分式的混合运算和有理数的混合运算一样，要按运算顺序进行运算，即先，再，然后，遇到括号要先算的。如果能运用运算律，要尽量运用运算律简化运算，结果必须是或。

解：分式的混合运算和有理数的混合运算一样，要按运算顺序进行运算，即先乘方，再乘除，然后加减，遇到括号要先算括号里面的。如果能运用运算律，要尽量运用运算律简化运算，结果必须是最简分式或整式。

【分析】本题考查分式混合运算的基本规则，解题时需结合有理数混合运算的顺序，回忆分式混合运算的先后步骤，以及运算结果的要求，依次对应填空即可。
【解析】分式混合运算的顺序与有理数混合运算顺序一致，需遵循：先进行乘方运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算；若算式中有括号，要先计算括号里面的部分。运算结果需化为最简形式，即最简分式或整式。
【答案】乘方；乘除；加减；括号里面的；最简分式；整式
【知识点】分式混合运算、运算顺序
【点评】本题是分式运算的基础概念题，侧重考查学生对分式混合运算规则的识记，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】0.9

【例1】计算$(-\dfrac{n}{3m})^2 · \dfrac{m}{3n} - \dfrac{m^2}{n} ÷ \dfrac{m^3}{n^2}$.
方法点拨
(1)进行分式的混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，先将分式的乘除运算统一成乘法运算，分式的加减运算统一成加法运算，再利用乘法运算律、加法运算律进行简化运算；
(2)分式运算与分数运算一样，结果必须化为最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.

解：
先计算乘方运算，同时将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{n^2}{9m^2} · \frac{m}{3n} - \frac{m^2}{n} · \frac{n^2}{m^3}\\&=\frac{n}{27m} - \frac{n}{m}\\&=\frac{n}{27m} - \frac{27n}{27m}\\&=-\frac{26n}{27m}\end{aligned}$

【分析】分式混合运算需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序，计算时先处理乘方运算，将除法转化为乘法后进行乘除运算，再对加减运算的两项通分，最后计算并约分得到最简结果。
【解析】先计算乘方，同时将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{n^2}{9m^2} · \frac{m}{3n} - \frac{m^2}{n} · \frac{n^2}{m^3}\\&=\frac{n}{27m} - \frac{n}{m}\\&=\frac{n}{27m} - \frac{27n}{27m}\\&=-\frac{26n}{27m}\end{aligned}$
【答案】$-\dfrac{26n}{27m}$
【知识点】分式的混合运算、分式的乘除运算、分式的加减运算
【点评】本题考查分式混合运算的基本规则，属于基础题型，需熟练掌握运算顺序、乘方、乘除、加减的运算法则，以及约分、通分的技巧，是巩固分式运算的典型题目。
【难度系数】0.7

【变式1】计算：
(1)$(\dfrac{x}{y})^2÷\dfrac{x-y}{y}-\dfrac{y}{x-y}$；
(2)$1-\dfrac{a-b}{a+2b}÷\dfrac{a^2-b^2}{a^2+4ab+4b^2}$。

解：
(1) 原式$=\dfrac{x^2}{y^2} · \dfrac{y}{x-y} - \dfrac{y}{x-y}$
$=\dfrac{x^2}{y(x-y)} - \dfrac{y}{x-y}$
$=\dfrac{x^2 - y^2}{y(x-y)}$
$=\dfrac{(x+y)(x-y)}{y(x-y)}$
$=\dfrac{x+y}{y}$
(2) 原式$=1 - \dfrac{a-b}{a+2b} · \dfrac{a^2+4ab+4b^2}{a^2-b^2}$
$=1 - \dfrac{a-b}{a+2b} · \dfrac{(a+2b)^2}{(a+b)(a-b)}$
$=1 - \dfrac{a+2b}{a+b}$
$=\dfrac{a+b}{a+b} - \dfrac{a+2b}{a+b}$
$=\dfrac{a+b -a -2b}{a+b}$
$=-\dfrac{b}{a+b}$

