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6. 我们熟悉的平面图形中的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等，它们是由若干条的线段首尾顺次相连组成的图形。
答案
解：第一个空填写：不在同一直线上
第二个空填写：封闭平面
第二个空填写：封闭平面
解析
【分析】
这道题考查多边形的基础定义，解题时先回忆多边形的概念要素：第一，组成多边形的线段不能处于同一条直线上，否则无法构成有内部区域的多边形；第二，线段首尾顺次连接后必须是封闭的，且属于平面范畴的图形，对应两个空的要求填写即可。
【解析】
根据多边形的官方定义：平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。因此第一个空对应填写“不在同一直线上”，第二个空对应填写“封闭平面”。
【答案】
不在同一直线上；封闭平面
【知识点】
多边形的定义
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考查对教材基础定义的识记能力，熟练掌握核心概念就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查多边形的基础定义，解题时先回忆多边形的概念要素：第一，组成多边形的线段不能处于同一条直线上，否则无法构成有内部区域的多边形；第二，线段首尾顺次连接后必须是封闭的，且属于平面范畴的图形，对应两个空的要求填写即可。
【解析】
根据多边形的官方定义：平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。因此第一个空对应填写“不在同一直线上”，第二个空对应填写“封闭平面”。
【答案】
不在同一直线上；封闭平面
【知识点】
多边形的定义
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考查对教材基础定义的识记能力，熟练掌握核心概念就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
7.将一个半径为2 cm的圆分割成三个扇形,它们的圆心角度数比为1:2:3,则最大圆心角所对应的扇形的面积为。(用π表示即可)
答案
$\boldsymbol{2π\ \mathrm{cm}^2}$
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：首先，周角的度数是360°，同圆中扇形的面积和它对应的圆心角度数成正比，即圆心角占周角的几分之几，对应扇形的面积就占整个圆面积的几分之几。我们先根据三个扇形的圆心角度数比，求出最大圆心角占周角的比例，再计算出整个圆的面积，最后用圆的面积乘这个比例就能得到最大扇形的面积。
【解析】
步骤1：计算圆心角的总份数：$1+2+3=6$份，最大圆心角占其中的3份，因此最大圆心角占周角的比例为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
步骤2：计算半径为2cm的圆的面积，根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得圆的面积为：$π×2^2=4π\ \mathrm{cm}^2$。
步骤3：计算最大扇形的面积，最大扇形面积为圆面积的$\frac{1}{2}$，因此面积为：$4π×\frac{1}{2}=2π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boldsymbol{2π\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆的面积计算；扇形面积与圆心角的关系；按比分配应用
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，核心是理解同圆中扇形面积和对应圆心角的比例关系，结合按比分配的方法即可快速求解，计算时注意不要漏写面积单位。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路思考：首先，周角的度数是360°，同圆中扇形的面积和它对应的圆心角度数成正比，即圆心角占周角的几分之几，对应扇形的面积就占整个圆面积的几分之几。我们先根据三个扇形的圆心角度数比，求出最大圆心角占周角的比例，再计算出整个圆的面积，最后用圆的面积乘这个比例就能得到最大扇形的面积。
【解析】
步骤1：计算圆心角的总份数：$1+2+3=6$份，最大圆心角占其中的3份，因此最大圆心角占周角的比例为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
步骤2：计算半径为2cm的圆的面积，根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得圆的面积为：$π×2^2=4π\ \mathrm{cm}^2$。
