解题时要注意公因式既可以是单项式也可以是多项式，遇到符号相反的多项式因式要先统一形式，提取公因式后需检查结果是否分解彻底。
【难度系数】
0.8
1. 把多项式$6ab^2 - 3ab$分解因式时，公因式是().
A.$3ab$
B.$ab$
C.$3ab^2$
D.$6ab$
A.$3ab$
B.$ab$
C.$3ab^2$
D.$6ab$
答案
A
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按照三步规则判断：①找各项系数的最大公约数；②找各项都含有的相同字母；③找相同字母的最低次幂，三者相乘即为公因式。我们对照这个规则逐步分析多项式$6ab^2 - 3ab$的两项即可。
【解析】
第一步：确定系数的最大公约数，两项系数分别为6和-3，它们的最大公约数是3；
第二步：找相同字母，两项都含有的字母是a和b；
第三步：找相同字母的最低次幂，a的次数都是1次，b的次数分别为2次和1次，最低次幂为1次；
将三部分相乘得公因式为$3 × a × b = 3ab$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题考查公因式的确定方法，属于基础题型，熟练掌握公因式的判定规则即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需按照三步规则判断：①找各项系数的最大公约数；②找各项都含有的相同字母；③找相同字母的最低次幂，三者相乘即为公因式。我们对照这个规则逐步分析多项式$6ab^2 - 3ab$的两项即可。
【解析】
第一步：确定系数的最大公约数，两项系数分别为6和-3，它们的最大公约数是3；
第二步：找相同字母，两项都含有的字母是a和b；
第三步：找相同字母的最低次幂，a的次数都是1次，b的次数分别为2次和1次，最低次幂为1次；
将三部分相乘得公因式为$3 × a × b = 3ab$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题考查公因式的确定方法，属于基础题型，熟练掌握公因式的判定规则即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 把多项式$m(a-2)+(a-2)$分解因式，结果等于（）。
A.$m(a-2)$
B.$(a-2)(m+1)$
C.$m(a+2)$
D.$(m-1)(a-2)$
A.$m(a-2)$
B.$(a-2)(m+1)$
C.$m(a+2)$
D.$(m-1)(a-2)$
答案
B
解析
【分析】
拿到这道因式分解题，首先观察多项式结构：它由两个项相加组成，优先考虑用提公因式法求解。第一步先找公因式：对比两项$m(a-2)$和$(a-2)$，可发现两项都含有公共因式$(a-2)$，因此公因式为$(a-2)$。第二步提取公因式时要注意，第二项$(a-2)$可以看作$1×(a-2)$，提取公因式后该项剩余的系数是1，不要漏写，最后将提取公因式后剩下的部分相加，就能得到最终分解结果。
【解析】
解：观察多项式$m(a-2)+(a-2)$，确定两项的公因式为$(a-2)$，提取公因式计算：
$\begin{aligned}原式&=m·(a-2)+1·(a-2)\\&=(a-2)(m+1)\end{aligned}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，易错点为当多项式的某一项恰好和公因式完全一致时，提取公因式后该项剩余系数为1，切勿漏写这个1导致错选。
【难度系数】
0.85
拿到这道因式分解题，首先观察多项式结构：它由两个项相加组成，优先考虑用提公因式法求解。第一步先找公因式：对比两项$m(a-2)$和$(a-2)$，可发现两项都含有公共因式$(a-2)$，因此公因式为$(a-2)$。第二步提取公因式时要注意，第二项$(a-2)$可以看作$1×(a-2)$，提取公因式后该项剩余的系数是1，不要漏写，最后将提取公因式后剩下的部分相加，就能得到最终分解结果。
【解析】
解：观察多项式$m(a-2)+(a-2)$，确定两项的公因式为$(a-2)$，提取公因式计算：
$\begin{aligned}原式&=m·(a-2)+1·(a-2)\\&=(a-2)(m+1)\end{aligned}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，易错点为当多项式的某一项恰好和公因式完全一致时，提取公因式后该项剩余系数为1，切勿漏写这个1导致错选。
【难度系数】
0.85
3. 若实数$a,b$满足$a+b=5,a^2b+ab^2=-15$,则$ab$的值是.