【分析】分式混合运算需遵循“先乘除，后加减”的顺序，除法运算转化为乘法运算后，对分子分母因式分解，通过约分简化计算，最后通分进行加减运算。第(1)题先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，约分后通分计算；第(2)题先把除法转化为乘法，对分子分母因式分解约分，再通分计算。
【解析】(1) 原式$=\dfrac{x^2}{y^2} · \dfrac{y}{x-y} - \dfrac{y}{x-y}$
$=\dfrac{x^2}{y(x-y)} - \dfrac{y}{x-y}$
$=\dfrac{x^2 - y^2}{y(x-y)}$
$=\dfrac{(x+y)(x-y)}{y(x-y)}$
$=\dfrac{x+y}{y}$
(2) 原式$=1 - \dfrac{a-b}{a+2b} · \dfrac{a^2+4ab+4b^2}{a^2-b^2}$
$=1 - \dfrac{a-b}{a+2b} · \dfrac{(a+2b)^2}{(a+b)(a-b)}$
$=1 - \dfrac{a+2b}{a+b}$
$=\dfrac{a+b}{a+b} - \dfrac{a+2b}{a+b}$
$=\dfrac{a+b - a - 2b}{a+b}$
$=-\dfrac{b}{a+b}$
【答案】(1)$\dfrac{x+y}{y}$；(2)$-\dfrac{b}{a+b}$
【知识点】分式的混合运算、因式分解、约分
【点评】本题是分式混合运算的典型变式题，重点考查分式的乘除、加减运算规则，以及因式分解和约分的应用，需注意运算顺序和符号处理，是分式运算的基础题型。
【难度系数】0.6

【例2】小明从家骑车去学校，路上经过一座桥.
（1）若上桥和下桥路程相同，上桥速度为$a$ m/s，下桥速度为$b$ m/s，且$a≠b$，则小明上、下桥的平均速度是多少？
（2）如果小明上桥和下桥的平均速度为$\frac{a+b}{2}$ m/s，那么在桥上花费的时间与（1）相比，哪种情况花费的时间少？
【变式2】已知大家以相同的效率做某件工作，$a$人做$b$天可以完工.若增加$c$人，求提前完工的天数.

解：(1)设上桥路程为$s\ \mathrm{m}$，则下桥路程也为$s\ \mathrm{m}$，上下桥总路程为$2s\ \mathrm{m}$。
上桥时间为$\frac{s}{a}\ \mathrm{s}$，下桥时间为$\frac{s}{b}\ \mathrm{s}$，上下桥总时间为$(\frac{s}{a}+\frac{s}{b})\ \mathrm{s}$。
平均速度为：
$\frac{2s}{\frac{s}{a}+\frac{s}{b}}=\frac{2s}{\frac{s(a+b)}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}\ \mathrm{(m/s)}$
(2)设上下桥总路程为$2s\ \mathrm{m}$。
第(1)种情况花费的时间：
$t_1=\frac{2s}{\frac{2ab}{a+b}}=\frac{s(a+b)}{ab}\ \mathrm{s}$
平均速度为$\frac{a+b}{2}\ \mathrm{m/s}$时花费的时间：
$t_2=\frac{2s}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4s}{a+b}\ \mathrm{s}$
作差得：
$\begin{aligned}t_1-t_2&=\frac{s(a+b)}{ab}-\frac{4s}{a+b}\\&=\frac{s(a+b)^2 - 4sab}{ab(a+b)}\\&=\frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}\end{aligned}$
由题意可知$a＞0,b＞0,a≠ b,s＞0$，因此$(a-b)^2＞0,ab＞0,a+b＞0$，可得$t_1-t_2＞0$，即$t_1＞t_2$。
所以平均速度为$\frac{a+b}{2}\ \mathrm{m/s}$的情况花费的时间少。
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【变式2】
解：设单人工作效率为1，工作总量为$ab$。
增加$c$人后，总人数为$(a+c)$人，完工所需天数为$\frac{ab}{a+c}$。
提前完工的天数为：
$\begin{aligned}b-\frac{ab}{a+c}&=\frac{b(a+c)-ab}{a+c}\\&=\frac{ab+bc-ab}{a+c}\\&=\frac{bc}{a+c}\end{aligned}$
答：提前完工的天数为$\frac{bc}{a+c}$天。