步骤3：计算最大扇形的面积，最大扇形面积为圆面积的$\frac{1}{2}$，因此面积为：$4π×\frac{1}{2}=2π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boldsymbol{2π\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
圆的面积计算；扇形面积与圆心角的关系；按比分配应用
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，核心是理解同圆中扇形面积和对应圆心角的比例关系，结合按比分配的方法即可快速求解，计算时注意不要漏写面积单位。
【难度系数】
0.8
8. 如图,第一个图形是一个六边形,第二个图形是由两个六边形组成,依此类推：
(1)写出第n个图形的顶点数(n是正整数);
(2)第12个图形有几个顶点？
(1)写出第n个图形的顶点数(n是正整数);
(2)第12个图形有几个顶点？
答案
解：
(1) 观察图形可得：
第1个图形的顶点数为6 = 4×1 + 2，
第2个图形的顶点数为10 = 4×2 + 2，
第3个图形的顶点数为14 = 4×3 + 2，
因此第n个图形的顶点数为$4n+2$（n是正整数）。
(2) 把$n=12$代入$4n+2$，得：
$4×12 + 2 = 50$
答：第12个图形有50个顶点。
(1) 观察图形可得：
第1个图形的顶点数为6 = 4×1 + 2，
第2个图形的顶点数为10 = 4×2 + 2，
第3个图形的顶点数为14 = 4×3 + 2，
因此第n个图形的顶点数为$4n+2$（n是正整数）。
(2) 把$n=12$代入$4n+2$，得：
$4×12 + 2 = 50$
答：第12个图形有50个顶点。
解析
【分析】
这是图形规律探究类问题，解题思路如下：第一步先分别统计前3个已知图形的顶点数，观察顶点数随图形序号的变化规律：每增加1个六边形，顶点数增加4；第二步根据这个变化规律，推导第n个图形的顶点数的通用表达式；第三步求解第二问时，将n=12代入推导得到的表达式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先统计已知图形的顶点数：
第1个图形的顶点数为6，可写成：$6 = 4×1 + 2$；
第2个图形的顶点数为10，可写成：$10 = 4×2 + 2$；
第3个图形的顶点数为14，可写成：$14 = 4×3 + 2$；
观察规律可得，第n个图形的顶点数为$4n+2$（n是正整数）。
(2) 把$n=12$代入代数式$4n+2$计算：
$4×12 + 2 = 48 + 2 = 50$
【答案】
(1) $4n+2$（n为正整数）；
(2) 50
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题是基础的图形规律探究题，核心是找到相邻图形的顶点数的固定增量，进而推导通用公式，掌握此类题型的分析方法可以快速解决同类型的规律探究问题。
【难度系数】
0.7
这是图形规律探究类问题，解题思路如下：第一步先分别统计前3个已知图形的顶点数，观察顶点数随图形序号的变化规律：每增加1个六边形，顶点数增加4；第二步根据这个变化规律，推导第n个图形的顶点数的通用表达式；第三步求解第二问时，将n=12代入推导得到的表达式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先统计已知图形的顶点数：
第1个图形的顶点数为6，可写成：$6 = 4×1 + 2$；
第2个图形的顶点数为10，可写成：$10 = 4×2 + 2$；
第3个图形的顶点数为14，可写成：$14 = 4×3 + 2$；
观察规律可得，第n个图形的顶点数为$4n+2$（n是正整数）。
(2) 把$n=12$代入代数式$4n+2$计算：
$4×12 + 2 = 48 + 2 = 50$
【答案】
(1) $4n+2$（n为正整数）；
(2) 50
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题是基础的图形规律探究题，核心是找到相邻图形的顶点数的固定增量，进而推导通用公式，掌握此类题型的分析方法可以快速解决同类型的规律探究问题。
【难度系数】
0.7
9. 如图,一根5 m长的绳子,一端拴在90°的围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊(羊只能在草地上活动),求小羊在草地上可活动区域的面积。(结果保留 π)
答案
解：小羊的可活动区域由两部分组成：
1. 以墙角柱子为圆心，5m为半径，圆心角为90°的扇形；
2. 以竖直围墙的上端点为圆心，剩余绳长为半径，圆心角为$180°-120°=60°$的扇形。
第一部分扇形面积：
$S_1 = \frac{90}{360} × π × 5^2 = \frac{25}{4}π \ (\mathrm{m}^2)$
第二部分扇形的半径为$5-4=1\ \mathrm{m}$，面积：
$S_2 = \frac{60}{360} × π × 1^2 = \frac{1}{6}π \ (\mathrm{m}^2)$
总活动区域面积：
$S = S_1 + S_2 = \frac{25}{4}π + \frac{1}{6}π = \frac{77}{12}π \ (\mathrm{m}^2)$