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
【分析】
解题时首先观察等式$a^2b+ab^2=-15$左边的多项式，发现各项都含有公因式$ab$，可先用提公因式法对该多项式因式分解，分解后式子会出现$a+b$的结构，刚好已知$a+b=5$，将已知条件整体代入分解后的式子，就能得到仅含$ab$的一元一次方程，解方程即可求出$ab$的值。
【解析】
第一步：对$a^2b + ab^2$提公因式$ab$，可得：
$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$
第二步：将$a^2b + ab^2 = -15$，$a + b = 5$代入上式，得：
$5ab = -15$
第三步：等式两边同时除以5，解得：
$ab = -3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握提公因式法分解因式，通过整体代入已知条件简化计算，无需单独求解$a$、$b$的取值即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察等式$a^2b+ab^2=-15$左边的多项式，发现各项都含有公因式$ab$，可先用提公因式法对该多项式因式分解，分解后式子会出现$a+b$的结构，刚好已知$a+b=5$，将已知条件整体代入分解后的式子，就能得到仅含$ab$的一元一次方程，解方程即可求出$ab$的值。
【解析】
第一步：对$a^2b + ab^2$提公因式$ab$，可得：
$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$
第二步：将$a^2b + ab^2 = -15$，$a + b = 5$代入上式，得：
$5ab = -15$
第三步：等式两边同时除以5，解得：
$ab = -3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握提公因式法分解因式，通过整体代入已知条件简化计算，无需单独求解$a$、$b$的取值即可得到结果。
【难度系数】
0.8
4. 分解因式：
(1) $6ab^3 - 2a^2b^2 + 4a^3b$；
(2) $(x-2)^2 - x + 2$。
(1) $6ab^3 - 2a^2b^2 + 4a^3b$；
(2) $(x-2)^2 - x + 2$。
答案
解：
(1) 原式$=2ab· 3b^2 - 2ab· ab + 2ab· 2a^2$
$=2ab(3b^2 - ab + 2a^2)$
(2) 原式$=(x-2)^2 - (x-2)$
$=(x-2)[(x-2)-1]$
$=(x-2)(x-3)$
(1) 原式$=2ab· 3b^2 - 2ab· ab + 2ab· 2a^2$
$=2ab(3b^2 - ab + 2a^2)$
(2) 原式$=(x-2)^2 - (x-2)$
$=(x-2)[(x-2)-1]$
$=(x-2)(x-3)$
解析
【分析】
(1) 本题用提公因式法分解，思考步骤：第一步确定公因式：先找各项系数6、-2、4的最大公约数为2，再找各项共有的相同字母a、b，相同字母的最低次幂为a¹、b¹，因此公因式为2ab；第二步将每一项拆分为公因式与另一个因式的乘积，再提取公因式，剩余因式合并放入括号即可。
(2) 观察式子结构，前项为$(x-2)^2$，可将后两项$-x+2$变形为$-(x-2)$，此时式子的公因式为多项式$(x-2)$，将$(x-2)$作为整体提取，再化简括号内的式子即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$=2ab· 3b^2 - 2ab· ab + 2ab· 2a^2$
$=2ab(3b^2 - ab + 2a^2)$
(2) 原式$=(x-2)^2 - (x-2)$
$=(x-2)[(x-2)-1]$
$=(x-2)(x-3)$
【答案】
(1) $2ab(3b^2 - ab + 2a^2)$；(2) $(x-2)(x-3)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定，整体法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用。解题时需注意：确定单项式公因式要同时兼顾系数的最大公约数和相同字母的最低次幂；若式子中存在相同的多项式结构，可通过适当变形凑出公因式，将多项式作为整体提取，最终分解结果要保证不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
(1) 本题用提公因式法分解，思考步骤：第一步确定公因式：先找各项系数6、-2、4的最大公约数为2，再找各项共有的相同字母a、b，相同字母的最低次幂为a¹、b¹，因此公因式为2ab；第二步将每一项拆分为公因式与另一个因式的乘积，再提取公因式，剩余因式合并放入括号即可。
(2) 观察式子结构，前项为$(x-2)^2$，可将后两项$-x+2$变形为$-(x-2)$，此时式子的公因式为多项式$(x-2)$，将$(x-2)$作为整体提取，再化简括号内的式子即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$=2ab· 3b^2 - 2ab· ab + 2ab· 2a^2$
$=2ab(3b^2 - ab + 2a^2)$
(2) 原式$=(x-2)^2 - (x-2)$
$=(x-2)[(x-2)-1]$
$=(x-2)(x-3)$
【答案】
(1) $2ab(3b^2 - ab + 2a^2)$；(2) $(x-2)(x-3)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定，整体法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用。解题时需注意：确定单项式公因式要同时兼顾系数的最大公约数和相同字母的最低次幂；若式子中存在相同的多项式结构，可通过适当变形凑出公因式，将多项式作为整体提取，最终分解结果要保证不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
1. 代数式$-6xyz + 3xy^2 - 9x^2y$中各项的公因式是().