【分析】
1. 第(1)问：求平均速度需牢记核心公式“平均速度=总路程÷总时间”，不能直接对速度取算术平均。设上桥路程为$s$，则下桥路程也为$s$，先计算总路程和总时间，再代入公式化简即可得到结果。
2. 第(2)问：分别计算两种情况下的总时间，通过作差法比较时间大小，结合$a、b$的取值范围（正数且不等）判断差的正负，从而确定哪种情况花费时间更少。
3. 变式题：属于工程问题，利用“工作总量=人数×时间×单人效率”，设单人效率为1，先求出总工作量，再计算增加人数后的完工时间，最后用原时间减去新时间得到提前的天数，化简分式即可。
【解析】
(1) 求上、下桥的平均速度
设上桥路程为$ s \, \mathrm{m} $，则下桥路程也为$ s \, \mathrm{m} $，上下桥总路程为$ 2s \, \mathrm{m} $。
上桥时间为$ \frac{s}{a} \, \mathrm{s} $，下桥时间为$ \frac{s}{b} \, \mathrm{s} $，上下桥总时间为$ ( \frac{s}{a} + \frac{s}{b} ) \, \mathrm{s} $。
根据平均速度公式：
$\mathrm{平均速度} = \frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}} = \frac{2s}{\frac{s}{a} + \frac{s}{b}} = \frac{2s}{\frac{s(a+b)}{ab}} = \frac{2ab}{a+b} \, \mathrm{(m/s)}$
(2) 比较两种情况的时间
设上下桥总路程为$ 2s \, \mathrm{m} $。
第(1)种情况花费的时间：
$t_1 = \frac{2s}{\frac{2ab}{a+b}} = \frac{s(a+b)}{ab} \, \mathrm{s}$
平均速度为$ \frac{a+b}{2} \, \mathrm{m/s} $时花费的时间：
$t_2 = \frac{2s}{\frac{a+b}{2}} = \frac{4s}{a+b} \, \mathrm{s}$
作差比较：
$\begin{aligned}t_1 - t_2 &= \frac{s(a+b)}{ab} - \frac{4s}{a+b} \\&= \frac{s(a+b)^2 - 4sab}{ab(a+b)} \\&= \frac{s(a-b)^2}{ab(a+b)}\end{aligned}$
由题意知$ a＞0, b＞0, a≠b, s＞0 $，则$ (a-b)^2＞0, ab＞0, a+b＞0 $，故$ t_1 - t_2＞0 $，即$ t_1＞t_2 $，因此平均速度为$ \frac{a+b}{2} \, \mathrm{m/s} $的情况花费时间更少。
【变式2】求提前完工的天数
设单人工作效率为1，则工作总量为$ a × b × 1 = ab $。
增加$ c $人后，总人数为$ (a+c) $人，完工所需天数为$ \frac{ab}{a+c} $。
提前完工的天数为：
$\begin{aligned}b - \frac{ab}{a+c} &= \frac{b(a+c) - ab}{a+c} \\&= \frac{ab + bc - ab}{a+c} \\&= \frac{bc}{a+c}\end{aligned}$
【答案】
(1) 平均速度为$\frac{2ab}{a+b}\ \mathrm{m/s}$；
(2) 平均速度为$\frac{a+b}{2}\ \mathrm{m/s}$的情况花费的时间少；
变式2：提前完工的天数为$\frac{bc}{a+c}$天。
【知识点】
平均速度计算、分式的运算、工程问题应用
【点评】
本题主要考查分式在行程和工程问题中的应用，关键是理解平均速度的定义（总路程除以总时间，而非速度的算术平均），以及工程问题中工作总量、效率、时间的关系。解题时需注意分式化简的正确性，作差法比较大小是常用方法，整体难度中等，需掌握分式运算和实际问题建模能力。
【难度系数】
0.6