答：小羊在草地上可活动区域的面积为$\frac{77}{12}π\ \mathrm{m}^2$。
1. 以墙角柱子为圆心，5m为半径，圆心角为90°的扇形；
2. 以竖直围墙的上端点为圆心，剩余绳长为半径，圆心角为$180°-120°=60°$的扇形。
第一部分扇形面积：
$S_1 = \frac{90}{360} × π × 5^2 = \frac{25}{4}π \ (\mathrm{m}^2)$
第二部分扇形的半径为$5-4=1\ \mathrm{m}$，面积：
$S_2 = \frac{60}{360} × π × 1^2 = \frac{1}{6}π \ (\mathrm{m}^2)$
总活动区域面积：
$S = S_1 + S_2 = \frac{25}{4}π + \frac{1}{6}π = \frac{77}{12}π \ (\mathrm{m}^2)$
答：小羊在草地上可活动区域的面积为$\frac{77}{12}π\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确小羊的活动范围由两部分扇形组成：第一部分是绳子不受围墙阻挡时，以墙角柱子为圆心、绳长5m为半径，在90°水平草地上的扇形；第二部分是绳子沿着竖直围墙向上拉直后，剩余绳子能扫过的区域，此时圆心为竖直围墙的上端点，半径是绳长减去围墙竖直段的长度，再结合斜墙的角度算出这部分扇形的圆心角，最后分别计算两个扇形的面积相加，即可得到总活动面积。
【解析】
小羊的可活动区域由两部分扇形组成，扇形面积公式为$S=\frac{n}{360}πr²$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）：
1. 第一部分：以墙角柱子为圆心，5m为半径，圆心角为90°的扇形
$S_1 = \frac{90}{360} × π × 5^2 = \frac{25}{4}π \ (\mathrm{m}^2)$
2. 第二部分：以竖直围墙的上端点为圆心，剩余绳长为半径的扇形
剩余绳长为$5-4=1\ \mathrm{m}$，该扇形的圆心角为$180°-120°=60°$
$S_2 = \frac{60}{360} × π × 1^2 = \frac{1}{6}π \ (\mathrm{m}^2)$
总活动区域面积为两部分面积之和：
$S = S_1 + S_2 = \frac{25}{4}π + \frac{1}{6}π = \frac{77}{12}π \ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$\frac{77}{12}π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形面积计算，组合图形面积计算，圆心角计算
【点评】
本题解题的核心是准确梳理小羊的活动边界，明确活动区域由两个不同的扇形构成，避免遗漏上方的小扇形区域，计算时要正确对应每个扇形的半径和圆心角，再结合扇形面积公式求解即可。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需要明确小羊的活动范围由两部分扇形组成：第一部分是绳子不受围墙阻挡时，以墙角柱子为圆心、绳长5m为半径，在90°水平草地上的扇形；第二部分是绳子沿着竖直围墙向上拉直后，剩余绳子能扫过的区域，此时圆心为竖直围墙的上端点，半径是绳长减去围墙竖直段的长度，再结合斜墙的角度算出这部分扇形的圆心角，最后分别计算两个扇形的面积相加，即可得到总活动面积。
【解析】
小羊的可活动区域由两部分扇形组成，扇形面积公式为$S=\frac{n}{360}πr²$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）：
1. 第一部分：以墙角柱子为圆心，5m为半径，圆心角为90°的扇形
$S_1 = \frac{90}{360} × π × 5^2 = \frac{25}{4}π \ (\mathrm{m}^2)$
2. 第二部分：以竖直围墙的上端点为圆心，剩余绳长为半径的扇形
剩余绳长为$5-4=1\ \mathrm{m}$，该扇形的圆心角为$180°-120°=60°$
$S_2 = \frac{60}{360} × π × 1^2 = \frac{1}{6}π \ (\mathrm{m}^2)$
总活动区域面积为两部分面积之和：
$S = S_1 + S_2 = \frac{25}{4}π + \frac{1}{6}π = \frac{77}{12}π \ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$\frac{77}{12}π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形面积计算，组合图形面积计算，圆心角计算
【点评】
本题解题的核心是准确梳理小羊的活动边界，明确活动区域由两个不同的扇形构成，避免遗漏上方的小扇形区域，计算时要正确对应每个扇形的半径和圆心角，再结合扇形面积公式求解即可。
【难度系数】
0.6