A.$-3x$
B.$3xz$
C.$-18x^2y^2z$
D.$-3xy$
A.$-3x$
B.$3xz$
C.$-18x^2y^2z$
D.$-3xy$
答案
D
解析
【分析】要确定多项式各项的公因式，可按照三步思路推导：第一步定系数，先找各项系数绝对值的最大公约数，若多项式首项系数为负，公因式通常带负号；第二步定字母，找出三项中都含有的相同字母；第三步定次数，取相同字母在各项中的最低次幂，三者组合就能得到公因式。
【解析】对多项式$-6xyz + 3xy^2 - 9x^2y$的三项分步分析：
1. 定系数：三项系数分别为-6、3、-9，系数绝对值的最大公约数是3，且首项系数为负，因此公因式的系数为$-3$；
2. 定字母：观察三项，仅x、y是所有项都含有的字母，z只在第一项出现，不属于公因式的组成部分；
3. 定次数：x在三项中的次数依次是1、1、2，最低次为1；y在三项中的次数依次是1、2、1，最低次为1，因此字母部分为$xy$。
综上，三项的公因式为$-3xy$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】公因式的确定、提公因式法
【点评】本题是公因式判断的基础题，熟练掌握“定系数、定字母、定次数”的三步判断法即可快速解题，要注意首项为负时公因式通常带负号，避免出现符号错误。
【难度系数】0.8
【解析】对多项式$-6xyz + 3xy^2 - 9x^2y$的三项分步分析：
1. 定系数：三项系数分别为-6、3、-9，系数绝对值的最大公约数是3，且首项系数为负，因此公因式的系数为$-3$；
2. 定字母：观察三项，仅x、y是所有项都含有的字母，z只在第一项出现，不属于公因式的组成部分；
3. 定次数：x在三项中的次数依次是1、1、2，最低次为1；y在三项中的次数依次是1、2、1，最低次为1，因此字母部分为$xy$。
综上，三项的公因式为$-3xy$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】公因式的确定、提公因式法
【点评】本题是公因式判断的基础题，熟练掌握“定系数、定字母、定次数”的三步判断法即可快速解题，要注意首项为负时公因式通常带负号，避免出现符号错误。
【难度系数】0.8
2. 多项式$3(x-4)+x(x-4)$的公因式是().
A.$x+3$
B.$x-3$
C.$(x+3)(x-3)$
D.$x-4$
A.$x+3$
B.$x-3$
C.$(x+3)(x-3)$
D.$x-4$
答案
D
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，首先回忆公因式的定义：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。解题时可先拆分多项式的各个项，分别分析每一项的组成因式，再找出所有项共有的因式即可。本题多项式共两项，观察两项的构成就能快速定位公共因式。
【解析】
解：多项式$3(x-4)+x(x-4)$包含两项：
第一项为$3(x-4)$，因式为3和$(x-4)$；
第二项为$x(x-4)$，因式为x和$(x-4)$；
对比两项的因式，可得两项共同含有的因式为$x-4$，因此该多项式的公因式是$x-4$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定；提公因式法
【点评】
本题属于基础题，主要考查公因式的识别，掌握公因式的确定方法，观察多项式各项的共同构成即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，首先回忆公因式的定义：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。解题时可先拆分多项式的各个项，分别分析每一项的组成因式，再找出所有项共有的因式即可。本题多项式共两项，观察两项的构成就能快速定位公共因式。
【解析】
解：多项式$3(x-4)+x(x-4)$包含两项：
第一项为$3(x-4)$，因式为3和$(x-4)$；
第二项为$x(x-4)$，因式为x和$(x-4)$；
对比两项的因式，可得两项共同含有的因式为$x-4$，因此该多项式的公因式是$x-4$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定；提公因式法
【点评】
本题属于基础题，主要考查公因式的识别，掌握公因式的确定方法，观察多项式各项的共同构成即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. (1)多项式$2x^2 -4x$中各项的公因式是；
(2)$2x^3y^2$与$6x^4y$的公因式是；
(3)$18ab^2(a-b)^2$与$12b(a-b)$的公因式是。
(2)$2x^3y^2$与$6x^4y$的公因式是；
(3)$18ab^2(a-b)^2$与$12b(a-b)$的公因式是。
答案
(1) $\boldsymbol{2x}$；
(2) $\boldsymbol{2x^3y}$；
(3) $\boldsymbol{6b(a-b)}$。
(2) $\boldsymbol{2x^3y}$；
(3) $\boldsymbol{6b(a-b)}$。
解析
【分析】
要确定几个整式的公因式，按以下固定步骤思考即可：
第一步：计算各项系数的最大公约数（系数取绝对值计算）；
第二步：找出所有项都共同含有的因式，既可以是单个字母，也可以是多项式整体（如本题中的$(a-b)$就属于整体因式）；
第三步：对每个共同因式，取它在各项里的最低次数；
最后将得到的系数、各因式相乘，就是所求的公因式。
【解析】
(1) 多项式$2x^2 -4x$的两项为$2x^2$和$-4x$：
①系数2、4的最大公约数为2；
②两项都含有的相同字母是$x$，$x$的最低次数为1；
因此公因式为$2× x=2x$。
(2) $2x^3y^2$与$6x^4y$：
①系数2、6的最大公约数为2；
②都含有的相同字母为$x$和$y$，$x$的最低次数为3，$y$的最低次数为1；
因此公因式为$2× x^3× y=2x^3y$。
(3) $18ab^2(a-b)^2$与$12b(a-b)$：
①系数18、12的最大公约数为6；
②都含有的相同因式为$b$和$(a-b)$，$b$的最低次数为1，$(a-b)$的最低次数为1；
因此公因式为$6× b× (a-b)=6b(a-b)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2x}$；(2) $\boldsymbol{2x^3y}$；(3) $\boldsymbol{6b(a-b)}$
【知识点】
公因式的确定、最大公约数计算、整体因式识别
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，核心是掌握“系数取最大公约数、相同因式取最低次幂”的规则，遇到多项式整体作为因式时无需拆分，直接按整体判断次数即可，该知识点是后续学习提公因式法分解因式的核心基础。
【难度系数】
0.85
要确定几个整式的公因式，按以下固定步骤思考即可：
第一步：计算各项系数的最大公约数（系数取绝对值计算）；
第二步：找出所有项都共同含有的因式，既可以是单个字母，也可以是多项式整体（如本题中的$(a-b)$就属于整体因式）；
第三步：对每个共同因式，取它在各项里的最低次数；
最后将得到的系数、各因式相乘，就是所求的公因式。
【解析】
(1) 多项式$2x^2 -4x$的两项为$2x^2$和$-4x$：
①系数2、4的最大公约数为2；
②两项都含有的相同字母是$x$，$x$的最低次数为1；
因此公因式为$2× x=2x$。
(2) $2x^3y^2$与$6x^4y$：
①系数2、6的最大公约数为2；
②都含有的相同字母为$x$和$y$，$x$的最低次数为3，$y$的最低次数为1；
因此公因式为$2× x^3× y=2x^3y$。
(3) $18ab^2(a-b)^2$与$12b(a-b)$：
①系数18、12的最大公约数为6；
②都含有的相同因式为$b$和$(a-b)$，$b$的最低次数为1，$(a-b)$的最低次数为1；
因此公因式为$6× b× (a-b)=6b(a-b)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2x}$；(2) $\boldsymbol{2x^3y}$；(3) $\boldsymbol{6b(a-b)}$
【知识点】
公因式的确定、最大公约数计算、整体因式识别
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，核心是掌握“系数取最大公约数、相同因式取最低次幂”的规则，遇到多项式整体作为因式时无需拆分，直接按整体判断次数即可，该知识点是后续学习提公因式法分解因式的核心基础。
【难度系数】
0.85
